Гипотеза о свойстве P

В математике гипотеза свойства P — это утверждение о 3-многообразиях, полученное с помощью операции Дена на узле в 3-сфере . Говорят, что узел в 3-сфере обладает свойством P, если каждое 3-многообразие, полученное в результате выполнения (нетривиальной) операции Дена на узле, не является односвязным . Гипотеза утверждает, что все узлы, кроме неразвязанного, обладают свойством P.

Исследование свойства P было начато Р. Х. Бингом , который популяризировал это имя и гипотезу.

Эту гипотезу можно рассматривать как первый шаг к разрешению гипотезы Пуанкаре , поскольку теорема Ликориша-Уоллеса гласит, что любое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие является результатом операции Дена на зацеплении.Если узел $K\subset \mathbb {S} ^{3}$ обладает свойством P, то нельзя построить контрпример к гипотезе Пуанкаре перестройкой вдоль $K$ .

Доказательство было объявлено в 2004 году как совместный результат усилий математиков, работающих в нескольких различных областях.

формулировка Алгебраическая

Позволять $[l],[m]\in \pi _{1}(\mathbb {S} ^{3}\setminus K)$ обозначают элементы, соответствующие предпочтительным долготе и меридиану трубчатой окрестности $K$ .

$K$ обладает свойством P тогда и только тогда, когда ее группа узлов никогда не тривиализируется путем присоединения отношения вида $m=l^{a}$ для некоторых $0\neq a\in \mathbb {Z}$ .