Теорема Пуанкаре – Миранды

В математике теорема Пуанкаре-Миранды представляет собой обобщение теоремы о промежуточном значении от одной функции в одном измерении до n функций в n измерениях. Там говорится следующее:

Учитывать $n$ непрерывные вещественные функции $n$ переменные, $f_{1},\ldots ,f_{n}:[-1,1]^{n}\to \mathbb {R}$. Предположим, что для каждой переменной $x_{i}$, функция $f_{i}$ неположителен, когда $x_{i}=-1$ и неотрицательный, когда $x_{i}=1$. Тогда есть момент в $n$-мерный куб $[-1,1]^{n}$ в котором все функции одновременно равны $0$.

Теорема названа в честь Анри Пуанкаре , выдвинувшего ее в 1883 году, и Карло Миранды , который в 1940 году показал, что она эквивалентна теореме Брауэра о неподвижной точке . Иногда ее называют теоремой Миранды или теоремой Больцано-Пуанкаре-Миранды.

Интуитивное описание

Графическое представление теоремы Пуанкаре – Миранды для n = 2.

На рисунке справа показана иллюстрация теоремы Пуанкаре – Миранды для n = 2 функций. Рассмотрим пару функций ( f , g ), которых область определения равна [-1,1] ² (т.е. единичный квадрат). Функция f отрицательна на левой границе и положительна на правой границе (зеленые стороны квадрата), а функция g отрицательна на нижней границе и положительна на верхней границе (красные стороны квадрата). Когда мы идем слева направо по любому пути, мы должны пройти точку, в которой f равно 0 . Следовательно, должна быть «стена», отделяющая левое от правого, вдоль которой f равно 0 (зеленая кривая внутри квадрата). Аналогично должна быть «стенка», отделяющая верх от низу, вдоль которой g равно 0 (красная кривая внутри квадрата). Эти стены должны пересекаться в точке, в которой обе функции равны 0 (синяя точка внутри квадрата).

Обобщения

Простейшим обобщением, по сути являющимся следствием , этой теоремы является следующее. каждой переменной x _i пусть a _i будет любым значением в диапазоне [sup _{x i = 0}   fi _Для , inf _{x i = 1}   f _i ] . Тогда в единичном кубе существует точка, в которой для всех i :

$f_{i}=a_{i}$.

Это утверждение можно привести к исходному простым переводом осей ,

$x_{i}^{\prime }=x_{i}\qquad y_{i}^{\prime }=y_{i}-a_{i}\qquad \forall i\in \{1,\dots ,n\}$

где

• x _i — координаты в области определения функции
• y _i — координаты в кодомене функции.

Используя теорию топологической степени, можно доказать еще одно обобщение. Пуанкаре-Миранда также был обобщен на бесконечномерные пространства.

См. также

• — Теорема Штейнхауза о шахматной доске это дискретная теорема, которую можно использовать для доказательства теоремы Пуанкаре-Миранды.

Дальнейшее чтение

• Алефельд, Гетц; Фроммер, Андреас; Хайндль, Герхард; Майер, Ян (2004). «О теоремах существования Канторовича, Миранды и Борсука» . ЭТНА. Электронные транзакции по численному анализу [только в электронном виде] . 18 : 102–111.