Инвариантность домена

Инвариантность области - это теорема топологии о гомеоморфных подмножествах евклидова пространства. $\mathbb {R} ^{n}$. В нем говорится:

Если $U$ является открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$ и $f:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ — инъективное непрерывное отображение , то $V:=f(U)$ открыт в $\mathbb {R} ^{n}$ и $f$ является гомеоморфизмом между $U$ и $V$.

Теорема и ее доказательство принадлежат Л. Дж. Брауэру , опубликованному в 1912 году. В доказательстве используются инструменты алгебраической топологии , в частности, теорема Брауэра о неподвижной точке .

Примечания

Заключение теоремы эквивалентно можно сформулировать так: « $f$ это открытая карта ».

Обычно, чтобы это проверить $f$ является гомеоморфизмом, необходимо проверить, что оба $f$ и ее обратная функция $f^{-1}$ являются непрерывными; теорема гласит, что если область представляет собой открытое подмножество $\mathbb {R} ^{n}$ и изображение тоже есть $\mathbb {R} ^{n},$ затем непрерывность $f^{-1}$ является автоматическим. Более того, теорема утверждает, что если два подмножества $U$ и $V$ из $\mathbb {R} ^{n}$ гомеоморфны и $U$ открыт, то $V$ тоже должен быть открыт. (Обратите внимание, что $V$ открыт как подмножество $\mathbb {R} ^{n},$ и не только в топологии подпространства. Открытость $V$ в топологии подпространства происходит автоматически.) Оба эти утверждения вовсе не очевидны и вообще не верны, если выйти за пределы евклидова пространства.

Отображение, не являющееся гомеоморфизмом своего образа: $g:(-1.1,1)\to \mathbb {R} ^{2}$ с $g(t)=\left(t^{2}-1,t^{3}-t\right).$

Крайне важно, чтобы и , и образ домен $f$ содержатся в евклидовом пространстве одной и той же размерности . Рассмотрим, например, карту $f:(0,1)\to \mathbb {R} ^{2}$ определяется $f(t)=(t,0).$ Это отображение инъективно и непрерывно, область определения представляет собой открытое подмножество $\mathbb {R}$, но изображение не открывается в $\mathbb {R} ^{2}.$ Более крайний пример — карта $g:(-1.1,1)\to \mathbb {R} ^{2}$ определяется $g(t)=\left(t^{2}-1,t^{3}-t\right)$ потому что здесь $g$ инъективен и непрерывен, но даже не дает гомеоморфизма своему образу.

Теорема также не верна в бесконечно многих измерениях. Рассмотрим, например, банах L ^п космос $\ell ^{\infty }$ всех ограниченных действительных последовательностей . Определять $f:\ell ^{\infty }\to \ell ^{\infty }$ как смена $f\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)=\left(0,x_{1},x_{2},\ldots \right).$ Затем $f$ инъективен и непрерывен, область открыта в $\ell ^{\infty }$, а изображения нет.

Последствия

Важным следствием теоремы об инвариантности области является то, что $\mathbb {R} ^{n}$ не может быть гомеоморфным $\mathbb {R} ^{m}$ если $m\neq n.$ Действительно, никакое непустое открытое подмножество $\mathbb {R} ^{n}$ может быть гомеоморфно любому открытому подмножеству $\mathbb {R} ^{m}$ в этом случае.

Обобщения

Теорема об инвариантности области может быть обобщена на многообразия : если $M$ и $N$ являются топологическими n -многообразиями без края и $f:M\to N$ является непрерывным отображением, которое локально взаимно однозначно (это означает, что каждая точка в $M$ имеет окрестность такую, что $f$ ограниченная этой окрестностью, инъективна), то $f$ ( открытая карта это означает, что $f(U)$ открыт в $N$ в любое время $U$ является открытым подмножеством $M$) и локальный гомеоморфизм .

Существуют также обобщения некоторых типов непрерывных отображений банахова пространства в себя.

См. также

• Теорема об открытом отображении для других условий, обеспечивающих открытость данного непрерывного отображения.

Ссылки

• Бредон, Глен Э. (1993). Топология и геометрия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 139. Шпрингер-Верлаг . ISBN  0-387-97926-3 . МР   1224675 .
• Цао Лабора, Дэниел (2020). «Когда непрерывная биекция является гомеоморфизмом?». амер. Математика. Ежемесячно . 127 (6): 547–553. дои : 10.1080/00029890.2020.1738826 . МР   4101407 . S2CID   221066737 .
• Картан, Анри (1945). «Современные методы алгебраической топологии» . Как. Математика. Хелв. (на французском языке). 18 :1–15. дои : 10.1007/BF02568096 . МР   0013313 . S2CID   124671921 .
• Део, Сатья (2018). Алгебраическая топология: Букварь . Тексты и чтения по математике. Том. 27 (Второе изд.). Нью-Дели: Книжное агентство Индостан. ISBN  978-93-86279-67-5 . МР   3887626 .
• Дьедонне, Жан (1982). «8. Теоремы Брауэра». Элементы анализа . Научные тетради (на французском языке). Полет. IX. Париж: Готье-Виллар. стр. 44–47. ISBN  2-04-011499-8 . МР   0658305 .
• Хирш, Моррис В. (1988). Дифференциальная топология . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-90148-0 . (доказательство Хирша, использующее отсутствие дифференцируемой ретракции, см. на стр. 72–73)
• Хилтон, Питер Дж.; Уайли, Шон (1960). Теория гомологии: введение в алгебраическую топологию . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0521094224 . МР   0115161 .
• Гуревич, Витольд; Уоллман, Генри (1941). Теория размерности . Принстонская математическая серия. Том. 4. Издательство Принстонского университета . МР   0006493 .
• Кульпа, Владислав (1998). «Теорема Пуанкаре и инвариантности области» (PDF) . Акта Univ. Кэролин. Математика. Физ . 39 (1): 129–136. МР   1696596 .
• Мэдсен, Иб; Торнехаве, Йорген (1997). От исчисления к когомологиям: когомологии де Рама и характеристические классы . Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-58059-5 . МР   1454127 .
• Манкрес, Джеймс Р. (1966). Элементарная дифференциальная топология . Анналы математических исследований. Том. 54 (пересмотренная ред.). Издательство Принстонского университета . МР   0198479 .
• Спаниер, Эдвин Х. (1966). Алгебраическая топология . Нью-Йорк-Торонто-Лондон: МакГроу-Хилл.
• Тао, Теренс (2011). «Неподвижная точка Брауэра и инвариантность теорем о предметной области и пятая проблема Гильберта» . terrytao.wordpress.com . Проверено 2 февраля 2022 г.

Внешние ссылки

• Милль, Дж. ван (2001) [1994], «Инвариантность предметной области» , Энциклопедия математики , EMS Press