Геминепрерывность

В математике и верхняя полунепрерывность нижняя полунепрерывность являются расширением понятий верхней и нижней полунепрерывности однозначных функций на многозначные функции . Многозначная функция, полунепрерывная как сверху, так и снизу, называется непрерывной по аналогии с одноименным свойством однозначных функций.

Чтобы объяснить оба понятия, рассмотрим последовательность точек a в области и последовательность точек b в диапазоне. Мы говорим, что b соответствует a , если каждая точка b содержится в образе соответствующей точки a .

• Верхняя геминепрерывность требует, чтобы для любой сходящейся последовательности a в области и для любой сходящейся последовательности b , соответствующей a , образ предела a содержал предел b .
• Нижняя геминепрерывность требует, чтобы для любой сходящейся последовательности a в области и для любой точки x в образе предела a существовала последовательность b , соответствующая подпоследовательности a , которая сходится к x .

Примеры

Эта многозначная функция всюду полунепрерывна сверху, но не полунепрерывна снизу в точках. $x$ : для последовательности точек $\left(x_{m}\right)$ который сходится к $x,$ у нас есть $y$ ( $y\in f(x)$) такой, что никакая последовательность $\left(y_{m}\right)$ сходится к $y$ где каждый $y_{m}$ находится в $f\left(x_{m}\right).$

Эта многозначная функция всюду полунепрерывна снизу, но не полунепрерывна сверху. $x,$ потому что граф (множество) не замкнут.

Изображение справа показывает функцию, которая не является полунепрерывной снизу в точке x . Чтобы убедиться в этом, пусть a — последовательность, сходящаяся к x слева. Изображение x — это вертикальная линия, содержащая некоторую точку ( x , y ). Но каждая последовательность b , соответствующая a, содержится в нижней горизонтальной строке, поэтому она не может сходиться к y . Напротив, функция всюду полунепрерывна сверху. Например, если рассматривать любую последовательность a, которая сходится к x слева или справа, и любую соответствующую последовательность b , предел b содержится в вертикальной линии, которая является образом предела a .

Изображение слева показывает функцию, которая не является полунепрерывной сверху в точке x . Чтобы убедиться в этом, пусть a — последовательность, сходящаяся к x справа. Изображение a содержит вертикальные линии, поэтому существует соответствующая последовательность b, в которой все элементы отделены от f ( x ). Образ предела a содержит одну точку f ( x ), поэтому он не содержит предела b . Напротив, эта функция всюду геминепрерывна снизу. Например, для любой последовательности a, которая сходится к x слева или справа, f ( x ) содержит одну точку, и существует соответствующая последовательность b, которая сходится к f ( x ).

Определения

Верхняя геминепрерывность

Функция с множеством значений $\Gamma :A\rightrightarrows B$ называется полунепрерывным сверху в точке $a\in A$ если для каждого открытия $V\subset B$ с $\Gamma (a)\subset V,$ существует район $U$ из $a$ такой, что для всех $x\in U,$ $\Gamma (x)$ является подмножеством $V.$

Нижняя геминепрерывность

Функция с множеством значений $\Gamma :A\rightrightarrows B$ называется полунепрерывным снизу в точке $a\in A$ если для каждого открытого множества $V$ пересекающийся $\Gamma (a),$ существует район $U$ из $a$ такой, что $\Gamma (x)$ пересекает $V$ для всех $x\in U.$ (Здесь $V$ пересекает $S$ означает непустое пересечение $V\cap S\neq \varnothing$).

Непрерывность

Если многозначная функция одновременно полунепрерывна сверху и полунепрерывна снизу, ее называют непрерывной.

Характеристики

Верхняя геминепрерывность

Последовательная характеристика

Теорема . Для многозначной функции $\Gamma :A\rightrightarrows B$ с закрытыми значениями, если $\Gamma :A\to B$ является верхней геминепрерывной при $a\in A,$ тогда для каждой последовательности $a_{\bullet }=\left(a_{m}\right)_{m=1}^{\infty }$ в $A$ и каждая последовательность $\left(b_{m}\right)_{m=1}^{\infty }$ такой, что $b_{m}\in \Gamma \left(a_{m}\right),$

если $\lim _{m\to \infty }a_{m}=a$ и $\lim _{m\to \infty }b_{m}=b$ затем $b\in \Gamma (a).$

Если $B$ компактно, то верно и обратное.

В качестве примера посмотрим на изображение справа и рассмотрим последовательность a в области, которая сходится к x (слева или справа). Тогда любая последовательность b , удовлетворяющая требованиям, сходится к некоторой точке из f ( x ).

Теорема о замкнутом графике

График многозначной функции $\Gamma :A\rightrightarrows B$ это набор, определяемый $Gr(\Gamma )=\{(a,b)\in A\times B:b\in \Gamma (a)\}.$График $\Gamma$ это совокупность всех $a\in A$ такой, что $\Gamma (a)$ не пуст.

Теорема — Если $\Gamma :A\rightrightarrows B$ — полунепрерывная сверху многозначная функция с замкнутой областью определения (т. е. областью определения $\Gamma$ закрыто) и закрытые значения (т.е. $\Gamma (a)$ закрыто для всех $a\in A$), затем $\operatorname {Gr} (\Gamma )$ закрыт.

Если $B$ компактно, то верно и обратное.

Нижняя геминепрерывность

Последовательная характеристика

Теорема — $\Gamma :A\rightrightarrows B$ является нижним геминепрерывным при $a\in A$ тогда и только тогда, когда для каждой последовательности $a_{\bullet }=\left(a_{m}\right)_{m=1}^{\infty }$ в $A$ такой, что $a_{\bullet }\to a$ в $A$ и все $b\in \Gamma (a),$ существует подпоследовательность $\left(a_{m_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }$ из $a_{\bullet }$ а также последовательность $b_{\bullet }=\left(b_{k}\right)_{k=1}^{\infty }$ такой, что $b_{\bullet }\to b$ и $b_{k}\in \Gamma \left(a_{m_{k}}\right)$ для каждого $k.$

Теорема об открытом графе

Функция с множеством значений $\Gamma :A\to B$ говорят, что нижние части открыты, если множество $\Gamma ^{-1}(b)=\{a\in A:b\in \Gamma (a)\}$открыт в $A$ для каждого $b\in B.$ Если $\Gamma$ значения — это все открытые множества в $B,$ затем $\Gamma$ Говорят, что верхние части открыты .

Если $\Gamma$ имеет открытый график $\operatorname {Gr} (\Gamma ),$ затем $\Gamma$ имеет открытые верхнюю и нижнюю части и если $\Gamma$ имеет открытые нижние отделы, то является нижним полусплошным.

Теорема об открытом графе — если $\Gamma :A\to P\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ — многозначная функция с выпуклыми значениями и открытыми верхними секциями, тогда $\Gamma$ имеет открытый граф в $A\times \mathbb {R} ^{n}$ тогда и только тогда, когда $\Gamma$ является нижним геминепрерывным.

Операции, сохраняющие геминепрерывность

Теоретико-множественные, алгебраические и топологические операции над многозначными функциями (такими как объединение, композиция, сумма, выпуклая оболочка, замыкание) обычно сохраняют тип непрерывности. Но к этому следует относиться с соответствующей осторожностью, поскольку, например, существует пара полунепрерывных снизу множественных функций, пересечение которых не является полунепрерывным снизу. Это можно исправить, усилив свойства непрерывности: если одна из этих полунепрерывных снизу мультифункций имеет открытый график, то их пересечение снова будет полунепрерывным снизу.

Выбор функций

Решающее значение для многозначного анализа (с точки зрения приложений) имеет исследование однозначных выборок и приближений к многозначным функциям. Обычно нижние полунепрерывные многозначные функции допускают однозначный выбор ( теорема выбора Майкла , теорема о направленно непрерывном выборе Брессана-Коломбо, выбор разложимых карт Фрышковского). Аналогично, полунепрерывные сверху отображения допускают аппроксимации (например, теорема Анселя–Гранаса–Гурневича–Крышевского).

Другие концепции непрерывности

Верхнюю и нижнюю геминепрерывность можно рассматривать как обычную непрерывность:

Теорема — Карта с множеством значений $\Gamma :A\to B$ ниже [соответственно. верхний] полунепрерывен тогда и только тогда, когда отображение $\Gamma :A\to P(B)$ является непрерывным там, где гиперпространство P(B) наделено нижним [соответственно. верхняя] Топология Виеториса .

(Для понятия гиперпространства сравните также степенное множество и функциональное пространство ).

Хаусдорфа, Используя нижнюю и верхнюю равномерность мы также можем определить так называемые верхние и нижние полунепрерывные отображения в смысле Хаусдорфа (также известные как метрически нижние/верхние полунепрерывные отображения ).

См. также

• Дифференциальное включение
• Расстояние Хаусдорфа - Расстояние между двумя подмножествами метрического пространства.
• Полунепрерывность — свойство функций, которое слабее, чем непрерывность. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.

Ссылки

• Алипрантис, Хараламбос Д .; Бордер, Ким К. (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешествующих автостопом (Третье изд.). Берлин: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-29587-7 . OCLC   262692874 .
• Обен, Жан-Пьер ; Челлина, Арриго (1984). Дифференциальные включения: многозначные отображения и теория жизнеспособности . Грундл. дер Мат. Висс. Том. 264. Берлин: Шпрингер. ISBN  0-387-13105-1 .
• Обен, Жан-Пьер ; Франковска, Хелен (1990). Многозначный анализ . Базель: Биркхойзер. ISBN  3-7643-3478-9 .
• Даймлинг, Клаус (1992). Многозначные дифференциальные уравнения . Вальтер де Грюйтер. ISBN  3-11-013212-5 .
• Мас-Колелл, Андреу ; Уинстон, Майкл Д .; Грин, Джерри Р. (1995). Микроэкономический анализ . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 949–951. ISBN  0-19-507340-1 .
• Хорошо, Эфе А. (2007). Реальный анализ с экономическими приложениями . Издательство Принстонского университета. стр. 216–226. ISBN  978-0-691-11768-3 .