Внешнее пространство

В математике понятие экстернологии в топологическом пространстве X обобщает основные свойства семейства.

е ^Х _cc = {E ⊆ X : X\E — замкнутое компактное подмножество X}

дополнений к замкнутым александровской компактным подпространствам X , которые используются для построения его компактификации . Экстернология позволяет ввести понятие цели. точка, для изучения расхождения сетей с точки зрения сходимости к конечным точкам, и это полезный инструмент для изучения и классификации некоторых семейств некомпактных топологических пространств. Его также можно использовать для подхода к топологическому пространству как к пределу других топологических пространств: экстернологии очень полезны, когда к компактному метрическому пространству, вложенному в гильбертово пространство, приближаются его открытые окрестности .

Определение

Пусть (X,τ) — топологическое пространство. Экстернология удовлетворяющий на (X,τ) — это непустой набор ε открытых подмножеств, :

• Если E1 _E1 , E2 _∈ ε то ∩ _, E2 _∈ ε ;
• если E ∈ ε, U ∈ τ и E ⊆ U , то U ∈ ε .

Внешнее пространство (X,τ,ε) состоит из топологического пространства (X,τ) вместе с экстернологией ε . Открытое E , находящееся в ε, называется внешне открытым подмножеством . Отображение f:(X,τ,ε) → (X',τ',ε') называется внешним отображением, если оно непрерывно и f ⁻¹ (E) ∈ ε для всех E ∈ ε' .

Категорию внешних пространств и внешних отображений будем E. обозначать Примечательно, что E — полная и кополная категория.

Некоторые примеры внешних пространств

• Для пространства (X,τ) всегда можно рассмотреть тривиальную экстернологию ε _tr ={X} и, с другой стороны, полную экстернологию ε _tot =τ . Обратите внимание, что экстернология ε является топологией тогда и только тогда, когда пустое множество является членом ε тогда и только тогда, когда ε=τ .
• Для пространства (X,τ) экстернология ε ^Х _cc дополнений к замкнутым компактным подмножествам X допускает связь с теорией собственных отображений .
• Для пространства (X,τ) и подмножества A⊆X семейство ε(X,A)={U⊆X:A⊆U,Uετ} является экстернологией в X . Двумя частными случаями, имеющими важные приложения в теории форм и в динамических системах соответственно, являются следующие:
• Если A — замкнутое подпространство гильбертова куба X=Q, то экстернология ε ^А =ε(Q,A) — разрешение A в смысле теории форм.
• Пусть X — непрерывная динамическая система , а P — подмножество периодических точек ; мы можем рассмотреть экстернологию ε(X,P) . В более общем смысле, если A является инвариантным подмножеством, экстернология ε(X,A) полезна для изучения динамических свойств потока .

Применение наружных пространств

• Правильная теория гомотопий : Непрерывное отображение f:X→Y между топологическими пространствами называется собственным , если для любого замкнутого компактного подмножества K в Y , f ⁻¹ (K) — компактное подмножество X . Категорию пространств и собственных отображений будем обозначать P . Эта категория и соответствующая собственная гомотопическая категория очень полезны для изучения некомпактных пространств. Тем не менее, существует проблема, заключающаяся в том, что эта категория не имеет достаточного количества пределов и копределов, и тогда мы не можем разработать обычные гомотопические конструкции, такие как петли , гомотопические пределы и копределы и т. д. Ответом на эту проблему является категория внешних пространств E , которая допускает Модель Квиллена структурирует и содержит полную подкатегорию категории пространств и собственных карт; то есть существует полный и точный функтор P → E , который переводит топологическое пространство (X,τ) во внешнее пространство (X,τ,ε ^Х _сс ) .
• Правильная категория LS : проблема нахождения характеризаций Ганеи и Уайтхеда этого собственного инварианта не может быть решена в рамках соответствующей категории из-за отсутствия (ко) пределов. Тем не менее расширение этого инварианта на категорию внешних пространств позволяет найти решение такой проблемы. Этот собственный численный инвариант был применен к изучению открытых 3- многообразий .
• Теория форм : многие инварианты формы (группы Борсука, группы Куигли внутрь и приближающиеся группы) компактного метрического пространства могут быть получены как внешние гомотопические группы внешнего пространства, определяемые открытыми окрестностями компактного метрического пространства, вложенными в гильбертовский куб.
• Дискретные и непрерывные динамические системы (полупотоки и потоки) . Существует множество конструкций, которые связывают внешнее пространство с динамической системой, например: Учитывая непрерывный (дискретный) поток, можно рассматривать внешние пространства, индуцированные открытыми окрестностями подмножество периодических точек , периодические точки Пуассона, омега-пределы и т. д. Конструкции и свойства этих связанных внешних пространств используются для изучения динамических свойств (полупоточного) потока.

Ссылки

• М. Карденас, Ф. Ф. Лашерас и А. Кинтеро. Обнаружение классов когомологий для правильной категории LS. Случай полустабильных 3-многообразий , Матем. Учеб. Кэмб. Филос. Соц. (2011).
• А. Дель Рио, Л. Дж. Эрнандес и М. Т. Ривас Родригес. S-Типы глобальных башен пространств и внешних пространств , Прил. Катег. Строй., 17 нет. 3, 287–301 (2009).
• Л. Эспаньол, Х. М. Гарсиа-Кальсинес, М. К. Мингес. О собственной и внешней последовательности , Прикл. Категория Строй., 18 , нет. 6, 653–668 (2010).
• Дж.И. Экстремиана, Л.Дж. Эрнандес и М.Т. Ривас. Факторизации Постникова на бесконечности , Тополь. Appl., 153 , 370–393, (2005).
• Дж.И. Экстремиана, Л.Дж. Эрнандес и М.Т. Ривас. Подход к динамическим системам с использованием внешних пространств . Научный вклад в честь Мириана Андреса Гомеса, 307Đ318, Univ. Ла Риоха Серв. Публикация, Логроньо, 2010.
• Х. М. Гарсиа-Кальсинес, П. Р. Гарсиа-Диас, А. Мурильо Мас. Подход Уайтхеда-Ганеа для собственной категории Люстерника–Шнирельмана . Математика. Учеб. Кэмб. Филос. Соц. 142 (2007), вып. 3, 439–457.
• Х. М. Гарсиа-Кальсинес, П. Р. Гарсиа-Диас, А. Мурильо Мас, Гипотеза Ганеа в собственной гомотопии через теорию внешней гомотопии . Математика. Учеб. Изменять Филос. Сок. 149 (2010), вып. 1, 75—91.
• Х. М. Гарсиа-Кальсинес, М. Гарсиа Пинильос и Л. Х. Эрнандес. Закрытая модельная категория для собственных гомотопий и теорий формы , Bull. Ауст. Математика. Соц. 57 № 2, 221–242 (1998).
• Х. М. Гарсиа-Кальсинес и Л. Х. Эрнандес. Секвенциальные гомологии , Тополь. Прил. 114/2 , 201–225, (2001).
• Х. М. Гарсиа-Кальсинес, М. Гарсиа Пинильос и Л. Х. Эрнандес. Замкнутые симплициальные модельные структуры для внешней и собственной гомотопии , Прикл. Категория Структура. 12 , №3, 225–243, (2004).
• М. Гарсиа-Пинильос, Л. Х. Эрнандес Парисио и М. Т. Ривас Родригес. Точные последовательности и закрытые категории моделей , Прикл. Категория Строй., 18 , нет. 4, 343–375 (2010). DOI 10.1007/s10485-008-9176-х (2009).