Установлен лимит

Эта статья посвящена понятию предельного множества в области динамических систем. О понятии предела в теории множеств см. Теоретико-множественный предел .

В математике , особенно при изучении динамических систем , предельный набор — это состояние, которого достигает динамическая система по прошествии бесконечного количества времени, двигаясь вперед или назад во времени. Наборы пределов важны, поскольку их можно использовать для понимания долгосрочного поведения динамической системы. О системе, достигшей своего предельного состояния, говорят, что она находится в равновесии .

Типы

• фиксированные точки
• периодические орбиты
• предельные циклы
• аттракторы

В общем, предельные множества могут быть очень сложными, как в случае странных аттракторов , но для двумерных динамических систем теорема Пуанкаре–Бендиксона дает простую характеристику всех непустых компактных систем. $\omega$-предельные множества, которые содержат не более конечного числа неподвижных точек в виде фиксированной точки, периодической орбиты или объединения неподвижных точек и гомоклинических или гетероклинических орбит, соединяющих эти неподвижные точки.

Определение итерированных функций

Позволять $X$ — метрическое пространство , и пусть $f:X\rightarrow X$ быть непрерывной функцией . $\omega$-ограниченный набор $x\in X$, обозначенный $\omega (x,f)$, – множество точек скопления прямой орбиты $\{f^{n}(x)\}_{n\in \mathbb {N} }$ функции повторяемой $f$. Следовательно, $y\in \omega (x,f)$ тогда и только тогда, когда существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел $\{n_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ такой, что $f^{n_{k}}(x)\rightarrow y$ как $k\rightarrow \infty$. Другой способ выразить это:

$\omega (x,f)=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\overline {\{f^{k}(x):k>n\}}},$

где ${\overline {S}}$ обозначает замыкание множества $S$. Точки в предельном наборе не являются блуждающими (но не могут быть повторяющимися точками ). Это также можно сформулировать как внешний предел ( limsup ) последовательности множеств, такой что

$\omega (x,f)=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\overline {\bigcup _{k=n}^{\infty }\{f^{k}(x)\}}}.$

Если $f$ является гомеоморфизмом (т. е. двояконепрерывной биекцией), то $\alpha$-предельный набор определяется аналогично, но для обратной орбиты; т.е. $\alpha (x,f)=\omega (x,f^{-1})$.

Оба набора $f$-инвариант, и если $X$ компактен . , они компактны и непусты

Определение потоков

Учитывая реальную динамическую систему $(T,X,\varphi )$ с потоком $\varphi :\mathbb {R} \times X\to X$, точка $x$ называем точку y , мы $\omega$- предельная точка $x$ если существует последовательность $(t_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ в $\mathbb {R}$ так что

$\lim _{n\to \infty }t_{n}=\infty$

$\lim _{n\to \infty }\varphi (t_{n},x)=y$.

Для орбиты $\gamma$ из $(T,X,\varphi )$, мы говорим, что $y$ это $\omega$- предельная точка $\gamma$, если это $\omega$- предельная точка некоторой точки на орбите.

Аналогично мы называем $y$ а $\alpha$- предельная точка $x$ если существует последовательность $(t_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ в $\mathbb {R}$ так что

$\lim _{n\to \infty }t_{n}=-\infty$

$\lim _{n\to \infty }\varphi (t_{n},x)=y$.

Для орбиты $\gamma$ из $(T,X,\varphi )$, мы говорим, что $y$ это $\alpha$- предельная точка $\gamma$, если это $\alpha$- предельная точка некоторой точки на орбите.

Набор всего $\omega$-предельные баллы( $\alpha$-предельные точки) для данной орбиты $\gamma$ называется $\omega$- установлен лимит ( $\alpha$- лимит установлен ) для $\gamma$ и обозначили $\lim _{\omega }\gamma$ ( $\lim _{\alpha }\gamma$).

Если $\omega$-лимит установлен( $\alpha$-предельное множество) не пересекается с орбитой $\gamma$, то есть $\lim _{\omega }\gamma \cap \gamma =\varnothing$ ( $\lim _{\alpha }\gamma \cap \gamma =\varnothing$), мы звоним $\lim _{\omega }\gamma$ ( $\lim _{\alpha }\gamma$) ω-предельный цикл ( α-предельный цикл ).

В качестве альтернативы наборы пределов могут быть определены как

$\lim _{\omega }\gamma :=\bigcap _{s\in \mathbb {R} }{\overline {\{\varphi (x,t):t>s\}}}$

и

$\lim _{\alpha }\gamma :=\bigcap _{s\in \mathbb {R} }{\overline {\{\varphi (x,t):t<s\}}}.$

Примеры

• Для любой периодической орбиты $\gamma$ динамической системы, $\lim _{\omega }\gamma =\lim _{\alpha }\gamma =\gamma$
• Для любой фиксированной точки $x_{0}$ динамической системы, $\lim _{\omega }x_{0}=\lim _{\alpha }x_{0}=x_{0}$

Характеристики

• $\lim _{\omega }\gamma$ и $\lim _{\alpha }\gamma$ закрыты ​
• если $X$ тогда компактен $\lim _{\omega }\gamma$ и $\lim _{\alpha }\gamma$ непусты ​ , компактны и связны
• $\lim _{\omega }\gamma$ и $\lim _{\alpha }\gamma$ являются $\varphi$-инвариант, то есть $\varphi (\mathbb {R} \times \lim _{\omega }\gamma )=\lim _{\omega }\gamma$ и $\varphi (\mathbb {R} \times \lim _{\alpha }\gamma )=\lim _{\alpha }\gamma$

См. также

• Джулия сет
• Стабильный набор
• Предельный цикл
• Периодическая точка
• Неблуждающий набор
• Кляйнианская группа

Дальнейшее чтение

• Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-8328-0 .

Эта статья включает в себя материал из Omega-limit, установленного на PlanetMath , который распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .