Тело революции

Вращение кривой. Образующаяся поверхность является поверхностью вращения ; оно заключает в себе тело революции.

Продолжительность: 14 секунд. 0:14

Тела вращения ( Matemateca Ime-Usp )

В геометрии телом вращения называют твёрдую фигуру, вращением плоской вокруг фигуры некоторой прямой ( оси вращения ), которая не может пересекать образующую полученную (кроме её границы). Поверхность , созданная этим вращением и ограничивающая твердое тело, является поверхностью вращения .

Предполагая, что кривая не пересекает ось, объем твердого тела равен длине круга , описываемого фигуры центроидом фигуры , умноженным на площадь ( вторая теорема Паппа о центроиде ).

Представительный диск представляет собой трехмерный объемный элемент тела вращения. Элемент создается путем вращения отрезка линии ( длиной w ) вокруг некоторой оси (расположенной расстоянии r единиц), так что цилиндрический объем π на r ² w единиц прилагается.

Нахождение объема

Двумя распространенными методами определения объема тела вращения являются метод диска и метод интегрирования оболочки . Для применения этих методов проще всего нарисовать рассматриваемый график; определить область, которая должна вращаться вокруг оси вращения; определить объем либо дискообразного среза твердого тела толщиной δx , либо цилиндрической оболочки шириной δx ; а затем найдите предельную сумму этих объемов, когда δx приближается к 0, значению, которое можно найти путем вычисления подходящего интеграла. Более строгое обоснование можно дать, попытавшись вычислить тройной интеграл в цилиндрических координатах с двумя разными порядками интегрирования.

Дисковый метод

Интеграция диска по оси Y

Основная статья: Интеграция дисков

Дисковый метод используется, когда нарисованный срез перпендикулярен оси вращения; т.е. при интегрировании параллельно оси вращения.

Объем твердого тела, образованного вращением области между кривыми f ( y ) и g ( y ) и линиями y = a и y = b вокруг оси y , определяется выражением

$$V=\pi \int _{a}^{b}\left|f(y)^{2}-g(y)^{2}\right|\,dy\,.$$

Если g ( y ) = 0 (например, вращение области между кривой и осью y ), это сводится к:

$$V=\pi \int _{a}^{b}f(y)^{2}\,dy\,.$$

Метод можно визуализировать, рассмотрев тонкий горизонтальный прямоугольник в точке y между f ( y ) сверху и g ( y ) снизу и вращая его вокруг оси y ; он образует кольцо (или диск в случае, когда g ( y ) = 0 ) с внешним радиусом f ( y ) и внутренним радиусом g ( y ) . Площадь кольца равна π( R ² − р ² ) , где R — внешний радиус (в данном случае f ( y ) ), а r — внутренний радиус (в данном случае g ( y ) ). Таким образом, объем каждого бесконечно малого диска равен π f ( y ) ² ды . Предел суммы Римана объемов дисков между a и b становится целым (1).

Предполагая применимость теоремы Фубини и формулы многомерной замены переменных, метод диска можно вывести простым способом (обозначая твердое тело D):

$$V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}r\,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}r^{2}\Vert _{g(z)}^{f(z)}\,dz=\pi \int _{a}^{b}(f(z)^{2}-g(z)^{2})\,dz$$

интеграции

Основная статья: Интеграция с оболочкой

Интеграция с оболочкой

Метод оболочки (иногда называемый «методом цилиндра») используется, когда нарисованный срез параллелен оси вращения; т.е. при интегрировании перпендикулярно оси вращения.

Объем твердого тела, образованного вращением области между кривыми f ( x ) и g ( x ) и линиями x = a и x = b вокруг оси y , определяется выражением

$$V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx\,.$$

Если g ( x ) = 0 (например, вращение области между кривой и осью y ), это сводится к:

$$V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)|\,dx\,.$$

Метод можно визуализировать, рассмотрев тонкий вертикальный прямоугольник в точке x с высотой f ( x ) − g ( x ) и вращая его вокруг оси y ; он образует цилиндрическую оболочку. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π rh , где r — радиус (в данном случае x ), а h — высота (в данном случае f ( x ) − g ( x ) ). Суммирование всех площадей поверхности вдоль интервала дает общий объем.

Этот метод можно получить с помощью того же тройного интеграла, но на этот раз с другим порядком интегрирования:

$$V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}r\,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}r(f(r)-g(r))\,dr.$$

Демонстрация твердой революции

Фигуры в состоянии покоя

Формы в движении, показывающие тела вращения, образованные каждым

Параметрическая форма

Математика и искусство : исследование вазы как тела вращения Паоло Уччелло . 15 век

Когда кривая определяется ее параметрической формой ( x ( t ), y ( t )) в некотором интервале [ a , b ] , объемы твердых тел, генерируемые вращением кривой вокруг оси x или оси y , равны данный

$${\begin{aligned}V_{x}&=\int _{a}^{b}\pi y^{2}\,{\frac {dx}{dt}}\,dt\,,\\V_{y}&=\int _{a}^{b}\pi x^{2}\,{\frac {dy}{dt}}\,dt\,.\end{aligned}}$$

При тех же обстоятельствах площади поверхностей твердых тел, образующиеся в результате вращения кривой вокруг оси x или оси y , определяются выражением

$${\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}2\pi y\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,,\\A_{y}&=\int _{a}^{b}2\pi x\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,.\end{aligned}}$$

Это также может быть получено путем многовариантной интеграции. Если плоская кривая задана формулой $\langle x(t),y(t)\rangle$ тогда его соответствующая поверхность вращения при вращении вокруг оси x имеет декартовы координаты, определяемые выражением $\mathbf {r} (t,\theta )=\langle y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t)\rangle$ с $0\leq \theta \leq 2\pi$. Тогда площадь поверхности определяется поверхностным интегралом

$$A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.$$

Вычисление результатов частных производных

$${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=\left\langle {\frac {dy}{dt}}\cos(\theta ),{\frac {dy}{dt}}\sin(\theta ),{\frac {dx}{dt}}\right\rangle ,$$

$${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle -y\sin(\theta ),y\cos(\theta ),0\right\rangle$$

и вычисляем перекрестного произведения доходность

$${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle =y\left\langle \cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right\rangle$$

где тригонометрическое тождество $\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$был использован. Используя это векторное произведение, мы получаем

$${\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}$$

где снова использовалось то же тригонометрическое тождество. Вывод для поверхности, полученной вращением вокруг оси Y, аналогичен.

Полярная форма

Для полярной кривой $r=f(\theta )$ где $\alpha \leq \theta \leq \beta$ и $f(\theta )\geq 0$, объемы твердых веществ, образующихся при вращении кривой вокруг оси x или оси y, равны

$${\begin{aligned}V_{x}&=\int _{\alpha }^{\beta }\left(\pi r^{2}\sin ^{2}{\theta }\cos {\theta }\,{\frac {dr}{d\theta }}-\pi r^{3}\sin ^{3}{\theta }\right)d\theta \,,\\V_{y}&=\int _{\alpha }^{\beta }\left(\pi r^{2}\sin {\theta }\cos ^{2}{\theta }\,{\frac {dr}{d\theta }}+\pi r^{3}\cos ^{3}{\theta }\right)d\theta \,.\end{aligned}}$$

Площади поверхностей твердых тел, образующиеся в результате вращения кривой вокруг оси x или оси y , заданы.

$${\begin{aligned}A_{x}&=\int _{\alpha }^{\beta }2\pi r\sin {\theta }\,{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta \,,\\A_{y}&=\int _{\alpha }^{\beta }2\pi r\cos {\theta }\,{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta \,,\end{aligned}}$$

См. также

• Рог Габриэля
• Теорема Гульдина
• Псевдосфера
• Поверхность революции
• Копыта

Ссылки

• «Объемы тел революции» . CliffsNotes.com . 12 апреля 2011 г. Архивировано из оригинала 19 марта 2012 г.
• Эйрес, Фрэнк ; Мендельсон, Эллиотт (2008). Исчисление . Очерки Шаума . МакГроу-Хилл Профессионал. стр. 244–248. ISBN  978-0-07-150861-2 . ( онлайн-копия , стр. 244, в Google Книгах )
• Вайсштейн, Эрик В. «Твердое революции» . Математический мир .