Теорема Паппа о центроиде

Теорема применена к открытому цилиндру, конусу и сфере для определения площадей их поверхностей. Центроиды находятся на расстоянии a (красный) от оси вращения.

В математике теорема о центроиде Паппа (также известная как теорема Гульдина , Гульдина или теорема Паппа ) представляет собой одну из двух связанных теорем, касающихся площадей и объемов поверхностей теорема Паппа - и тел вращения.

Теоремы приписываются Паппу Александрийскому. и Пол Гулдин . Изложение этой теоремы Паппом впервые появляется в печати в 1659 году, но оно было известно и раньше Кеплеру в 1615 году и Гульдину в 1640 году.

Первая теорема

Первая теорема утверждает, что площадь поверхности A поверхности вращения, образованной вращением плоской кривой C вокруг оси , внешней по отношению к C и находящейся в той же плоскости, равна произведению длины дуги s поверхности C и расстояния d , пройденного геометрический центр C : тяжести $$A=sd.$$

Например, площадь поверхности тора с малым радиусом r и большим радиусом R равна $$A=(2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}Rr.$$

Доказательство

Кривая, заданная положительной функцией $f(x)$ ограничен двумя точками, заданными формулой:

$a\geq 0$ и $b\geq a$

Если $dL$ — бесконечно малый элемент прямой, касающийся кривой, длина кривой определяется выражением:

$$L=\int _{a}^{b}dL=\int _{a}^{b}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx$$

The $y$ составляющая центра тяжести этой кривой:

$${\bar {y}}={\frac {1}{L}}\int _{a}^{b}y\,dL={\frac {1}{L}}\int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx$$

Площадь поверхности, полученная в результате вращения кривой вокруг оси X, определяется выражением:

$$A=2\pi \int _{a}^{b}y\,dL=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx$$

Используя последние два уравнения для исключения интеграла, мы имеем:

$$A=2\pi {\bar {y}}L$$

Вторая теорема

Вторая теорема утверждает, что объем V тела вращения, возникающего в результате вращения плоской фигуры F вокруг внешней оси, равен произведению площади A фигуры F и расстояния d, пройденного геометрическим центром тяжести F . (Центр тяжести F обычно отличается от центра тяжести ее граничной кривой C. ) То есть: $$V=Ad.$$

Например, объем тора с малым радиусом r и большим радиусом R равен $$V=(\pi r^{2})(2\pi R)=2\pi ^{2}Rr^{2}.$$

Этот особый случай был получен Иоганном Кеплером с использованием бесконечно малых величин.

Доказательство 1

Область, ограниченная двумя функциями:

$$y=f(x),\,\qquad y\geq 0$$

$$y=g(x),\,\qquad f(x)\geq g(x)$$

и ограничен двумя линиями:

$x=a\geq 0$ и $x=b\geq a$

дается:

$$A=\int _{a}^{b}dA=\int _{a}^{b}[f(x)-g(x)]\,dx$$

The $x$ составляющая центроида этой области определяется выражением:

$${\bar {x}}={\frac {1}{A}}\,\int _{a}^{b}x\,[f(x)-g(x)]\,dx$$

Если эту область повернуть вокруг оси Y, создаваемый объем можно рассчитать с помощью метода оболочки. Его дают:

$$V=2\pi \int _{a}^{b}x\,[f(x)-g(x)]\,dx$$

Используя последние два уравнения для исключения интеграла, мы имеем:

$$V=2\pi {\bar {x}}A$$

Доказательство 2

Позволять $A$ быть областью $F$, $W$ тело революции $F$, и $V$ объем $W$. Предполагать $F$ начинается в $xz$-плоскость и вращается вокруг $z$-ось. Расстояние от центра тяжести $F$ из $z$-ось - это ее $x$-координировать $$R={\frac {\int _{F}x\,dA}{A}},$$и теорема утверждает, что $$V=Ad=A\cdot 2\pi R=2\pi \int _{F}x\,dA.$$

Чтобы показать это, позвольте $F$ находиться в xz , параметризованной плоскости $\mathbf {\Phi } (u,v)=(x(u,v),0,z(u,v))$ для $(u,v)\in F^{*}$, область параметров. С ${\boldsymbol {\Phi }}$ по сути является отображением $\mathbb {R} ^{2}$ к $\mathbb {R} ^{2}$, площадь $F$ определяется формулой замены переменных : $$A=\int _{F}dA=\iint _{F^{*}}\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|\,du\,dv=\iint _{F^{*}}\left|{\frac {\partial x}{\partial u}}{\frac {\partial z}{\partial v}}-{\frac {\partial x}{\partial v}}{\frac {\partial z}{\partial u}}\right|\,du\,dv,$$где $\left|{\tfrac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|$ – определитель матрицы Якоби замены переменных.

Твердый $W$ имеет тороидальную параметризацию ${\boldsymbol {\Phi }}(u,v,\theta )=(x(u,v)\cos \theta ,x(u,v)\sin \theta ,z(u,v))$ для $(u,v,\theta )$ в области параметров $W^{*}=F^{*}\times [0,2\pi ]$; и его объем $$V=\int _{W}dV=\iiint _{W^{*}}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta )}}\right|\,du\,dv\,d\theta .$$

Расширение, $${\begin{aligned}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta )}}\right|&=\left|\det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}\cos \theta &{\frac {\partial x}{\partial v}}\cos \theta &-x\sin \theta \\[6pt]{\frac {\partial x}{\partial u}}\sin \theta &{\frac {\partial x}{\partial v}}\sin \theta &x\cos \theta \\[6pt]{\frac {\partial z}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}&0\end{bmatrix}}\right|\\[5pt]&=\left|-{\frac {\partial z}{\partial v}}{\frac {\partial x}{\partial u}}\,x+{\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial x}{\partial v}}\,x\right|=\ \left|-x\,{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|=x\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|.\end{aligned}}$$

Последнее равенство справедливо, поскольку ось вращения должна быть внешней по отношению к $F$, значение $x\geq 0$. Сейчас, $${\begin{aligned}V&=\iiint _{W^{*}}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta )}}\right|\,du\,dv\,d\theta \\[1ex]&=\int _{0}^{2\pi }\!\!\!\!\iint _{F^{*}}x(u,v)\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|du\,dv\,d\theta \\[6pt]&=2\pi \iint _{F^{*}}x(u,v)\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|\,du\,dv\\[1ex]&=2\pi \int _{F}x\,dA\end{aligned}}$$путем замены переменных.

Обобщения

Теоремы могут быть обобщены для произвольных кривых и форм при соответствующих условиях.

Гудман и Гудман обобщим вторую теорему следующим образом. Если фигура F движется в пространстве так, что она остается перпендикулярной кривой L, центроидом F , то она выметает тело объема V = Ad , где A — площадь F , а d — длина L. очерченной (При этом предполагается, что твердое тело не пересекает само себя.) В частности, F может вращаться вокруг своего центроида во время движения.

Однако соответствующее обобщение первой теоремы верно только в том случае, если кривая L перпендикулярной плоскости C. , очерченная центроидом, лежит в плоскости ,

В n - измерениях

В общем, можно создать $n$ твердое тело путем вращения $n-p$ объемное тело $F$ вокруг $p$ мерная сфера. Это называется $n$-тело вращения видов $p$. Пусть $p$-й центроид $F$ определяться

$$R={\frac {\iint _{F}x^{p}\,dA}{A}},$$

Тогда теоремы Паппа обобщаются до:

Объем $n$-тело вращения видов $p$
= (Объем генерации $(n{-}p)$-твердый) $\times$ (Площадь поверхности $p$-сфера, прослеживаемая $p$-й центроид порождающего тела)

и

Площадь поверхности $n$-тело вращения видов $p$
= (Площадь генерирующей $(n{-}p)$-твердый) $\times$ (Площадь поверхности $p$-сфера, прослеживаемая $p$-й центроид порождающего тела)

Исходные теоремы имеют место с $n=3,\,p=1$.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Паппуса о центроиде» . Математический мир .