Трансцендентная теория чисел

Трансцендентная теория чисел — это раздел теории чисел , который исследует трансцендентные числа (числа, которые не являются решениями какого-либо полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами ) как качественным, так и количественным способом.

Трансцендентность

Основная статья: Трансцендентное число

Фундаментальная теорема алгебры говорит нам, что если у нас есть непостоянный многочлен с рациональными коэффициентами (или, что то же самое, путем очистки знаменателей , с целыми коэффициентами), то этот многочлен будет иметь корень из комплексных чисел . То есть для любого непостоянного многочлена $P$ с рациональными коэффициентами будет комплексное число $\alpha$ такой, что $P(\alpha )=0$. Теория трансцендентности занимается обратным вопросом: учитывая комплексное число $\alpha$, существует ли полином $P$ с рациональными коэффициентами такими, что $P(\alpha )=0?$ Если такого многочлена не существует, то число называется трансцендентным.

В более общем плане теория касается алгебраической независимости чисел. Набор чисел {α ₁ , α ₂ , …, α _n } называется алгебраически независимым над полем K, если не существует ненулевого многочлена P от n переменных с коэффициентами из K такого, что P (α ₁ , α ₂ , …, α _n ) = 0. Таким образом, определение того, является ли данное число трансцендентным, на самом деле является частным случаем алгебраической независимости, когда n = 1, а поле K является полем рациональных чисел .

Связанное с этим понятие заключается в том, существует ли выражение в замкнутой форме для числа, включая экспоненты и логарифмы, а также алгебраические операции. Существуют различные определения «замкнутой формы», и вопросы о закрытой форме часто можно свести к вопросам о трансцендентности.

История

рациональными числами: от Лиувилля

Использование термина «трансцендентный» для обозначения объекта, который не является алгебраическим, восходит к семнадцатому веку, когда Готфрид Лейбниц доказал, что синусоидальная функция не является алгебраической функцией . Вопрос о том, могут ли определенные классы чисел быть трансцендентными, возник еще в 1748 году. когда Эйлер утверждал что число log _a b не было алгебраическим для рациональных чисел a и b при условии, что b не имеет вида b = a ^с для некоторого рационального c .

Утверждение Эйлера не было доказано до двадцатого века, но почти через сто лет после его утверждения Жозефу Лиувиллю удалось доказать существование чисел, которые не являются алгебраическими, что до тех пор не было известно наверняка. В его оригинальных статьях по этому вопросу в 1840-х годах были изложены аргументы, использующие непрерывные дроби для построения трансцендентных чисел. Позже, в 1850-х годах, он дал необходимое условие того, чтобы число было алгебраическим, и, следовательно, достаточное условие того, чтобы число было трансцендентным. Этот критерий трансцендентности не был достаточно сильным, чтобы быть необходимым, и действительно, он не смог обнаружить, что число e является трансцендентным. Но его работа предоставила более широкий класс трансцендентных чисел, теперь известных в его честь как числа Лиувилля .

Критерий Лиувилля, по сути, гласил, что алгебраические числа не могут быть очень хорошо аппроксимированы рациональными числами. Итак, если число можно очень хорошо аппроксимировать рациональными числами, то оно должно быть трансцендентным. Точное значение слова «очень хорошо аппроксимировано» в работе Лиувилля относится к определенному показателю степени. Он показал, что если α — алгебраическое число степени d ≥ 2 и ε — любое число, большее нуля, то выражение

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{d+\varepsilon }}}$

может быть удовлетворено только конечным числом рациональных чисел p / q . Использование этого критерия трансцендентности нетривиально, поскольку необходимо проверить, существует ли бесконечно много решений p / q для каждого d ≥ 2.

В двадцатом веке работа Туэ Акселя Карл Сигел , и Клаус Рот уменьшил показатель степени в работе Лиувилля с d + ε до d /2 + 1 + ε и, наконец, в 1955 г., до 2 + ε. Этот результат, известный как теорема Туэ-Зигеля-Рота , якобы является наилучшим из возможных, поскольку если показатель степени 2 + ε заменить всего на 2, то результат перестанет быть верным. Однако Серж Ланг предположил, что результат Рота улучшился; в частности, он предположил, что q ^2+е в знаменателе правой части можно привести к $q^{2}(\log q)^{1+\epsilon }$.

Работа Рота фактически положила конец работе, начатой ​​Лиувиллем, а его теорема позволила математикам доказать трансцендентность многих других чисел, таких как константа Чамперноуна . Однако теорема все еще недостаточно сильна, чтобы обнаружить все трансцендентные числа, и многие известные константы, включая e и π, либо не являются, либо не известны как очень хорошо аппроксимируемые в указанном выше смысле.

: от Эрмита

К счастью, в девятнадцатом веке были изобретены другие методы для изучения алгебраических свойств e и, следовательно, π посредством тождества Эйлера . Эта работа была сосредоточена на использовании так называемой вспомогательной функции . Это функции , которые обычно имеют много нулей в рассматриваемых точках. Здесь «много нулей» может означать множество различных нулей или всего лишь один ноль, но с высокой кратностью , или даже множество нулей, все с высокой кратностью. Чарльз Эрмит использовал вспомогательные функции, аппроксимирующие функции $e^{kx}$ для каждого натурального числа $k$ чтобы доказать трансцендентность $e$ в 1873 году. Его работа была основана Фердинандом фон Линдеманном в 1880-х годах. чтобы доказать, что е ^а трансцендентно для ненулевых алгебраических чисел α. В частности, это доказало, что π трансцендентно, поскольку e ^{π я} является алгебраическим и, таким образом, дает отрицательный ответ на древнюю проблему о том, можно ли квадратировать круг . Карл Вейерштрасс развил их работу еще дальше и в конечном итоге доказал теорему Линдеманна-Вейерштрасса в 1885 году.

В 1900 году Давид Гильберт сформулировал свой знаменитый сборник задач . Седьмой из них , один из самых сложных, по оценке Гильберта, задавался вопросом о трансцендентности чисел формы a. ^б где a и b — алгебраические числа, a не равно нулю или единице, b иррационально а . В 1930-е годы Александр Гельфонд и Теодор Шнайдер доказал, что все такие числа действительно трансцендентны, используя неявную вспомогательную функцию, существование которой было подтверждено леммой Зигеля . Этот результат, теорема Гельфонда – Шнайдера , доказал трансцендентность таких чисел, как e ^п и константа Гельфонда–Шнайдера .

Следующий крупный результат в этой области произошел в 1960-х годах, когда Алан Бейкер добился прогресса в решении проблемы, поставленной Гельфондом о линейных формах в логарифмах . Сам Гельфонд сумел найти нетривиальную нижнюю оценку величины

$|\beta _{1}\log \alpha _{1}+\beta _{2}\log \alpha _{2}|\,$

где все четыре неизвестных являются алгебраическими, αs не равно нулю и не единице, а βs иррационально. Однако найти аналогичные нижние оценки для суммы трех и более логарифмов ускользнуло от Гельфонда. Доказательство теоремы Бейкера Гаусса проблему числа классов содержало такие оценки, решая при этом для класса номер один. Эта работа принесла Бейкеру медаль Филдса за использование при решении диофантовых уравнений . С чисто трансцендентной точки зрения теории чисел Бейкер доказал, что если α ₁ , ..., α _n — алгебраические числа, ни одно из них не равно нулю или единице, а β ₁ , ..., β _n — алгебраические числа такие, что 1, β ₁ , ..., β _n над линейно независимы рациональными числами, то число

$\alpha _{1}^{\beta _{1}}\alpha _{2}^{\beta _{2}}\cdots \alpha _{n}^{\beta _{n}}$

является трансцендентальным.

: Кантор и

В 1870-х годах Георг Кантор начал развивать теорию множеств и в 1874 году опубликовал статью , доказывающую, что алгебраические числа могут быть приведены во взаимно однозначное соответствие с набором натуральных чисел и, таким образом, что набор трансцендентных чисел должен быть неисчислимым . Позже, в 1891 году, Кантор использовал свой более знакомый диагональный аргумент, чтобы доказать тот же результат. Хотя результат Кантора часто называют чисто экзистенциальным и, следовательно, непригодным для построения единого трансцендентного числа, доказательства в обеих вышеупомянутых статьях дают методы построения трансцендентных чисел.

В то время как Кантор использовал теорию множеств, чтобы доказать полноту трансцендентных чисел, недавним развитием стало использование теории моделей в попытках доказать нерешенную проблему в теории трансцендентных чисел. Задача состоит в том, чтобы определить степень трансцендентности поля

$K=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n},e^{x_{1}},\ldots ,e^{x_{n}})$

для комплексных чисел x ₁ , ..., x _n, линейно независимых над рациональными числами. Стивен Шануэль предположил , что ответ — по крайней мере n , но доказательств не известно. Однако в 2004 году Борис Зильбер опубликовал статью, в которой использовались методы теории моделей для создания структуры, которая ведет себя очень похоже на комплексные числа , оснащенные операциями сложения, умножения и возведения в степень. Более того, в этой абстрактной структуре гипотеза Шануэля действительно справедлива. К сожалению, пока неизвестно, что эта структура на самом деле совпадает с комплексными числами с упомянутыми операциями; могла бы существовать какая-то другая абстрактная структура, которая ведет себя очень похоже на комплексные числа, но в которой гипотеза Шануэля не верна. Зильбер предоставил несколько критериев, которые доказывали бы, что рассматриваемая структура является C , но не смог доказать так называемую аксиому сильного экспоненциального замыкания. С тех пор был доказан простейший случай этой аксиомы: но для завершения доказательства гипотезы требуется доказательство того, что она справедлива в полной общности.

Подходы

Типичная проблема в этой области математики — выяснить, является ли данное число трансцендентным. Кантор использовал аргумент мощности , чтобы показать, что существует только счетное число алгебраических чисел и, следовательно, почти все числа трансцендентны. Таким образом, трансцендентные числа представляют собой типичный случай; даже в этом случае может быть чрезвычайно сложно доказать, что данное число трансцендентно (или даже просто иррационально).

По этой причине теория трансцендентности часто работает в направлении более количественного подхода. Итак, учитывая конкретное комплексное число α, можно задаться вопросом, насколько близко α к алгебраическому числу. Например, если предположить, что число α является алгебраическим, то можно ли показать, что оно должно иметь очень высокую степень или минимальный полином с очень большими коэффициентами? В конечном счете, если можно показать, что никакой конечной степени или размера коэффициента недостаточно, тогда число должно быть трансцендентным. Поскольку число α трансцендентно тогда и только тогда, когда P (α) ≠ 0 для каждого ненулевого многочлена P с целыми коэффициентами, к этой задаче можно подойти, пытаясь найти нижние оценки вида

$|P(a)|>F(A,d)$

где правая часть — это некоторая положительная функция, зависящая от некоторой меры A размера коэффициентов P , и такая, что эти нижние оценки применимы и ее степени d ко всем P ≠ 0. Такая граница называется мерой трансцендентности .

Случай d = 1 представляет собой случай «классического» диофантового приближения, требующего нижних оценок для

$|ax+b|$.

Методы теории трансцендентности и диофантовой аппроксимации имеют много общего: оба они используют понятие вспомогательной функции .

Основные

Теорема Гельфонда-Шнайдера была крупным достижением теории трансцендентности в период 1900–1950 годов. В 1960-х годах метод Алана Бейкера на линейных формах в логарифмах алгебраических чисел реанимировал теорию трансцендентности с приложениями к многочисленным классическим проблемам и диофантовым уравнениям .

Классификация Малера

Курт Малер 1932 году разделил трансцендентные числа на три класса, названных S , T и U. в Определение этих классов основано на расширении идеи числа Лиувилля (цитированной выше).

Мера иррациональности действительного числа

Один из способов определить число Лиувилля — рассмотреть, насколько малым данное действительное число x делает линейные многочлены | дх - р | не делая их точно равными 0. Здесь p , q — целые числа с | р |, | д | ограничено целым положительным числом H .

Позволять $m(x,1,H)$ быть минимальным ненулевым абсолютным значением, которое принимают и принимают эти полиномы:

$\omega (x,1,H)=-{\frac {\log m(x,1,H)}{\log H}}$

$\omega (x,1)=\limsup _{H\to \infty }\,\omega (x,1,H).$

ω( x , 1) часто называют мерой иррациональности действительного числа x . Для рациональных чисел ω( x , 1) = 0 и не менее 1 для иррациональных действительных чисел. Число Лиувилля определяется как имеющее бесконечную меру иррациональности. Теорема Рота гласит, что иррациональные действительные алгебраические числа имеют меру иррациональности 1.

Мера трансцендентности комплексного числа

Далее рассмотрим значения многочленов комплексного числа x , когда эти многочлены имеют целые коэффициенты, степень не более n и высоту не более H , где n , H — положительные целые числа.

Позволять $m(x,n,H)$ — минимальное ненулевое абсолютное значение, которое такие полиномы принимают при $x$ и возьми:

$\omega (x,n,H)=-{\frac {\log m(x,n,H)}{n\log H}}$

$\omega (x,n)=\limsup _{H\to \infty }\,\omega (x,n,H).$

Предположим, что это бесконечно для некоторого минимального положительного целого числа n . Комплексное число x в этом случае называется числом U степени n .

Теперь мы можем определить

$\omega (x)=\limsup _{n\to \infty }\,\omega (x,n).$

( x ) часто называют мерой трансцендентности x . ω Если ω( x , n ) ограничены, то ω( x ) конечна, и x называется S. числом Если ω( x , n ) конечны, но неограничены, называется числом T. x x является алгебраическим тогда и только тогда, когда ω( x ) = 0.

Очевидно, что числа Лиувилля являются подмножеством чисел U. Уильям Левек в 1953 году построил U-числа любой желаемой степени. Числа Лиувилля и, следовательно, числа U представляют собой несчетные множества. Это множества меры 0.

Числа T также включают набор меры 0. Чтобы доказать их существование, потребовалось около 35 лет. Вольфганг М. Шмидт в 1968 году показал, что примеры существуют. Однако почти все комплексные числа являются числами S. Малер доказал, что экспоненциальная функция переводит все ненулевые алгебраические числа в S числа: это показывает, что e является числом S, и дает доказательство трансцендентности числа π . Известно, что это число π не является числом U. Многие другие трансцендентные числа остаются неклассифицированными.

Два числа x , y называются алгебраически зависимыми , если существует ненулевой многочлен P от двух неопределённых с целыми коэффициентами такой, что P ( x , y ) = 0. Существует мощная теорема о том, что два комплексных числа, алгебраически зависимых, принадлежат тот же класс Малера. Это позволяет создавать новые трансцендентные числа, такие как сумма чисел Лиувилля с e или π .

Символ S, вероятно, обозначал имя учителя Малера Карла Людвига Зигеля , а T и U — это всего лишь две следующие буквы.

Коксмы

Юрьен Коксма в 1939 году предложил другую классификацию, основанную на аппроксимации алгебраическими числами.

Рассмотрим аппроксимацию комплексного числа x алгебраическими числами степени ≤ n и высоты ≤ H . Пусть α — алгебраическое число этого конечного множества такое, что | х - α| имеет минимальное положительное значение. Определите ω*( x , H , n ) и ω*( x , n ) следующим образом:

$|x-\alpha |=H^{-n\omega ^{*}(x,H,n)-1}.$

$\omega ^{*}(x,n)=\limsup _{H\to \infty }\,\omega ^{*}(x,n,H).$

Если для наименьшего натурального числа n ω*( x , n ) бесконечно, x называется U*-числом степени n .

Если ω*( x , n ) ограничены и не сходятся к 0, x называется S*-числом ,

Число x называется A*-числом, если ω*( x , n ) сходится к 0.

Если все ω*( x , n ) конечны, но неограничены, x называется T*-числом ,

Классификации Коксмы и Малера эквивалентны в том смысле, что делят трансцендентные числа на одни и те же классы. A * -числа являются алгебраическими числами.

Конструкция ЛеВека

Позволять

$\lambda ={\tfrac {1}{3}}+\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}.$

Можно показать, что корень n-й степени из λ (число Лиувилля) является U-числом степени n .

Эту конструкцию можно улучшить, чтобы создать несчетное семейство U-чисел степени n . Пусть Z — множество, состоящее из всех остальных степеней 10 в приведенном выше ряду для λ. Множество всех подмножеств Z несчетно. Удаление любого из подмножеств Z из ряда по λ создает несчетное количество различных чисел Лиувилля, корни n-й степени которых являются U-числами степени n .

Введите

Верхняя грань последовательности {ω( x , n )} называется типом . Почти все действительные числа являются числами S типа 1, который является минимальным для вещественных чисел S. Почти все комплексные числа являются числами S типа 1/2, что также является минимальным. Утверждения почти всех чисел были выдвинуты Малером и в 1965 году доказаны Владимиром Спринджуком.

Открытые проблемы

Хотя теорема Гельфонда-Шнайдера доказала, что большой класс чисел был трансцендентным, этот класс все еще был счетным. Многие известные математические константы до сих пор не известны как трансцендентные, а в некоторых случаях даже неизвестно, являются ли они рациональными или иррациональными. Частичный список можно найти здесь .

Основная проблема теории трансцендентности заключается в том, чтобы показать, что конкретный набор чисел алгебраически независим, а не просто показать, что отдельные элементы трансцендентны. Итак, хотя мы знаем, что e и π трансцендентны, это не означает, что e + π трансцендентно, как и другие комбинации этих двух (кроме e ^п , постоянная Гельфонда , которая, как известно, трансцендентна). Другая серьезная проблема связана с числами, не связанными с показательной функцией. Основные результаты теории трансцендентности, как правило, вращаются вокруг e и функции логарифма, а это означает, что для работы с числами, которые не могут быть выражены через эти два объекта элементарным образом, требуются совершенно новые методы.

Гипотеза Шануэля в некоторой степени решила бы первую из этих проблем, поскольку она касается алгебраической независимости, и действительно подтвердила бы, что e + π трансцендентно. Однако он по-прежнему вращается вокруг экспоненциальной функции и поэтому не обязательно будет иметь дело с такими числами, как константа Апери или константа Эйлера-Машерони . Еще одной чрезвычайно сложной нерешенной проблемой является так называемая проблема констант или тождественности .

Ссылки

• Бейкер, Алан (1975). Трансцендентная теория чисел . Издание в мягкой обложке, 1990 г. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-20461-5 . Збл   0297.10013 .
• Гельфонд, АО (1960). Трансцендентные и алгебраические числа . Дувр. Збл   0090.26103 .
• Ланг, Серж (1966). Введение в трансцендентные числа . Аддисон-Уэсли. Збл   0144.04101 .
• Натараджан, Сарадха [на французском языке] ; Тангадурай, Равиндранатан (2020). Столпы трансцендентной теории чисел . Издательство Спрингер . ISBN  978-981-15-4154-4 .
• Спринджук, Владимир Григорьевич (1969). Проблема Малера в метрической теории чисел (1967) . AMS Переводы математических монографий. Перевод с русского Б. Фолькмана. Американское математическое общество . ISBN  978-1-4704-4442-6 .
• Спринджук, Владимир Григорьевич (1979). Метрическая теория диофантовых приближений . Серия Scripta по математике. Перевод с русского Ричарда А. Сильвермана. Предисловие Дональда Дж. Ньюмана. Уайли . ISBN  0-470-26706-2 . Збл   0482.10047 .

Дальнейшее чтение

• Алан Бейкер и Гисберт Вюстхольц , Логарифмические формы и диофантова геометрия , Новые математические монографии 9 , Cambridge University Press, 2007, ISBN   978-0-521-88268-2