Множественное количественное определение

В математике и логике переменная квантификация множественного числа — это теория, согласно которой отдельная x может принимать значения как во множественном , так и в единственном числе. Помимо замены x отдельными объектами, такими как Алиса, число 1, самое высокое здание в Лондоне и т. д., мы можем заменить как Алису, так и Боба, или все числа от 0 до 10, или все здания в Лондоне выше 20 этажей. .

Цель теории состоит в том, чтобы придать логике первого порядка силу теории множеств , но без какой-либо « экзистенциальной приверженности » таким объектам, как множества. Классическими экспозициями являются Boolos 1984 и Lewis 1991.

История [ править ]

Эту точку зрения обычно связывают с Джорджем Булосом , хотя она старше (см., в частности, Simons 1982), и связана с точкой зрения на классы, которую защищал Джон Стюарт Милль и другие философы- номиналисты . Милль утверждал, что универсалии или «классы» не являются чем-то особенным, имеющим объективное существование, отличное от отдельных объектов, подпадающих под них, но «представляют собой не больше и не меньше, чем отдельные вещи в классе». (Мельница 1904, II. ii. 2, также I. iv. 3).

Подобная позиция также обсуждалась Бертраном Расселом в главе VI книги «Рассел» (1903), но позже от нее отказались в пользу теории «отсутствия классов». См. также Gottlob Frege 1895 для критики более ранней точки зрения, защищаемой Эрнстом Шредером .

Общая идея восходит к Лейбницу . (Леви, 2011, стр. 129–133)

Интерес к множественному числу возродился благодаря работам в лингвистике в 1970-х годах Ремко Ша , Годехарда Линка , Фреда Ландмана , Фридерики Мольтманн , Роджера Шварцшильда , Питера Лазерсона и других, которые разработали идеи семантики множественного числа.

Предыстория и мотивация [ править ]

Многоуровневые (вариантно-полиадические) отношения и предикаты

Предложения типа

Алиса и Боб сотрудничают.

Алиса, Боб и Кэрол сотрудничают.

Говорят, что они включают многоуровневый (также известный как переменно-полиадический , также анадический ) предикат или отношение («сотрудничать» в этом примере), что означает, что они обозначают одну и ту же концепцию, даже если они не имеют фиксированной арности (ср. Линнебо и Николас 2008). Понятие многоуровневого отношения/предиката появилось еще в 1940-х годах и особенно использовалось Куайном (см. Morton 1975). Квантификация множественного числа связана с формализацией количественной оценки аргументов переменной длины таких предикатов, например, « xx сотрудничает», где xx — переменная во множественном числе. Обратите внимание, что в этом примере семантически не имеет смысла создавать экземпляр xx с именем одного человека.

Номинализм [ править ]

В широком смысле номинализм отрицает существование универсалий ( абстрактных сущностей ), таких как множества, классы, отношения, свойства и т. д. Таким образом, логика множественного числа была разработана как попытка формализовать рассуждения о множественном числе, например, те, которые участвуют в многоуровневых предикатах, по-видимому, без обращение к понятиям, которые отрицают номиналисты, например, к множествам.

Стандартная логика первого порядка испытывает трудности с представлением некоторых предложений во множественном числе. Наиболее известной является фраза Гича-Каплана : «Некоторые критики восхищаются только друг другом». Каплан доказал, что он непервоупорядочиваем (доказательство можно найти в этой статье). Следовательно, его перефразирование на формальный язык обязывает нас к количественному определению множеств (т.е. к существованию).

Булос утверждал, что квантификация второго порядка монадическая может быть систематически интерпретирована с точки зрения количественной оценки множественного числа, и что, следовательно, монадическая квантификация второго порядка «онтологически невинна». ^[1]

Позже Оливер и Смайли (2001), Райо (2002), Йи (2005) и Маккей (2006) утверждали, что такие предложения, как

Они товарищи по кораблю

Они встречаются вместе

Они подняли пианино

Они окружают здание

Они восхищаются только друг другом

также не могут быть интерпретированы в монадической логике второго порядка. Это связано с тем, что такие предикаты, как «являются товарищами по кораблю», «встречаются вместе», «окружают здание», не являются распределительными . Предикат F является дистрибутивным, если всякий раз, когда некоторые вещи являются F, каждая из них является F. Но в стандартной логике каждый монадический предикат является дистрибутивным . Тем не менее, такие предложения также кажутся невинными в каких-либо экзистенциальных предположениях и не предполагают количественной оценки.

Таким образом, можно предложить единое объяснение терминов множественного числа, которое допускает как распределительное, так и недистрибутивное удовлетворение предикатов, одновременно защищая эту позицию от «сингулярного» предположения, что такие предикаты являются предикатами наборов индивидов (или мереологических сумм).

Несколько писателей ^{[ ВОЗ? ]} предположили, что логика множественного числа открывает возможность упростить основы математики , избежать парадоксов теории множеств и упростить сложные и неинтуитивные наборы аксиом, необходимые для того, чтобы их избежать. ^{[ нужны разъяснения ]}

Недавно Линнебо и Николас (2008) предположили, что естественные языки часто содержат переменные в сверхмножественном числе (и связанные с ними кванторы), такие как «эти люди, те люди и эти другие люди соревнуются друг с другом» (например, как команды в онлайн-игре), в то время как Николас (2008) утверждал, что для объяснения семантики массовых существительных, таких как «вино» и «мебель», следует использовать логику множественного числа.

Формальное определение [ править ]

В этом разделе представлена простая формулировка логики/квантификации множественного числа, примерно такая же, как данная Булосом в «Номиналистическом платонизме» (Boolos 1985).

Синтаксис [ править ]

Подсентенциальные единицы определяются как

Символы предикатов $F$ , $G$ и т. д. (с соответствующими арностями, которые остаются неявными)
Символы сингулярных переменных $x$ , $y$ , и т. д.
Символы множественных переменных ${\bar {x}}$ , ${\bar {y}}$ , и т. д.

Полные предложения определяются как

Если $F$ является n -арным символом-предикатом, и $x_{0},\ldots ,x_{n}$ являются сингулярными переменными символами, то $F(x_{0},\ldots ,x_{n})$ это приговор.
Если $P$ это предложение, то и так $\neg P$
Если $P$ и $Q$ являются предложениями, то и так $P\land Q$
Если $P$ это предложение и $x$ является сингулярным символом переменной, то $\exists x.P$ это предложение
Если $x$ является сингулярным символом переменной и ${\bar {y}}$ является символом переменной во множественном числе, тогда $x\prec {\bar {y}}$ — это предложение (где ≺ обычно интерпретируется как отношение «является одним из»)
Если $P$ это предложение и ${\bar {x}}$ является символом переменной во множественном числе, тогда $\exists {\bar {x}}.P$ это предложение

Последние две строки — единственный существенно новый компонент синтаксиса логики множественного числа. Другие логические символы, определяемые с их помощью, могут свободно использоваться в качестве сокращений обозначений.

Эта логика оказывается равноинтерпретируемой с монадической логикой второго порядка .

Теория моделей [ править ]

Теория/семантика модели множественной логики — это то, где недостаток множеств в логике обналичивается. Модель определяется как кортеж $(D,V,s,R)$ где $D$ это домен, $V$ это совокупность оценок $V_{F}$ для каждого имени предиката $F$ в обычном понимании и $s$ представляет собой последовательность Тарского (присвоение значений переменным) в обычном смысле (т.е. отображение сингулярных символов переменных в элементы $D$ ). Новый компонент $R$ представляет собой бинарное отношение, связывающее значения в домене с символами множественных переменных.

Удовлетворение выражается как

$(D,V,s,R)\models F(x_{0},\ldots ,x_{n})$ если только $(s_{x_{0}},\ldots ,s_{x_{n}})\in V_{F}$
$(D,V,s,R)\models \neg P$ если только $(D,V,s,R)\nvDash P$
$(D,V,s,R)\models P\land Q$ если только $(D,V,s,R)\models P$ и $(D,V,s,R)\models Q$
$(D,V,s,R)\models \exists x.P$ если есть $s'\approx _{x}s$ такой, что $(D,V,s',R)\models P$
$(D,V,s,R)\models x\prec {\bar {y}}$ если только $s_{x}R{\bar {y}}$
$(D,V,s,R)\models \exists {\bar {x}}.P$ если есть $R'\approx _{\bar {x}}R$ такой, что $(D,V,s,R')\models P$

Где для сингулярных символов переменных, $s\approx _{x}s'$ означает, что для всех символов сингулярной переменной $y$ кроме $x$ , он утверждает, что $s_{y}=s'_{y}$ , а для символов переменных во множественном числе $R\approx _{\bar {x}}R'$ означает, что для всех переменных символов множественного числа ${\bar {y}}$ кроме ${\bar {x}}$ , и для всех объектов предметной области $d$ , он утверждает, что $dR{\bar {y}}=dR'{\bar {y}}$ .

Как и в синтаксисе, только два последних являются действительно новыми в логике множественного числа. Булос отмечает, что, используя отношения присваивания $R$ , предметная область не обязательно должна включать множества, и, следовательно, логика множественного числа достигает онтологической невиновности, сохраняя при этом способность говорить о расширениях предиката. Таким образом, схема понимания множественной логики $\exists {\bar {x}}.\forall y.y\prec {\bar {x}}\leftrightarrow F(y)$ не приводит к парадоксу Рассела, поскольку количественная оценка множественных переменных не дает количественной оценки во всей области. Другим аспектом логики, как ее определяет Булос, решающим для обхода парадокса Рассела, является тот факт, что предложения формы $F({\bar {x}})$ неправильно сформированы: имена предикатов могут сочетаться только с символами переменных в единственном числе, а не с символами переменных во множественном числе.

Это можно рассматривать как самый простой и очевидный аргумент в пользу того, что логика множественного числа, как ее определил Булос, онтологически невинна.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Харман, Гилберт; Лепор, Эрнест (2013), Товарищ WVO Куайна , Блэквеллские товарищи по философии, John Wiley & Sons, стр. 390, ISBN 9781118608029 .

Ссылки [ править ]

Джордж Булос , 1984, «Быть — значит быть значением переменной (или быть некоторыми значениями некоторых переменных)», Journal of Philosophy 81: 430–449. В Булосе, 1998 г., 54–72.
--------, 1985, "Номиналистический платонизм". Философское обозрение 94: 327–344. В Булосе, 1998, 73–87.
--------, 1998. Логика, логика и логика . Издательство Гарвардского университета.
Берджесс, Дж. П., «От Фреге до Фридмана: мечта сбылась?»
--------, 2004, «Из многих: множественная логика и теория множеств», Mathematical Philosophy 12(3): 193–221.
Кэмерон, младший, 1999, «Множественное число», « Соотношение » .
Коккьярелла, Нино (2002). «О логике множества классов». Студия Логика . 70 (3): 303–338. дои : 10.1023/А:1015190829525 . HDL : 2022/22331 .
Де Руийан, П., 2002, «О том, что есть», Труды Аристотелевского общества : 183–200.
Готтлоб Фреге , 1895, «Критическое разъяснение некоторых моментов лекций Э. Шредера по алгебре логики », Архивы систематической философии : 433–456.
Фред Ландман 2000. События и множественность . Клювер.
Лэйкок, Генри (2006), Слова без объектов , Оксфорд: Clarendon Press, doi : 10.1093/0199281718.001.0001 , ISBN 9780199281718
Дэвид К. Льюис , 1991. Части занятий . Лондон: Блэквелл.
Линнебо, Эйстейн; Николас, Дэвид (2008). «Сверхмножественное число на английском языке» (PDF) . Анализ . 68 (3): 186–97. дои : 10.1093/анализ/68.3.186 . Архивировано из оригинала (PDF) 20 июля 2011 г. Проверено 29 ноября 2008 г.
Маккей, Томас Дж. (2006), Множественное предсказание , Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-927814-5
Джон Стюарт Милль , 1904, Система логики , 8-е изд. Лондон: .
Мольтманн, Фридерика , 1997, Части и целое в семантике . Издательство Оксфордского университета, Нью-Йорк. ISBN 9780195154931
Мольтманн, Фридерика , «Множественное число и ссылка на множество». Лингвистические факты и семантический анализ». В М. Каррара, А. Арапинис и Ф. Мольтманн (ред.): Единство и множественность. Логика, философия и семантика. Oxford University Press, Оксфорд, 2016, стр. 93–120.
Николас, Дэвид (2008). «Массовые существительные и логика множественного числа» (PDF) . Языкознание и философия . 31 (2): 211–244. CiteSeerX 10.1.1.510.3305 . дои : 10.1007/s10988-008-9033-2 . Архивировано из оригинала (PDF) 19 февраля 2012 г.
Оливер, Алекс; Смайли, Тимоти (2001). «Стратегии логики множественного числа». Философский ежеквартальный журнал . 51 (204): 289–306. дои : 10.1111/j.0031-8094.2001.00231.x .
Оливер, Алекс (2004). «Множественные предикаты». Разум . 113 (452): 609–681. дои : 10.1093/mind/113.452.609 .
Райо, Агустин (2002). «Слово и предметы». Нус . 36 (3): 436–64. дои : 10.1111/1468-0068.00379 .
--------, 2006, «За пределами множественного числа», в Райо и Ускиано (2006).
--------, 2007, «Множественное число», выйдет в журнале «Philosophy Compass» .
-------- и Габриэль Узкиано, ред., 2006. Absolute Generality Oxford University Press.
Бертран Рассел , Б., 1903. Основы математики . Оксфордский университет. Нажимать.
Питер Саймонс , 1982, «Множественная ссылка и теория множеств», в издании Барри Смита , « Части и моменты: исследования в области логики и формальной онтологии ». Мюнхен: Философия Верлаг.
--------, 1987. Части . Издательство Оксфордского университета.
Ускиано, Габриэль (2003). «Множественное количественное определение и классы». Философия Математика . 11 (1): 67–81. дои : 10.1093/филмат/11.1.67 .
Йи, Бён Ук (1999). «Двое — это собственность?». Журнал философии . 95 (4): 163–190. дои : 10.2307/2564701 . JSTOR 2564701 .
--------, 2005, «Логика и значение множественного числа, часть I», Journal of Philosophical Logic 34: 459–506.
Адам Мортон . «Сложные личности и многоуровневые отношения». Ноус (1975): 309–318. JSTOR 2214634
Сэмюэл Леви (2011) «Логическая теория Лейбница» в книге Брэндона К. Лука (ред.) The Continuum Companion to Leibniz , Continuum International Publishing Group, ISBN 0826429750

Внешние ссылки [ править ]

[1] Харман, Гилберт; Лепор, Эрнест (2013), Товарищ WVO Куайна , Блэквеллские товарищи по философии, John Wiley & Sons, стр. 390, ISBN 9781118608029 .

[1]