Способы конвергенции

В математике существует множество смыслов, в которых последовательность или ряд называют сходящимися. В этой статье описываются различные способы (чувства или виды) конвергенции в тех условиях, где они определены. Список режимов конвергенции см. в разделе Режимы конвергенции (аннотированный указатель).

Каждый из следующих объектов является частным случаем предшествующих ему типов: множества , топологические пространства , равномерные пространства , TAG (топологические абелевы группы), нормированные пространства , евклидовы пространства и действительные/комплексные числа. Кроме того, любое метрическое пространство является однородным.

Элементы топологического пространства

Сходимость можно определить в терминах последовательностей в пространствах с первой счетностью . Сети — это обобщение последовательностей, которые полезны в пространствах, которые не являются счетными. Фильтры еще больше обобщают концепцию сходимости.

В метрических пространствах можно определить последовательности Коши . Сети и фильтры Коши являются обобщениями однородных пространств . В более общем смысле пространства Коши — это пространства, в которых могут быть определены фильтры Коши. Сходимость подразумевает «сходимость Коши», а сходимость Коши вместе с существованием сходящейся подпоследовательности подразумевает сходимость. Понятие полноты метрических пространств и его обобщения определяются в терминах последовательностей Коши.

Ряд элементов в топологической абелевой группе

В топологической абелевой группе сходимость ряда определяется как сходимость последовательности частичных сумм. Важным понятием при рассмотрении рядов является безусловная сходимость , гарантирующая инвариантность предела ряда относительно перестановок слагаемых.

можно определить В нормированном векторном пространстве абсолютную сходимость как сходимость ряда норм ( $\Sigma |b_{k}|$ ). Абсолютная сходимость подразумевает сходимость Коши последовательности частичных сумм (по неравенству треугольника), что, в свою очередь, подразумевает абсолютную сходимость некоторой группировки (без переупорядочения). Последовательность частичных сумм, полученная группировкой, является подпоследовательностью частичных сумм исходного ряда. Сходимость по норме абсолютно сходящихся рядов является эквивалентным условием того, что нормированное линейное пространство является банаховым (т. е. полным).

Абсолютная сходимость и сходимость вместе предполагают безусловную сходимость, но безусловная сходимость не означает абсолютной сходимости вообще, даже если пространство банахово, хотя импликация верна в $\mathbb {R} ^{d}$ .

Сходимость последовательности функций в топологическом пространстве

Самый основной тип сходимости последовательности функций (в частности, он не предполагает никакой топологической структуры в области определения функций) — это поточечная сходимость . Он определяется как сходимость последовательности значений функций в каждой точке. Если функции принимают свои значения в однородном пространстве, то можно определить поточечную сходимость Коши, равномерную сходимость и равномерную сходимость Коши последовательности.

Поточечная сходимость влечет за собой поточечную сходимость Коши, и обратное справедливо, если пространство, в котором функции принимают свои значения, полно. Равномерная сходимость подразумевает поточечную сходимость и равномерную сходимость Коши. Равномерная сходимость Коши и поточечная сходимость подпоследовательности влекут равномерную сходимость последовательности, а если кодобласть полная, то равномерная сходимость Коши влечет за собой равномерную сходимость.

Если областью определения функций является топологическое пространство, локальная равномерная сходимость (т. е. равномерная сходимость в окрестности каждой точки) и компактная (равномерная) сходимость (т. е. равномерная сходимость на всех компактных подмножествах могут быть определены ). «Компактная сходимость» всегда является сокращением от «компактной равномерной сходимости», поскольку «компактная поточечная сходимость» будет означать то же самое, что и «поточечная сходимость» (точки всегда компактны).

Равномерная сходимость подразумевает как локальную равномерную сходимость, так и компактную сходимость, поскольку оба являются локальными понятиями, а равномерная сходимость является глобальной. Если X ( локально компактно даже в самом слабом смысле: каждая точка имеет компактную окрестность), то локальная равномерная сходимость эквивалентна компактной (равномерной) сходимости. Грубо говоря, это потому, что «локальный» и «компактный» означают одно и то же.

Ряды функций на топологической абелевой группе

Поточечная и равномерная сходимость рядов функций определяются через сходимость последовательности частичных сумм.

Для функций, принимающих значения в нормированном линейном пространстве , абсолютная сходимость относится к сходимости ряда положительных функций с действительным знаком. $\Sigma |g_{k}|$ . «Поточечная абсолютная сходимость» — это просто поточечная сходимость $\Sigma |g_{k}|$ .

Нормальная сходимость — это сходимость ряда неотрицательных действительных чисел, полученная путем принятия равномерной (т.е. «sup») нормы каждой функции в ряду (равномерная сходимость $\Sigma |g_{k}|$ ). В банаховых пространствах поточечная абсолютная сходимость влечет за собой поточечную сходимость, а нормальная сходимость подразумевает равномерную сходимость.

Для функций, определенных в топологическом пространстве, можно определить (как указано выше) локальную равномерную сходимость и компактную (равномерную) сходимость в терминах частичных сумм ряда. Если, кроме того, функции принимают значения в нормированном линейном пространстве, то локальную нормальную сходимость (локальную, равномерную, абсолютную сходимость) и компактную нормальную сходимость (абсолютную сходимость на компактах можно определить ).

Нормальная сходимость подразумевает как локальную нормальную сходимость, так и компактную нормальную сходимость. А если область локально компактна (даже в самом слабом смысле), то из локальной нормальной сходимости следует компактная нормальная сходимость.

Функции, определенные в пространстве меры

Если рассматривать последовательности измеримых функций , то возникает несколько способов сходимости, которые зависят от теоретико-мерных, а не только топологических свойств. Сюда входит поточечная сходимость почти всюду, сходимость в p -среднем и сходимость по мере. Они представляют особый интерес для теории вероятностей .

См. также

Сходимость случайных величин - понятия вероятностной сходимости, применяемые для оценки и асимптотического анализа.
Фильтры в топологии . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
Предел последовательности - значение, к которому стремится бесконечная последовательность.
Режимы конвергенции (аннотированный индекс) – Аннотированный индекс различных режимов конвергенции.
Сеть (математика) - обобщение последовательности точек.
Топологии на пространствах линейных отображений