Заказать топологию

В математике — топология порядка это особая топология , которая может быть определена на любом полностью упорядоченном множестве . Это естественное обобщение топологии действительных чисел на произвольные полностью упорядоченные множества.

Если X — полностью упорядоченное множество, топология порядка на X порождается подбазой « открытых лучей».

\{x\mid a<x\}

\{x\mid x<b\}

для всех , b в X. a Если X имеет хотя бы два элемента, это эквивалентно тому, что открытые интервалы

(a,b)=\{x\mid a<x<b\}

вместе с вышеуказанными лучами образуют основу топологии порядка. Открытые множества в X — это множества, представляющие собой объединение (возможно, бесконечного числа) таких открытых интервалов и лучей.

Топологическое пространство X называется упорядочиваемым или линейно упорядочиваемым. ^[1] если существует такой полный порядок на его элементах, что топология порядка, индуцированная этим порядком, и заданная топология на X совпадают. Порядковая топология превращает X в совершенно нормальное хаусдорфово пространство .

Стандартные топологии на R , Q , Z и N являются топологиями порядка.

Топология индуцированного порядка

Если Y — подмножество X , X — упорядоченное множество, то Y наследует полный порядок от X. полностью Таким образом, множество Y имеет топологию порядка, топологию индуцированного порядка . Как подмножество X , Y также имеет топологию подпространства . Топология подпространства всегда не менее тонка , чем топология индуцированного порядка, но в целом они не одинаковы.

Например, рассмотрим подмножество Y = {−1} ∪ {1/ n } _{n ∈ N} рациональных чисел . В топологии подпространства одноэлементное множество {−1} открыто в Y , но в топологии индуцированного порядка любое открытое множество, содержащее −1, должно содержать все элементы пространства, кроме конечного числа.

Пример подпространства линейно упорядоченного пространства, топология которого не является порядковой топологией.

Хотя топология подпространства Y = {−1} ∪ {1/ n } _{n ∈ N} в разделе выше показано, что она не порождается индуцированным порядком на Y , тем не менее, это топология порядка на Y ; действительно, в топологии подпространства каждая точка изолирована (т. е. одноэлементное { y } открыто в Y для каждого y в Y ), поэтому топология подпространства является дискретной топологией на Y (топология, в которой каждое подмножество Y открыто) , а дискретная топология на любом множестве является топологией порядка. Чтобы определить полный порядок на Y , который генерирует дискретную топологию на Y , просто измените индуцированный порядок на Y , определив -1 как наибольший элемент Y и в противном случае сохраняя тот же порядок для других точек, так что в этом новом порядке (назовем это, скажем, < ₁ ), у нас есть 1/ n < ₁ −1 для всех n ∈ N . Тогда в топологии порядка на Y, порожденной < ₁ , каждая точка Y изолирована в Y .

Мы хотим определить здесь подмножество Z линейно упорядоченного топологического пространства X такое, что никакой полный порядок в Z не порождает топологию подпространства на Z , так что топология подпространства не будет порядковой топологией, даже если она является топологией подпространства пространства. топология которого является топологией порядка.

Позволять $Z=\{-1\}\cup (0,1)$ в реальной строке . Тот же аргумент, что и раньше, показывает, что топология подпространства на Z не равна топологии индуцированного порядка на Z , но можно показать, что топология подпространства на Z не может быть равна какой-либо топологии порядка на Z .

Далее следует аргумент. Предположим от противного, что существует некоторый строгий общий порядок < на Z такой, что топология порядка, порожденная <, равна топологии подпространства на Z (обратите внимание, что мы не предполагаем, что < является индуцированным порядком на Z , а скорее произвольно заданный полный порядок на Z , порождающий топологию подпространства).

Пусть M = Z \ {−1} = (0,1), тогда M связен , поэтому M плотен сам по себе и не имеет пробелов относительно <. Если −1 не является самым маленьким или самым большим элементом Z , то $(-\infty ,-1)$ и $(-1,\infty )$ отдельное М , противоречие. Предположим без ограничения общности, что −1 — наименьший элемент Z . Поскольку {−1} открыто в Z , существует некоторая точка p в M что интервал (−1, p ) пуст , поэтому p является минимумом M. такая , Тогда M \ { p } = (0, p ) ∪ ( p ,1) не связно относительно топологии подпространства, унаследованной от $R$ . С другой стороны, топология подпространства M \ { p }, унаследованная от порядковой топологии Z , совпадает с порядковой топологией M \ { p нет пробелов }, индуцированной <, которая связна, поскольку в M \ { p } . и он плотный. Это противоречие.

Топологии левого и правого порядка

Можно привести несколько вариантов топологии порядка:

порядка Топология правильного ^[2] на X — топология, имеющая в основе все интервалы вида $(a,\infty )=\{x\in X\mid x>a\}$ , вместе с множеством X .
Топология левого порядка на X — это топология, имеющая в основе все интервалы вида $(-\infty ,a)=\{x\in X\mid x<a\}$ , вместе с множеством X .

Топологии левого и правого порядка можно использовать для получения контрпримеров в общей топологии. Например, топология левого или правого порядка на ограниченном множестве представляет собой пример компакта, не являющегося Хаусдорфовым.

Топология левого порядка — это стандартная топология, используемая для многих теоретико-множественных целей в булевой алгебре . ^{[ нужны разъяснения ]}

Порядковое пространство

Для любого порядкового числа λ можно рассмотреть пространства порядковых чисел

[0,\lambda )=\{\alpha \mid \alpha <\lambda \}

[0,\lambda ]=\{\alpha \mid \alpha \leq \lambda \}

вместе с топологией естественного порядка. Эти пространства называются порядковыми пространствами . (Обратите внимание, что в обычной теоретико-множественной конструкции порядковых чисел имеем λ = [0, λ ) и λ + 1 = [0, λ ]). Очевидно, что эти пространства представляют наибольший интерес, когда λ — бесконечный ординал; для конечных ординалов топология порядка — это просто дискретная топология .

Когда λ = ω (первый бесконечный ординал), пространство [0,ω) представляет собой просто с обычной (все еще дискретной) топологией, а [0,ω] — одноточечная компактификация N N .

Особый интерес представляет случай, когда λ = ω ₁ , множество всех счетных ординалов и первый несчетный ординал . Элемент ω ₁ является предельной точкой подмножества [0,ω ₁ ), хотя ни одна последовательность элементов из [0,ω ₁ ) не имеет элемента ω ₁ в качестве своего предела. В частности, [0,ω ₁ ] не является счетным . Однако подпространство [0,ω ₁ ) является счетным, поскольку единственной точкой в [0,ω ₁ ] без счетной локальной базы является ω ₁ . Некоторые дополнительные свойства включают в себя

ни [0,ω ₁ ), ни [0,ω ₁ ] не являются сепарабельными или счетными по секундам.
[0,ω ₁ ] компактен , а [0,ω ₁ ) секвенциально компактен и счетно компактен , но не компактен и не паракомпактен.

Топология и ординалы

Ординалы как топологические пространства

Любое порядковое число можно превратить в топологическое пространство , наделив его топологией порядка (поскольку, будучи хорошо упорядоченным , порядковый номер является, в частности, полностью упорядоченным ): при отсутствии указаний на обратное всегда именно такая топология порядка имеется в виду, когда ординал рассматривается как топологическое пространство. (Обратите внимание: если мы готовы принять собственный класс в качестве топологического пространства, то класс всех ординалов также является топологическим пространством для порядковой топологии.)

Множество предельных точек ординала α — это в точности набор предельных ординалов меньше α . Последующие ординалы (и ноль) меньше α являются изолированными точками в α . В частности, конечные ординалы и ω являются дискретными топологическими пространствами, и никакой ординал за их пределами не является дискретным. Ординал α компактен , как топологическое пространство тогда и только тогда, когда α является либо последующим ординалом либо нулем.

Замкнутые множества предельного ординала α — это просто замкнутые множества в том смысле, который мы уже определили , а именно те, которые содержат предельный ординал всякий раз, когда они содержат все достаточно большие ординалы ниже него.

Любой порядковый номер, конечно, является открытым подмножеством любого большего порядкового номера. Мы также можем определить топологию на ординалах следующим индуктивным — пустое топологическое пространство, α +1 получается одноточечной компактификацией α δ , а для δ предельный ординал, способом: 0 снабжен индуктивным предельная топология. Обратите внимание: если α является порядковым ординалом-преемником, то α в этом случае его одноточечная компактификация α +1 представляет собой дизъюнктное объединение α компактен, и и точки.

В качестве топологических пространств все ординалы хаусдорфовы и даже нормальны . Они также полностью несвязны (компоненты связности — это точки), разбросаны (каждое непустое подпространство имеет изолированную точку; в этом случае достаточно взять наименьший элемент), нульмерны (топология имеет открытозамкнутый базис : здесь напишите открытый интервал ( β , γ ) как объединение открытых интервалов ( β , γ '+1) = [ β +1, γ '] для γ '< γ ). Однако они, вообще говоря, не являются экстремально несвязными (существуют открытые множества, например четные числа из ω, замыкание которых не открыто).

Топологические пространства ω ₁ и его преемники ω ₁ +1 часто используются в качестве хрестоматийных примеров несчетных топологических пространств.Например, в топологическом пространстве ω ₁ +1 элемент ω ₁ находится в замыкании подмножества ω ₁ , хотя ни одна последовательность элементов из ω ₁ не имеет элемента ω ₁ в качестве своего предела: элемент из ω ₁ является счетное множество; для любой последовательности таких множеств объединение этих множеств является объединением счетного числа счетных множеств, поэтому все еще счетных; это объединение является верхней границей элементов последовательности и, следовательно, пределом последовательности, если она есть.

Пространство ω ₁ является счетным в первую очередь , но не счетным во вторую очередь , а ω ₁ +1 не обладает ни одним из этих двух свойств, несмотря на то, что оно компактно . Также стоит отметить, что любая непрерывная функция от ω ₁ до R ( действительная линия ) в конечном итоге является постоянной: поэтому компактификация Стоуна–Чеха ω ₁ равна ω ₁ +1, так же, как и ее одноточечная компактификация (в резком контрасте с до ω, чья компактификация Стоуна–Чеха намного больше , чем ω).

Порядковые индексы

Если α — предельный ординал, а X — множество, α- последовательность элементов X просто означает функцию от α до X. индексированная Это понятие, трансфинитная последовательность или порядково-индексированная последовательность , является обобщением понятия последовательности . Обычная последовательность соответствует случаю α = ω.

Если X является топологическим пространством, мы говорим, что α -индексированная последовательность элементов X сходится пределу x , когда она сходится как сеть , другими словами, когда для любой окрестности U x к существует порядковый номер β < α такой, что что x _ι находится в U для всех ι ≥ β .

Порядковые индексированные последовательности более эффективны, чем обычные (ω-индексированные) последовательности для определения пределов в топологии: например, ω ₁ является предельной точкой ω ₁ +1 (потому что это предельный ординал), и, действительно, это предел последовательности с индексом ω ₁ , которая отображает любой порядковый номер, меньший, чем ω _1, в себя: однако это не предел любой обычной (индексированной ω) последовательности в ω ₁ , поскольку любой такой предел меньше или равен объединение его элементов, которое представляет собой счетное объединение счетных множеств и, следовательно, само счетно.

Однако порядковые индексы недостаточно эффективны, чтобы заменить сети (или фильтры ) в целом: например, на тихоновской планке (пространство произведений $(\omega _{1}+1)\times (\omega +1)$ ), угловая точка $(\omega _{1},\omega )$ является предельной точкой (она находится в замыкании) открытого подмножества $\omega _{1}\times \omega$ , но это не предел последовательности с порядковым индексом.

См. также

Примечания

^ Линн, Иллинойс (1962). «Линейно упорядочиваемые пространства» . Труды Американского математического общества . 13 (3): 454–456. дои : 10.1090/S0002-9939-1962-0138089-6 .
^ Стин и Сибах, с. 74

Ссылки

Стин, Линн А. и Сибах, Дж. Артур младший ; Контрпримеры в топологии , Холт, Райнхарт и Уинстон (1970). ISBN 0-03-079485-4 .
Стивен Уиллард, Общая топология , (1970) Издательство Addison-Wesley, Ридинг, Массачусетс.

В эту статью включены материалы из топологии Order на сайте PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[1] Линн, Иллинойс (1962). «Линейно упорядочиваемые пространства» . Труды Американского математического общества . 13 (3): 454–456. дои : 10.1090/S0002-9939-1962-0138089-6 .

[2] Стин и Сибах, с. 74

[1]

[2]

v т и Теория порядка
Topics Glossary Category
Key concepts	Binary relation Boolean algebra Cyclic order Lattice Partial order Preorder Total order Weak ordering
Results	Boolean prime ideal theorem Cantor–Bernstein theorem Cantor's isomorphism theorem Dilworth's theorem Dushnik–Miller theorem Hausdorff maximal principle Knaster–Tarski theorem Kruskal's tree theorem Laver's theorem Mirsky's theorem Szpilrajn extension theorem Zorn's lemma
Properties & Types (list)	Antisymmetric Asymmetric Boolean algebra topics Completeness Connected Covering Dense Directed (Partial) Equivalence Foundational Heyting algebra Homogeneous Idempotent Lattice Bounded Complemented Complete Distributive Join and meet Reflexive Partial order Chain-complete Graded Eulerian Strict Prefix order Preorder Total Semilattice Semiorder Symmetric Total Tolerance Transitive Well-founded Well-quasi-ordering (Better) (Pre) Well-order
Constructions	Composition Converse/Transpose Lexicographic order Linear extension Product order Reflexive closure Series-parallel partial order Star product Symmetric closure Transitive closure
Topology & Orders	Alexandrov topology & Specialization preorder Ordered topological vector space Normal cone Order topology Order topology Topological vector lattice Banach Fréchet Locally convex Normed
Related	Antichain Cofinal Cofinality Comparability Graph Duality Filter Hasse diagram Ideal Net Subnet Order morphism Embedding Isomorphism Order type Ordered field Positive cone of an ordered field Ordered vector space Partially ordered Positive cone of an ordered vector space Riesz space Partially ordered group Positive cone of a partially ordered group Upper set Young's lattice