Иметь в виду

Среднее значение — это числовая величина, представляющая центр набора чисел и промежуточная по отношению к крайним значениям набора чисел. ^[1] , существует несколько видов средств (или «мер центральной тенденции ») В математике , особенно в статистике . Каждый из них пытается суммировать или типизировать данную группу данных , иллюстрируя величину и знак набора данных . Какой из этих показателей является наиболее информативным, зависит от того, что измеряется, а также от контекста и цели.

Среднее арифметическое , также известное как «среднее арифметическое», представляет собой сумму значений, разделенную на количество значений. Среднее арифметическое набора чисел x ₁ , x ₂ , ..., x _n обычно обозначается с помощью верхней черты , ${\bar {x}}$ . ^{[примечание 1]} Если числа взяты из наблюдения за выборкой большей группы , среднее арифметическое называется выборочным средним ( ${\bar {x}}$ ), чтобы отличить его от группового среднего (или ожидаемого значения ) основного распределения, обозначаемого $\mu$ или $\mu _{x}$ . ^{[примечание 2]}^[2]

часто используется широкий спектр других понятий среднего значения Помимо вероятности и статистики, в геометрии и математическом анализе ; примеры приведены ниже.

Виды средств

Пифагорейские средства

Среднее арифметическое (AM)

Среднее арифметическое (или просто среднее или среднее ) списка чисел — это сумма всех чисел, деленная на количество чисел. Аналогично, среднее значение выборки $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ , обычно обозначается ${\bar {x}}$ , представляет собой сумму выборочных значений, деленную на количество элементов в выборке.

{\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}

Например, среднее арифметическое пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 равно:

{\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.

Среднее геометрическое (GM)

Среднее геометрическое — это среднее значение, которое полезно для наборов положительных чисел, которые интерпретируются в соответствии с их произведением (как в случае с темпами роста), а не их суммой (как в случае со средним арифметическим):

{\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}

^[1]

Например, среднее геометрическое пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 равно:

(4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.

Среднее гармоническое (HM)

Среднее гармоническое — это среднее значение, которое полезно для наборов чисел, определенных относительно некоторой единицы , как в случае скорости (т. е. расстояния в единицу времени):

{\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}

Например, среднее гармоническое пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 равно

{\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15.

Если у нас есть пять насосов, которые могут опорожнить резервуар определенного размера соответственно за 4, 36, 45, 50 и 75 минут, то среднее гармоническое значение $15$ говорит нам, что эти пять разных насосов, работающих вместе, будут перекачивать с той же скоростью, что и пять насосов, каждый из которых может опорожнить резервуар за $15$ минут.

Отношения между AM, GM и HM

AM, GM и HM удовлетворяют этим неравенствам:

\mathrm {AM} \geq \mathrm {GM} \geq \mathrm {HM} \,

Равенство имеет место, если все элементы данной выборки равны.

Статистическое местоположение

В описательной статистике среднее значение можно спутать с медианой , модой или средним диапазоном , поскольку любое из них может быть неправильно названо «средним» (более формально, мерой центральной тенденции ). Среднее значение набора наблюдений представляет собой среднее арифметическое значений; однако для асимметричных распределений среднее значение не обязательно совпадает со средним значением (медианой) или наиболее вероятным значением (режимом). Например, средний доход обычно искажается вверх из-за небольшого числа людей с очень высокими доходами, так что у большинства доход ниже среднего. Напротив, медианный доход — это уровень, на котором половина населения находится ниже, а половина — выше. Режим дохода является наиболее вероятным доходом и благоприятствует большему числу людей с более низкими доходами. Хотя медиана и мода часто являются более интуитивными мерами для таких асимметричных данных, многие асимметричные распределения на самом деле лучше всего описываются их средним значением, включая экспоненциальное распределение и распределение Пуассона .

Среднее значение распределения вероятностей

Среднее значение распределения вероятностей — это долгосрочное среднее арифметическое значение случайной величины , имеющей это распределение. Если случайную величину обозначить $X$ , то среднее значение также известно как ожидаемое значение $X$ (обозначается $E(X)$ ). Для дискретного распределения вероятностей среднее значение определяется выражением $\textstyle \sum xP(x)$ , где сумма берется по всем возможным значениям случайной величины и $P(x)$ — функция массы вероятности . Для непрерывного распределения среднее значение равно $\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx$ , где $f(x)$ – функция плотности вероятности . ^[4] Во всех случаях, включая те, в которых распределение не является ни дискретным, ни непрерывным, среднее значение представляет собой интеграл Лебега случайной величины по ее вероятностной мере . Среднее значение не обязательно должно существовать или быть конечным; для некоторых распределений вероятностей среднее значение бесконечно ( $+\infty$ или $-\infty$ ), а для других среднее значение не определено .

Обобщенные средства

Мощность означает

Обобщенное среднее , также известное как среднее степенное или среднее Гельдера, представляет собой абстракцию квадратичных , арифметических, геометрических и гармонических средних. Он определяется для набора из n положительных чисел x _i формулой

${\bar {x}}(m)=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{m}\right)^{\frac {1}{m}}$ ^[1]

Путем выбора различных значений параметра m получаются следующие типы средних:

$\lim _{m\to \infty }$: максимум $x_{i}$
$\lim _{m\to 2}$: квадратичное среднее
$\lim _{m\to 1}$: среднее арифметическое
$\lim _{m\to 0}$: среднее геометрическое
$\lim _{m\to -1}$: гармоническое среднее
$\lim _{m\to -\infty }$: минимум $x_{i}$

f -среднее

Это можно обобщить дальше как обобщенное $f$ -среднее

{\bar {x}}=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f\left(x_{i}\right)}}\right)

и снова подходящий выбор обратимого $f$ даст

$f(x)=x^{m}$	мощность значит ,
$f(x)=x$	среднее арифметическое ,
$f(x)=\ln(x)$	среднее геометрическое .
$f(x)=x^{-1}={\frac {1}{x}}$	гармоническое среднее ,

Средневзвешенное арифметическое

Средневзвешенное арифметическое (или средневзвешенное) используется, если нужно объединить средние значения из выборок разного размера одной и той же совокупности:

{\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}{\bar {x_{i}}}}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}.

^[1]

Где ${\bar {x_{i}}}$ и $w_{i}$ среднее значение и размер выборки $i$ соответственно. В других приложениях они представляют собой меру надежности влияния соответствующих значений на среднее значение.

Усеченное среднее

Иногда набор чисел может содержать выбросы (т. е. значения данных, которые намного ниже или намного выше, чем другие). Часто выбросы представляют собой ошибочные данные, вызванные артефактами . В этом случае можно использовать усеченное среднее . Он включает в себя отбрасывание заданных частей данных на верхнем или нижнем конце, обычно равное количество на каждом конце, а затем взятие среднего арифметического оставшихся данных. Количество удаленных значений указывается в процентах от общего количества значений.

Межквартильное среднее

Интерквартильное среднее является конкретным примером усеченного среднего. Это просто среднее арифметическое после удаления самой низкой и самой высокой четверти значений.

{\bar {x}}={\frac {2}{n}}\;\sum _{i={\frac {n}{4}}+1}^{{\frac {3}{4}}n}\!\!x_{i}

Предполагая, что значения упорядочены, это просто конкретный пример взвешенного среднего для определенного набора весов.

Среднее значение функции

В некоторых случаях математики могут вычислить среднее значение бесконечного (или даже неисчислимого ) набора значений. Это может произойти при вычислении среднего значения $y_{\text{avg}}$ функции $f(x)$ . Интуитивно среднее значение функции можно представить как вычисление площади под участком кривой и затем деление на длину этого участка. Это можно сделать грубо, посчитав квадраты на миллиметровой бумаге или, точнее, проинтегрировав . Формула интегрирования записывается как:

y_{\text{avg}}(a,b)={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}\!f(x)\,dx

При этом необходимо позаботиться о том, чтобы интеграл сходился. Но среднее значение может быть конечным, даже если сама функция в некоторых точках стремится к бесконечности.

Среднее значение углов и циклических величин

Углы , время суток и другие циклические величины требуют модульной арифметики для сложения и иного объединения чисел. Во всех этих ситуациях не будет единственного средства. Например, время за час до и после полуночи равноудалено как от полуночи, так и от полудня. Также возможно, что никакого среднего не существует. Рассмотрим цветовой круг : набор всех цветов не имеет значения. В таких ситуациях вы должны решить, какое среднее значение является наиболее полезным. Вы можете сделать это, корректируя значения перед усреднением или используя специальный подход для среднего значения круговых величин .

Фреше означает

Среднее значение Фреше дает способ определить «центр» распределения массы на поверхности или, в более общем смысле, на римановом многообразии . В отличие от многих других средств, среднее значение Фреше определяется в пространстве, элементы которого не обязательно складываются или умножаются на скаляры.Иногда его также называют средним Керхером (в честь Германа Керхера).

Треугольные наборы

В геометрии существуют тысячи различныхопределения центра треугольника , которые можно интерпретировать как среднее значение треугольного набора точек на плоскости. ^[5]

Правило Свонсона

Это приближение к среднему значению для умеренно асимметричного распределения. ^[6] Он используется при разведке углеводородов и определяется как:

m=0.3P_{10}+0.4P_{50}+0.3P_{90}

где ${\textstyle P_{10}}$ , ${\textstyle P_{50}}$ и ${\textstyle P_{90}}$ представляют собой 10-й, 50-й и 90-й процентили распределения соответственно.

Другие средства

См. также

Примечания

^ Произносится как « x bar».
^ Греческая буква μ , означающая «средний», произносится /'mjuː/.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д «Среднее | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 21 августа 2020 г.
^ Андерхилл, LG; Брэдфилд Д. (1998) Интростат , Юта и Компания Лтд. ISBN 0-7021-3838-X с. 181
^ «Обзор статистики AP - кривые плотности и нормальное распределение» . Архивировано из оригинала 2 апреля 2015 года . Проверено 16 марта 2015 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Среднее население» . mathworld.wolfram.com . Проверено 21 августа 2020 г.
^ Нарбу, Жюльен; Браун, Дэвид (2016). «К сертифицированной версии энциклопедии центров треугольников». Математика в информатике . 10 (1): 57–73. дои : 10.1007/s11786-016-0254-4 . МР 3483261 . под руководством Кларка Кимберлинга разработана электронная энциклопедия центров треугольников (ЭТЦ), в ней содержится более 7000 центров и множество свойств этих точек.
^ Херст А., Браун Г.К., Суонсон Р.И. (2000) Правило Суонсона 30-40-30. Бюллетень Американской ассоциации геологов-нефтяников 84 (12) 1883–1891 гг.

[2] Произносится как « x bar».

[3] Греческая буква μ , означающая «средний», произносится /'mjuː/.

[:2-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д «Среднее | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 21 августа 2020 г.

[4] Андерхилл, LG; Брэдфилд Д. (1998) Интростат , Юта и Компания Лтд. ISBN 0-7021-3838-X с. 181

[5] «Обзор статистики AP - кривые плотности и нормальное распределение» . Архивировано из оригинала 2 апреля 2015 года . Проверено 16 марта 2015 г.

[:1-6] Вайсштейн, Эрик В. «Среднее население» . mathworld.wolfram.com . Проверено 21 августа 2020 г.

[7] Нарбу, Жюльен; Браун, Дэвид (2016). «К сертифицированной версии энциклопедии центров треугольников». Математика в информатике . 10 (1): 57–73. дои : 10.1007/s11786-016-0254-4 . МР 3483261 . под руководством Кларка Кимберлинга разработана электронная энциклопедия центров треугольников (ЭТЦ), в ней содержится более 7000 центров и множество свойств этих точек.

[Hurst2000-8] Херст А., Браун Г.К., Суонсон Р.И. (2000) Правило Суонсона 30-40-30. Бюллетень Американской ассоциации геологов-нефтяников 84 (12) 1883–1891 гг.

[1]

[примечание 1]

[примечание 2]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]