Отраженное броуновское движение

В вероятностей теории отраженное броуновское движение (или регулируемое броуновское движение ) оба имеют аббревиатуру RBM ) — это винеровский процесс в пространстве с отражающими границами. В физической литературе этот процесс описывает диффузию в ограниченном пространстве и его часто называют ограниченным броуновским движением. Например, он может описывать движение твердых сфер в воде, заключенной между двумя стенками.

Было показано, что RBM описывают модели массового обслуживания с интенсивным трафиком. как впервые предложил Кингман и доказано Иглхартом и Уиттом .

Определение

–мерное d отраженное броуновское движение Z – это случайный процесс на $\mathbb {R} _{+}^{d}$ однозначно определяется

• d µ –мерный вектор дрейфа
• d × матрица d неособая ковариационная Σ и
• d отражения × d матрица R .

где X ( t ) — неограниченное броуновское движение со сносом µ и дисперсией Σ , и

$Z(t)=X(t)+RY(t)$

с Y ( t ) d –мерным вектором, где

• Y непрерывен и не убывает с Y (0) = 0
• Y _j увеличивается только в те моменты, когда Z _j = 0 для j = 1,2,..., d
• Z ( т ) ∈ $\mathbb {R} _{+}^{d}$, t ≥ 0.

Матрица отражения описывает поведение границы. В интерьере $\scriptstyle \mathbb {R} _{+}^{d}$ процесс ведет себя как винеровский процесс ; на границе «грубо говоря, Z смещается в направлении R ^дж всякий раз, когда граничная поверхность $\scriptstyle \{z\in \mathbb {R} _{+}^{d}:z_{j}=0\}$ поражен, где R ^дж — j- й столбец матрицы R ». Процесс Y _j — локальное время процесса на соответствующем участке границы.

Условия устойчивости

Известны условия устойчивости УОР в 1, 2 и 3 измерениях. «Проблема классификации рецидивов СРБМ в четырех и более измерениях остается открытой». В частном случае, когда R является М-матрицей, необходимыми и достаточными условиями устойчивости являются

1. R — неособая матрица и
2. Р ⁻¹ ц < 0.

Маргинальное и стационарное распределение

Одно измерение

Маргинальное распределение (переходное распределение) одномерного броуновского движения, начинающегося с 0, ограниченного положительными значениями (единственный отражающий барьер в 0) с дрейфом µ и дисперсией σ. ² является

$\mathbb {P} (Z(t)\leq z)=\Phi \left({\frac {z-\mu t}{\sigma t^{1/2}}}\right)-e^{-2\mu z/\sigma ^{2}}\Phi \left({\frac {-z-\mu t}{\sigma t^{1/2}}}\right)$

для всех t ≥ 0 (с Φ — кумулятивной функцией распределения нормального распределения ), что дает (при µ < 0) при t → ∞ экспоненциальное распределение

$\mathbb {P} (Z<z)=1-e^{-2\mu z/\sigma ^{2}}.$

При фиксированном t распределение Z(t) совпадает с распределением бегущего максимума M(t) броуновского движения:

$Z(t)\sim M(t)=\sup _{s\in [0,t]}X(s).$

Но имейте в виду, что распределение процессов в целом очень различно. В частности, M(t) увеличивается с t , чего нельзя сказать о Z(t) .

Тепловое ядро ​​отраженного броуновского движения при $p_{b}$:

$f(x,p_{b})={\frac {e^{-((x-u)/a)^{2}/2}+e^{-((x+u-2p_{b})/a)^{2}/2}}{a(2\pi )^{1/2}}}$

Для самолета выше $x\geq p_{b}$

Несколько измерений

Стационарное распределение отраженного броуновского движения во многих измерениях поддается аналитическому анализу, когда существует стационарное распределение продукта , происходит, когда процесс стабилен и

$2\Sigma =RD+DR'$

где D = диаг ( ) . В этом случае функция плотности вероятности равна

$p(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{d})=\prod _{k=1}^{d}\eta _{k}e^{-\eta _{k}z_{k}}$

где η _k = 2 µ _k γ _k / Σ _kk и γ = R ⁻¹ мкм . Выражения в закрытой форме для ситуаций, когда условие формы продукта не выполняется, можно вычислить численно, как описано ниже в разделе моделирования.

Моделирование

Одно измерение

В одном измерении моделируемый процесс представляет собой абсолютное значение винеровского процесса . Следующая программа MATLAB создает образец пути.

% rbm.m
n = 10^4; h=10^(-3); t=h.*(0:n); mu=-1;
X = zeros(1, n+1); M=X; B=X;
B(1)=3; X(1)=3;
for k=2:n+1
    Y = sqrt(h) * randn; U = rand(1);
    B(k) = B(k-1) + mu * h - Y;
    M = (Y + sqrt(Y ^ 2 - 2 * h * log(U))) / 2;
    X(k) = max(M-Y, X(k-1) + h * mu - Y);
end
subplot(2, 1, 1)
plot(t, X, 'k-');
subplot(2, 1, 2)
plot(t, X-B, 'k-');

Была количественно оценена ошибка, связанная с дискретным моделированием.

Несколько измерений

QNET позволяет моделировать устойчивые RBM.

Другие граничные условия

Феллер описал возможные граничные условия процесса

• поглощение или убило броуновское движение, Дирихле граничное условие
• мгновенное отражение, как описано выше, граничное условие Неймана
• упругое отражение, граничное условие Робина
• отложенное размышление (время пребывания на границе положительно с вероятностью единица)
• частичное отражение где процесс либо сразу отражается, либо поглощается
• липкое броуновское движение.

См. также

• Skorokhod problem