Трудный путь

В стохастическом анализе грубый путь — это обобщение понятия гладкого пути, позволяющее построить робастную теорию решения для управляемых дифференциальных уравнений, управляемых классически нерегулярными сигналами, например, винеровским процессом . Теория была разработана в 1990-х годах Терри Лайонсом . Доступно несколько версий теории.

Теория грубого пути сосредоточена на выявлении и уточнении взаимодействий между сильно колебательными и нелинейными системами. Он основан на гармоническом анализе Л.К. Янга, геометрической алгебре К.Т. Чена, теории функций Липшица Х. Уитни и основных идеях стохастического анализа. Концепции и унифицированные оценки широко применяются в чистой и прикладной математике и за ее пределами. Он предоставляет набор инструментов, позволяющий относительно легко восстановить многие классические результаты стохастического анализа (Вонга-Закаи, теорема о поддержке Струка-Варадана, построение стохастических потоков и т. д.) без использования конкретных вероятностных свойств, таких как свойство мартингала или предсказуемость. Эта теория также расширяет теорию СДУ Ито далеко за пределы семимартингала. В основе математики лежит задача описания гладкой, но потенциально сильно колебательной и многомерной траектории. $x_{t}$ эффективно, чтобы точно предсказать его влияние на нелинейную динамическую систему $\mathrm {d} y_{t}=f(y_{t})\,\mathrm {d} x_{t},y_{0}=a$. Сигнатура представляет собой гомоморфизм моноида путей (при конкатенации) в группоподобные элементы свободной тензорной алгебры. Он предоставляет градуированное резюме пути $x$. Это некоммутативное преобразование верно для путей до соответствующих нулевых модификаций. Эти поэтапные описания или особенности пути лежат в основе определения трудного пути; локально они избавляют от необходимости смотреть на тонкую структуру пути. Теорема Тейлора объясняет, как любую гладкую функцию локально можно выразить как линейную комбинацию определенных специальных функций (мономов, основанных на этой точке). Координатные итерированные интегралы (члены сигнатуры) образуют более тонкую алгебру признаков, которая может аналогичным образом описывать поток или путь; они позволяют определить грубый путь и образуют естественную линейную «базу» для непрерывных функций на путях.

Мартин Хайрер использовал грубые пути для построения устойчивой теории решения уравнения КПЗ . Затем он предложил обобщение, известное как теория регулярных структур. за что он был награжден медалью Филдса в 2014 году.

Мотивация

Теория грубого пути направлена ​​на то, чтобы разобраться в управляемом дифференциальном уравнении.

$\mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j}.$

где управление, непрерывный путь $X_{t}$ принимающие значения в банаховом пространстве , не обязательно должны быть дифференцируемыми или иметь ограниченную вариацию. Распространенный пример контролируемого пути $X_{t}$ — пример пути винеровского процесса . В этом случае вышеупомянутое управляемое дифференциальное уравнение можно интерпретировать как стохастическое дифференциальное уравнение и интегрировать против « $\mathrm {d} X_{t}^{j}$«можно определить в смысле Ито . Однако исчисление Ито определяется в смысле $L^{2}$ и, в частности, не является определением пути. Грубые пути дают почти наверняка попутное определение стохастических дифференциальных уравнений. Понятие решения по грубому пути корректно в том смысле, что если $X(n)_{t}$ представляет собой последовательность гладких путей, сходящихся к $X_{t}$ в $p$- метрика вариаций (описанная ниже) и

$\mathrm {d} Y(n)_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X(n)_{t}^{j};$

$\mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j},$

затем $Y(n)$ сходится к $Y$ в $p$- метрика вариаций. Это свойство непрерывности и детерминированный характер решений позволяют упростить и усилить многие результаты стохастического анализа, такие как теория больших отклонений Фрейдлина-Вентцеля. а также результаты о стохастических потоках.

Фактически, теория грубых путей может выйти далеко за рамки исчисления Ито и Стратоновича и позволяет понять смысл дифференциальных уравнений, управляемых несемимартингальными путями , такими как гауссовские процессы и марковские процессы .

Определение грубого пути

Грубые пути — это пути, принимающие значения в усеченной свободной тензорной алгебре (точнее: в свободной нильпотентной группе, вложенной в свободную тензорную алгебру), о которых сейчас кратко напоминается в этом разделе. Тензорные степени $\mathbb {R} ^{d}$, обозначенный ${\big (}\mathbb {R} ^{d}{\big )}^{\otimes n}$, снабжены проективной нормой $\Vert \cdot \Vert$ (см. Топологическое тензорное произведение , обратите внимание, что грубая теория путей на самом деле работает для более общего класса норм). Позволять $T^{(n)}(\mathbb {R} ^{d})$ — усеченная тензорная алгебра

$T^{(n)}(\mathbb {R} ^{d})=\bigoplus _{i=0}^{n}{\big (}\mathbb {R} ^{d}{\big )}^{\otimes i},$ где по соглашению $(\mathbb {R} ^{d})^{\otimes 0}\cong \mathbb {R}$.

Позволять $\triangle _{0,1}$ быть симплексом $\{(s,t):0\leq s\leq t\leq 1\}$. Позволять $p\geq 1$. Позволять $\mathbf {X}$ и $\mathbf {Y}$ быть непрерывными картами $\triangle _{0,1}\to T^{(\lfloor p\rfloor )}(\mathbb {R} ^{d})$. Позволять $\mathbf {X} ^{j}$ обозначим проекцию $\mathbf {X}$ на $j$-тензоры и аналогично для $\mathbf {Y} ^{j}$. $p$-метрика вариации определяется как

$d_{p}\left(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \right):=\max _{j=1,\ldots ,\lfloor p\rfloor }\sup _{0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=1}\left(\sum _{i=0}^{n-1}\Vert \mathbf {X} _{t_{i},t_{i+1}}^{j}-\mathbf {Y} _{t_{i},t_{i+1}}^{j}\Vert ^{\frac {p}{j}}\right)^{\frac {j}{p}}$

где верхняя грань берется по всем конечным разбиениям $\{0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=1\}$ из $[0,1]$.

Непрерывная функция $\mathbf {X} :\triangle _{0,1}\rightarrow T^{(\lfloor p\rfloor )}(\mathbb {R} ^{d})$ это $p$-геометрический грубый путь , если существует последовательность путей с конечной общей вариацией $X(1),X(2),\ldots$ такой, что

$\mathbf {X} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\mathrm {d} X(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right)$

сходится в $p$-метрика вариации $\mathbf {X}$ как $n\rightarrow \infty$.

Универсальная предельная теорема

Центральным результатом теории грубых путей является Лайона . универсальная предельная теорема Одна (слабая) версия результата следующая: Позволять $X(n)$ — последовательность путей с конечной полной вариацией и пусть

$\mathbf {X} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\mathrm {d} X(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\ldots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right)$ обозначают подъем грубой траектории $X(n)$.

Предположим, что $\mathbf {X} (n)$ сходится в $p$-метрика вариации $p$-геометрический неровный путь $\mathbf {X}$ как $n\to \infty$. Позволять $(V_{j}^{i})_{j=1,\ldots ,d}^{i=1,\ldots ,n}$ быть функциями, которые имеют по крайней мере $\lfloor p\rfloor$ ограниченные производные и $\lfloor p\rfloor$-ые производные $\alpha$- Гёльдер непрерывен для некоторых $\alpha >p-\lfloor p\rfloor$. Позволять $Y(n)$ быть решением дифференциального уравнения

$\mathrm {d} Y(n)_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y(n)_{t})\,\mathrm {d} X(n)_{t}^{j}$

и пусть $\mathbf {Y} (n)$ быть определен как

$\mathbf {Y} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\,\mathrm {d} Y(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\ldots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\mathrm {d} Y(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} Y(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right).$

Затем $\mathbf {Y} (n)$ сходится в $p$-метрика вариации $p$-геометрический неровный путь $\mathbf {Y}$.

Более того, $\mathbf {Y}$ является решением дифференциального уравнения

$\mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j}\qquad (\star )$

движимый геометрическим неровным путем $\mathbf {X}$.

Теорему можно интерпретировать так: карта решения (также известная как карта Ито-Лайона) $\Phi :G\Omega _{p}(\mathbb {R} ^{d})\to G\Omega _{p}(\mathbb {R} ^{e})$ РДЭ $(\star )$ непрерывна (и фактически локально липшицева) в $p$-вариационная топология. Таким образом, теория неровных путей демонстрирует, что, рассматривая движущие сигналы как неровные пути, можно получить робастную теорию решения для классических стохастических дифференциальных уравнений и не только.

Примеры неровных путей

Броуновское движение

Позволять $(B_{t})_{t\geq 0}$ быть многомерным стандартным броуновским движением. Позволять $\circ$ обозначаем интегрирование Стратоновича . Затем

$\mathbf {B} _{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\circ \mathrm {d} B_{s_{1}},\int _{s<s_{1}<s_{2}<t}\circ \mathrm {d} B_{s_{1}}\otimes \circ \mathrm {d} B_{s_{2}}\right)$

это $p$-геометрическая грубая траектория для любого $2<p<3$. Этот геометрический шероховатый путь называется броуновским грубым путем Стратоновича .

Дробное броуновское движение

В более общем смысле, пусть $B_{H}(t)$ — многомерное дробное броуновское движение (процесс, координатные компоненты которого являются независимыми дробными броуновскими движениями) с $H>{\frac {1}{4}}$. Если $B_{H}^{m}(t)$ это $m$-я двоичная кусочно-линейная интерполяция $B_{H}(t)$, затем

${\begin{aligned}\mathbf {B} _{H}^{m}(s,t)=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\right.&\mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{1}),\int _{s<s_{1}<s_{2}<t}\,\mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{1})\otimes \mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{2}),\\&\left.\int _{s<s_{1}<s_{2}<s_{3}<t}\mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{1})\otimes \mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{2})\otimes \mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{3})\right)\end{aligned}}$

почти наверняка сходится в $p$-метрика вариации $p$-геометрический приблизительный путь для ${\frac {1}{H}}<p$. Этот ограничивающий грубый геометрический путь можно использовать для понимания дифференциальных уравнений, основанных на дробном броуновском движении с параметром Херста. $H>{\frac {1}{4}}$. Когда $0<H\leq {\frac {1}{4}}$, оказывается, что указанный предел по диадическим приближениям не сходится в $p$-вариация. Однако, конечно, можно по-прежнему понимать смысл дифференциальных уравнений, если они демонстрируют грубый траекторный лифт, существование такого (неединственного) лифта является следствием теоремы о продолжении Лиона – Викторуара .

Неуникальность улучшения

В общем, пусть $(X_{t})_{t\geq 0}$ быть $\mathbb {R} ^{d}$-значный случайный процесс. Если можно почти наверняка построить функции $(s,t)\rightarrow \mathbf {X} _{s,t}^{j}\in {\big (}\mathbb {R} ^{d}{\big )}^{\otimes j}$ так что

$\mathbf {X} :(s,t)\rightarrow (1,X_{t}-X_{s},\mathbf {X} _{s,t}^{2},\ldots ,\mathbf {X} _{s,t}^{\lfloor p\rfloor })$

это $p$-геометрический приблизительный путь, затем $\mathbf {X} _{s,t}$ это улучшение процесса $X$. После выбора улучшения механизм теории грубого пути позволит разобраться в управляемом дифференциальном уравнении.

$\mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j}.$

для достаточно регулярных векторных полей $V_{j}^{i}.$

Обратите внимание, что каждый случайный процесс (даже если это детерминированный путь) может иметь более одного (фактически несчетное множество) возможных улучшений. Различные улучшения приведут к различным решениям управляемых дифференциальных уравнений. В частности, можно улучшить броуновское движение до грубой геометрической траектории иным способом, чем грубый броуновский путь. Это означает, что исчисление Стратоновича - не единственная теория стохастического исчисления, удовлетворяющая классическому правилу произведения.

$\mathrm {d} (X_{t}\cdot Y_{t})=X_{t}\,\mathrm {d} Y_{t}+Y_{t}\,\mathrm {d} X_{t}.$

Фактически любое усовершенствование броуновского движения как грубого геометрического пути приведет к появлению исчисления, удовлетворяющего этому классическому правилу произведения. Исчисление Ито происходит не непосредственно от расширения броуновского движения как грубого геометрического пути, а скорее как разветвленного грубого пути.

Приложения в стохастическом анализе

Стохастические дифференциальные уравнения, управляемые несемимартингалами

Грубая теория путей позволяет дать попутное представление о решении (стохастических) дифференциальных уравнений вида

$\mathrm {d} Y_{t}=b(Y_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}$

при условии, что многомерный случайный процесс $X_{t}$ почти наверняка можно улучшить как неровный путь, и что дрейф $b$ и волатильность $\sigma$ достаточно гладкие (см. раздел «Универсальная предельная теорема»).

Существует множество примеров марковских процессов, гауссовских процессов и других процессов, которые можно усовершенствовать с помощью грубых путей.

В частности, существует множество результатов о решении дифференциальных уравнений, приводимых в движение дробным броуновским движением, которые были доказаны с использованием комбинации исчисления Маллявена и теории грубых путей. Фактически, недавно было доказано, что решение управляемого дифференциального уравнения, управляемого классом гауссовских процессов, который включает дробное броуновское движение с параметром Херста $H>{\frac {1}{4}}$, имеет гладкую плотность при условии Хёрмандера на векторных полях.

Теория больших уклонений Фрейдлина-Вентцеля

Позволять $L(V,W)$ обозначим пространство ограниченных линейных отображений из банахова пространства $V$ в другое банахово пространство $W$.

Позволять $B_{t}$ быть $d$-мерное стандартное броуновское движение. Позволять $b:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{d}$ и $\sigma :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow L(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{n})$ являются дважды дифференцируемыми функциями и чьи вторые производные равны $\alpha$-Гельдер для некоторых $\alpha >0$.

Позволять $X^{\varepsilon }$ быть единственным решением стохастического дифференциального уравнения

$\mathrm {d} X^{\varepsilon }=b(X_{t}^{\epsilon })\,\mathrm {d} t+{\sqrt {\varepsilon }}\sigma (X^{\varepsilon })\circ \mathrm {d} B_{t};\,X^{\varepsilon }=a,$

где $\circ$ обозначает интегрирование Стратоновича.

Теория больших отклонений Фрейдлина Вентцелля направлена ​​​​на изучение асимптотического поведения, поскольку $\epsilon \rightarrow 0$, из $\mathbb {P} [X^{\varepsilon }\in F]$ для закрытых или открытых наборов $F$ относительно однородной топологии.

Универсальная предельная теорема гарантирует, что отображение Ито, отправляющее путь управления $(t,{\sqrt {\varepsilon }}B_{t})$ к решению $X^{\varepsilon }$ представляет собой непрерывное отображение из $p$-вариационная топология $p$-вариационная топология (и, следовательно, равномерная топология). Таким образом, принцип сжатия в теории больших уклонений сводит проблему Фрейдлина – Вентцелля к демонстрации принципа больших уклонений для $(t,{\sqrt {\varepsilon }}B_{t})$ в $p$-вариационная топология.

Эту стратегию можно применять не только к дифференциальным уравнениям, управляемым броуновским движением, но также к дифференциальным уравнениям, управляющим любыми случайными процессами, которые можно улучшить с помощью грубых путей, таких как дробное броуновское движение.

Стохастический поток

Еще раз позвольте $B_{t}$ быть $d$-мерное броуновское движение. Предположим, что член дрейфа $b$ и термин волатильности $\sigma$ имеет достаточную регулярность, так что стохастическое дифференциальное уравнение

$\mathrm {d} \phi _{s,t}(x)=b(\phi _{s,t}(x))\,\mathrm {d} t+\sigma {(\phi _{s,t}(x))}\,\mathrm {d} B_{t};X_{s}=x$

имеет единственное решение в смысле грубого пути. Основной вопрос теории стохастических потоков заключается в том, является ли карта потока $\phi _{s,t}(x)$ существует и удовлетворяет свойству коцикличности, которое для всех $s\leq u\leq t$,

$\phi _{u,t}(\phi _{s,u}(x))=\phi _{s,t}(x)$

вне нулевого множества, независимого от $s,u,t$.

Универсальная предельная теорема еще раз сводит эту проблему к вопросу о том, является ли броуновский грубый путь $\mathbf {B_{s,t}}$ существует и удовлетворяет мультипликативному свойству, которое для всех $s\leq u\leq t$,

$\mathbf {B} _{s,u}\otimes \mathbf {B} _{u,t}=\mathbf {B} _{s,t}$

вне нулевого множества, независимого от $s$, $u$ и $t$.

Фактически, теория грубого пути дает существование и уникальность $\phi _{s,t}(x)$ не только вне нулевого множества, независимого от $s$, $t$ и $x$ но и дрейфа $b$ и волатильность $\sigma$.

Как и в случае с теорией Фрейдлина–Вентцелля, эта стратегия справедлива не только для дифференциальных уравнений, управляемых броуновским движением, но и для любых случайных процессов, которые можно улучшить с помощью грубых путей.

Контролируемый неровный путь

Контролируемые неровные пути, предложенные М. Губинелли, пути $\mathbf {Y}$ для которого грубый интеграл

$\int _{s}^{t}\mathbf {Y} _{u}\,\mathrm {d} X_{u}$

может быть определен для данного грубого геометрического пути $X$.

Точнее, пусть $L(V,W)$ обозначим пространство ограниченных линейных отображений из банахова пространства $V$ в другое банахово пространство $W$.

Учитывая $p$-геометрический неровный путь

$\mathbf {X} =(1,\mathbf {X} ^{1},\ldots ,\mathbf {X} ^{\lfloor p\rfloor })$

на $\mathbb {R} ^{d}$, а $\gamma$- управляемый путь является функцией $\mathbf {Y} _{s}=(\mathbf {Y} _{s}^{0},\mathbf {Y} _{s}^{1},\ldots ,\mathbf {Y} _{s}^{\lfloor \gamma \rfloor })$ такой, что $\mathbf {Y} ^{j}:[0,1]\rightarrow L((\mathbb {R} ^{d})^{\otimes j+1},\mathbb {R} ^{n})$ и что существует $M>0$ такой, что для всех $0\leq s\leq t\leq 1$ и $j=0,1,\ldots ,\lfloor \gamma \rfloor$,

$\Vert \mathbf {Y} _{s}^{j}\Vert \leq M$

и

$\left\|\mathbf {Y} _{t}^{j}-\sum _{i=0}^{\lfloor \gamma \rfloor -j}\mathbf {Y} _{s}^{j+i}\mathbf {X} _{s,t}^{i}\right\|\leq M|t-s|^{\frac {\gamma -j}{p}}.$

Пример: функция Lip( γ )

Позволять $\mathbf {X} =(1,\mathbf {X} ^{1},\ldots ,\mathbf {X} ^{\lfloor p\rfloor })$ быть $p$-геометрический грубый путь, удовлетворяющий условию Гельдера о существовании $M>0$, для всех $0\leq s\leq t\leq 1$ и все $j=1,,2,\ldots ,\lfloor p\rfloor$,

$\Vert \mathbf {X} _{s,t}^{j}\Vert \leq M(t-s)^{\frac {j}{p}},$

где $\mathbf {X} ^{j}$ обозначает $j$-я тензорная компонента $\mathbf {X}$.Позволять $\gamma \geq 1$. Позволять $f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ быть $\lfloor \gamma \rfloor$-раз дифференцируемая функция и $\lfloor \gamma \rfloor$-я производная $\gamma -\lfloor \gamma \rfloor$ Гёльдер, тогда

$(f(\mathbf {X} _{s}^{1}),Df(\mathbf {X} _{s}^{1}),\ldots ,D^{\lfloor \gamma \rfloor }f(\mathbf {X} _{s}^{1}))$

это $\gamma$- контролируемый путь.

Интеграл контролируемого пути - это контролируемый путь.

Если $\mathbf {Y}$ это $\gamma$-контролируемый путь, где $\gamma >p-1$, затем

$\int _{s}^{t}\mathbf {Y} _{u}\,\mathrm {d} X_{u}$

определен и путь

$\left(\int _{s}^{t}\mathbf {Y} _{u}\,\mathrm {d} X_{u},\mathbf {Y} _{s}^{0},\mathbf {Y} _{s}^{1},\ldots ,\mathbf {Y} _{s}^{\lfloor \gamma -1\rfloor }\right)$

это $\gamma$- контролируемый путь.

Решение управляемого дифференциального уравнения представляет собой управляемый путь.

Позволять $V:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow L(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{n})$ быть функциями, которые имеют по крайней мере $\lfloor \gamma \rfloor$ производные и $\lfloor \gamma \rfloor$-ые производные $\gamma -\lfloor \gamma \rfloor$- Гёльдер непрерывен для некоторых $\gamma >p$. Позволять $Y$ быть решением дифференциального уравнения

$\mathrm {d} Y_{t}=V(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}.$

Определять

${\frac {\mathrm {d} Y}{\mathrm {d} X}}(\cdot )=V(\cdot );$

${\frac {\mathrm {d} ^{r+1}Y}{\mathrm {d} ^{r+1}X}}(\cdot )=D\left({\frac {\mathrm {d} ^{r}Y}{\mathrm {d} ^{r}X}}\right)(\cdot )V(\cdot ),$

где $D$ обозначает оператор производной, тогда

$\left(Y_{t},{\frac {\mathrm {d} Y}{\mathrm {d} X}}(Y_{t}),{\frac {\mathrm {d} ^{2}Y}{\mathrm {d} ^{2}X}}(Y_{t}),\ldots ,{\frac {\mathrm {d} ^{\lfloor \gamma \rfloor }Y}{\mathrm {d} ^{\lfloor \gamma \rfloor }X}}(Y_{t})\right)$

это $\gamma$- контролируемый путь.

Подпись

Позволять $X:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{d}$ — непрерывная функция с конечной полной вариацией. Определять

$S(X)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\mathrm {d} X_{s_{1}},\int _{s<s_{1}<s_{2}<t}\mathrm {d} X_{s_{1}}\otimes \mathrm {d} X_{s_{2}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{n}<t}\mathrm {d} X_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X_{s_{n}},\ldots \right).$

Подпись пути определяется как $S(X)_{0,1}$.

Сигнатуру также можно определить для грубых геометрических путей. Позволять $\mathbf {X}$ будет грубым геометрическим путем и пусть $\mathbf {X} (n)$ — последовательность путей с конечной полной вариацией такая, что

$\mathbf {X} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right).$

сходится в $p$-метрика вариации $\mathbf {X}$. Затем

$\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{N}<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{N}}$

сходится как $n\rightarrow \infty$ для каждого $N$. Подпись геометрического грубого пути $\mathbf {X}$ можно определить как предел $S(X(n))_{s,t}$ как $n\rightarrow \infty$.

Подпись подтверждает личность Чена. что

$S(\mathbf {X} )_{s,u}\otimes S(\mathbf {X} )_{u,t}=S(\mathbf {X} )_{s,t}$

для всех $s\leq u\leq t$.

Ядро преобразования подписи

Набор путей, сигнатурой которых является тривиальная последовательность, или, точнее,

$S(\mathbf {X} )_{0,1}=(1,0,0,\ldots )$

можно полностью охарактеризовать, используя идею древовидного пути.

А $p$-геометрическая грубая траектория древовидна, если существует непрерывная функция $h:[0,1]\rightarrow [0,\infty )$ такой, что $h(0)=h(1)=0$ и для всех $j=1,\ldots ,\lfloor p\rfloor$ и все $0\leq s\leq t\leq 1$,

$\Vert \mathbf {X} _{s,t}^{j}\Vert ^{p}\leq h(t)+h(s)-2\inf _{u\in [s,t]}h(u)$

где $\mathbf {X} ^{j}$ обозначает $j$-я тензорная компонента $\mathbf {X}$.

Геометрический грубый путь $\mathbf {X}$ удовлетворяет $S(\mathbf {X} )_{0,1}=(1,0,\ldots )$ тогда и только тогда, когда $\mathbf {X}$ имеет древовидный характер.

Зная подпись пути, можно восстановить уникальный путь, не имеющий древовидных частей.

Бесконечные размеры

Также возможно распространить основные результаты грубой теории путей на бесконечные измерения, при условии, что норма тензорной алгебры удовлетворяет определенному условию допустимости.