Теорема Фрейдлина – Вентцеля

В математике теорема Фрейдлина -Вентцелля (принадлежащая Марку Фрейдлину и Александру Д. Вентцеллю ) является результатом теории больших уклонений случайных процессов . Грубо говоря, теорема Фрейдлина-Вентцелля дает оценку вероятности того, что (уменьшенный) путь выборки диффузии Ито будет отклоняться далеко от среднего пути. Это утверждение уточняется с помощью функций скорости . Теорема Фрейдлина-Вентцелля обобщает теорему Шильдера для стандартного броуновского движения .

Заявление

Пусть B — стандартное броуновское движение на R ^д начиная с начала координат, 0 ∈ R ^д , и пусть X ^е быть R ^д -значная диффузия Ито, решающая стохастическое дифференциальное уравнение Ито вида

${\begin{cases}dX_{t}^{\varepsilon }=b(X_{t}^{\varepsilon })\,dt+{\sqrt {\varepsilon }}\,dB_{t},\\X_{0}^{\varepsilon }=0,\end{cases}}$

дрейфа где векторное поле b : R ^д → Р ^д является равномерно липшицевым . Тогда в банаховом пространстве C ₀ = C ₀ ([0, T ]; R ^д ), снабженный супремумной нормой ||⋅|| _∞ семейство процессов ( X ^е ) _{ε >0} удовлетворяет принципу больших уклонений с хорошей функцией скорости I : C ₀ → R ∪ {+∞}, определяемой выражением

$I(\omega )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}|{\dot {\omega }}_{t}-b(\omega _{t})|^{2}\,dt$

если ω лежит в пространстве Соболева H ¹ ([0, Т ]; Р ^д ), и I ( ω ) = +∞ в противном случае. Другими словами, для любого множества G ⊆ C ₀ и любого замкнутого множества F ⊆ C ₀ открытого

$\limsup _{\varepsilon \downarrow 0}{\big (}\varepsilon \log \mathbf {P} {\big [}X^{\varepsilon }\in F{\big ]}{\big )}\leq -\inf _{\omega \in F}I(\omega )$

и

$\liminf _{\varepsilon \downarrow 0}{\big (}\varepsilon \log \mathbf {P} {\big [}X^{\varepsilon }\in G{\big ]}{\big )}\geq -\inf _{\omega \in G}I(\omega ).$

Ссылки

• Фрейдлин, Марк И .; Вентцелль, Александр Д. (1998). Случайные возмущения динамических систем . Фундаментальные принципы математических наук 260 (второе изд.). Нью-Йорк: Издательство Springer. стр. xii+430. ISBN  0-387-98362-7 . МИСТЕР 1652127
• Дембо, Амир; Зейтуни, Офер (1998). Методы и приложения больших отклонений . Приложения математики (Нью-Йорк) 38 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. xvi+396. ISBN  0-387-98406-2 . МИСТЕР 1619036 (см. главу 5.6)