Теорема Шильдера

В математике является теорема Шильдера обобщением метода Лапласа от интегралов по $\mathbb {R} ^{n}$ к функциональной интеграции Винера. Теорема используется в теории больших уклонений случайных процессов . Грубо говоря, из теоремы Шильдера можно получить оценку вероятности того, что (уменьшенная) выборочная траектория броуновского движения будет отклоняться далеко от среднего пути (который является постоянным со значением 0). Это утверждение уточняется с помощью функций скорости . Теорема Шильдера обобщается теоремой Фрейдлина-Вентцелля для диффузий Ито .

Формулировка теоремы

Пусть C ₀ = C ₀ ([0, T ]; R ^д ) — банахово пространство непрерывных функций $f:[0,T]\longrightarrow \mathbf {R} ^{d}$ такой, что $f(0)=0$, снабженный супремум-нормой ||⋅|| _∞ и $C_{0}^{\ast }$ — подпространство абсолютно непрерывных функций, производная которых находится в $L^{2}$ (так называемое пространство Кэмерона-Мартина ). Определить функцию скорости

$I(\omega )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}\|{\dot {\omega }}(t)\|^{2}\,\mathrm {d} t$

на $C_{0}^{\ast }$ и пусть $F:C_{0}\to \mathbb {R} ,G:C_{0}\to \mathbb {C}$ — две заданные функции такие, что $S:=I+F$ («действие») имеет уникальный минимум $\Omega \in C_{0}^{\ast }$.

Тогда при некоторых предположениях о дифференцируемости и росте $F,G$ которые подробно описаны в Schilder 1966 , есть

$\lim _{\lambda \to \infty }{\frac {\mathbb {E} \left[\exp \left(-\lambda F(\lambda ^{-1/2}\omega )\right)G(\lambda ^{-1/2}\omega )\right]}{\exp \left(-\lambda S(\Omega )\right)}}=G(\Omega )\mathbb {E} \left[\exp \left(-{\frac {1}{2}}\langle \omega ,D(\Omega )\omega \rangle \right)\right]$

где $\mathbb {E}$ обозначает математическое ожидание относительно меры Винера $\mathbb {P}$ на $C_{0}$ и $D(\Omega )$ это гессиан $F$ как минимум $\Omega$; $\langle \omega ,D(\Omega )\omega \rangle$ имеется в виду в смысле $L^{2}([0,T])$ внутренний продукт.

Приложение к большим отклонениям меры Винера

Пусть B — стандартное броуновское движение в d - мерном евклидовом пространстве R ^д начиная с начала координат, 0 ∈ R ^д ; пусть W обозначает закон B меру , т.е. классическую Винера . Для ε > 0 обозначим через W _ε закон ремасштабированного процесса √ ε B . Тогда в банаховом пространстве C ₀ = C ₀ ([0, T ]; R ^д ) непрерывных функций $f:[0,T]\longrightarrow \mathbf {R} ^{d}$ такой, что $f(0)=0$, снабженный супремум-нормой ||⋅|| _∞ вероятностные меры W _ε удовлетворяют принципу больших уклонений с хорошей функцией скорости I : C ₀ → R ∪ {+∞}, определяемой формулой

$I(\omega )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}|{\dot {\omega }}(t)|^{2}\,\mathrm {d} t$

если ω , абсолютно непрерывна и I ( ω ) = +∞ в противном случае. Другими словами, для любого множества G ⊆ C ₀ и любого замкнутого множества F ⊆ C ₀ открытого

$\limsup _{\varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {W} _{\varepsilon }(F)\leq -\inf _{\omega \in F}I(\omega )$

и

$\liminf _{\varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {W} _{\varepsilon }(G)\geq -\inf _{\omega \in G}I(\omega ).$

Пример

Полагая ε = 1/ c ² , можно использовать теорему Шильдера для получения оценок вероятности того, что стандартное броуновское движение B отклонится дальше, чем c, от своей начальной точки на интервале времени [0, T ], т.е. вероятность

$\mathbf {W} (C_{0}\smallsetminus \mathbf {B} _{c}(0;\|\cdot \|_{\infty }))\equiv \mathbf {P} {\big [}\|B\|_{\infty }>c{\big ]},$

поскольку c стремится к бесконечности. Здесь B _c (0; ||⋅|| _∞ ) обозначает открытый шар радиуса c вокруг нулевой функции в C ₀ , взятой по отношению к супремумной норме . Сначала обратите внимание, что

$\|B\|_{\infty }>c\iff {\sqrt {\varepsilon }}B\in A:=\left\{\omega \in C_{0}\mid |\omega (t)|>1{\text{ for some }}t\in [0,T]\right\}.$

Поскольку функция скорости непрерывна на A , теорема Шильдера дает

${\begin{aligned}\lim _{c\to \infty }{\frac {\log \left(\mathbf {P} \left[\|B\|_{\infty }>c\right]\right)}{c^{2}}}&=\lim _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \log \left(\mathbf {P} \left[{\sqrt {\varepsilon }}B\in A\right]\right)\\[6pt]&=-\inf \left\{\left.{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}|{\dot {\omega }}(t)|^{2}\,\mathrm {d} t\,\right|\,\omega \in A\right\}\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {1}{T^{2}}}\,\mathrm {d} t\\[6pt]&=-{\frac {1}{2T}},\end{aligned}}$

используя тот факт, что нижняя грань по путям в наборе A достигается при ω ( t ) = ⁠ т / Т ⁠ . Этот результат можно эвристически интерпретировать как утверждение, что для больших c и/или больших T

${\frac {\log \left(\mathbf {P} \left[\|B\|_{\infty }>c\right]\right)}{c^{2}}}\approx -{\frac {1}{2T}}\qquad {\text{or}}\qquad \mathbf {P} \left[\|B\|_{\infty }>c\right]\approx \exp \left(-{\frac {c^{2}}{2T}}\right).$

На самом деле указанную вероятность можно оценить точнее: для B стандартное броуновское движение в R ^н и любых T , c и ε > 0 мы имеем:

$\mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}\left|{\sqrt {\varepsilon }}B_{t}\right|\geq c\right]\leq 4n\exp \left(-{\frac {c^{2}}{2nT\varepsilon }}\right).$

Ссылки

• Дембо, Амир; Зейтуни, Офер (1998). Методы и приложения больших отклонений . Приложения математики (Нью-Йорк) 38 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. xvi+396. ISBN  0-387-98406-2 . МР   1619036 . (См. теорему 5.2)