Гауссово вероятностное пространство

В теории вероятностей, особенно в исчислении Маллявена , гауссово вероятностное пространство представляет собой вероятностное пространство вместе с гильбертовым пространством нулевого среднего, вещественнозначными гауссовскими случайными величинами . Важные примеры включают классическое или абстрактное пространство Винера с подходящим набором гауссовских случайных величин.

Определение

Гауссово вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })$ состоит из

• ( полное ) вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$,
• замкнутое линейное подпространство ${\mathcal {H}}\subset L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ называемое гауссовым пространством, такое, что все $X\in {\mathcal {H}}$ являются средними нулевыми гауссовскими переменными. Их σ-алгебра обозначается как ${\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}$.
• и σ-алгебра ${\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }$ называется трансверсальной σ-алгеброй , которая определяется через

${\mathcal {F}}={\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }.$

неприводимость

Гауссово вероятностное пространство называется неприводимым, если ${\mathcal {F}}={\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}$. Такие пространства обозначаются как $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})$. Неприводимые пространства используются для работы с подпространствами или для расширения данного вероятностного пространства. Неприводимые гауссовы вероятностные пространства классифицируются по размерности гауссовского пространства. ${\mathcal {H}}$.

Подпространства

Подпространство ​ $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp })$ гауссовского вероятностного пространства $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })$ состоит из

• закрытое подпространство ${\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}$,
• суб σ-алгебра ${\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }\subset {\mathcal {F}}$ поперечных случайных величин таких, что ${\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }$ и ${\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}$ независимы, ${\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}\otimes {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }$ и ${\mathcal {A}}\cap {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }={\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }$.

Пример:

Позволять $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })$ — гауссово вероятностное пространство с замкнутым подпространством ${\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}$. Позволять $V$ быть ортогональным дополнением ${\mathcal {H}}_{1}$ в ${\mathcal {H}}$. Поскольку ортогональность подразумевает независимость между $V$ и ${\mathcal {H}}_{1}$, у нас это есть ${\mathcal {A}}_{V}$ не зависит от ${\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}$. Определять ${\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }$ с помощью ${\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }:=\sigma ({\mathcal {A}}_{V},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })={\mathcal {A}}_{V}\vee {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }$.

Примечание

Для $G=L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp },P)$ у нас есть $L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)=L^{2}((\Omega ,{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}},P);G)$.

Фундаментальная алгебра

Учитывая гауссово вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })$ определяется алгебра цилиндрических случайных величин

$\mathbb {A} _{\mathcal {H}}=\{F=P(X_{1},\dots ,X_{n}):X_{i}\in {\mathcal {H}}\}$

где $P$ является полиномом по $\mathbb {R} [X_{n},\dots ,X_{n}]$ и звонки $\mathbb {A} _{\mathcal {H}}$ фундаментальная алгебра . Для любого $p<\infty$ это правда, что $\mathbb {A} _{\mathcal {H}}\subset L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$.

Для неприводимой гауссовой вероятности $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})$ фундаментальная алгебра $\mathbb {A} _{\mathcal {H}}$ представляет собой множество плотное $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ для всех $p\in [1,\infty [$.

Численная модель и модель Сигала

Неприводимая гауссова вероятность $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})$ где была выбрана основа для ${\mathcal {H}}$ называется числовой моделью . Две численные модели изоморфны , если их гауссовы пространства имеют одинаковую размерность.

Учитывая сепарабельное гильбертово пространство ${\mathcal {G}}$, всегда существует каноническое неприводимое гауссово вероятностное пространство $\operatorname {Seg} ({\mathcal {G}})$ называется моделью Сигала с ${\mathcal {G}}$ как гауссово пространство.

Литература

• Маллявин, Пол (1997). Стохастический анализ . Берлин, Гейдельберг: Springer. дои : 10.1007/978-3-642-15074-6 . ISBN  3-540-57024-1 .