Банахово расслоение (некоммутативная геометрия)

В математике банахово расслоение — это расслоение над топологическим хаусдорфовым пространством , такое, что каждый слой имеет структуру банахова пространства .

Определение

Позволять $X$ — топологическое хаусдорфово пространство, ( непрерывное ) банахово расслоение над $X$ это кортеж ${\mathfrak {B}}=(B,\pi )$, где $B$ является топологическим хаусдорфовым пространством и $\pi \colon B\to X$ является непрерывной открытой , сюръекцией такой что каждый слой $B_{x}:=\pi ^{-1}(x)$ является банаховым пространством. Что удовлетворяет следующим условиям:

1. Карта $b\mapsto \|b\|$ является непрерывным для всех $b\in B$
2. Операция $+\colon \{(b_{1},b_{2})\in B\times B:\pi (b_{1})=\pi (b_{2})\}\to B$ является непрерывным
3. Для каждого $\lambda \in \mathbb {C}$, карта $b\mapsto \lambda \cdot b$ является непрерывным
4. Если $x\in X$, и $\{b_{i}\}$ это сеть в $B$, такой, что $\|b_{i}\|\to 0$ и $\pi (b_{i})\to x$, затем $b_{i}\to 0_{x}\in B$, где $0_{x}$ обозначает ноль слоя $B_{x}$.

Если карта $b\mapsto \|b\|$ является лишь полунепрерывным сверху , ${\mathfrak {B}}$ называется верхним полунепрерывным расслоением.

Примеры

Тривиальный комплект

Пусть A — банахово пространство, X — топологическое хаусдорфово пространство. Определять $B:=A\times X$ и $\pi \colon B\to X$ к $\pi (a,x):=x$. Затем $(B,\pi )$ является банаховым расслоением, называемым тривиальным расслоением

См. также

• Банаховы расслоения в дифференциальной геометрии