Строительство Кэли – Диксона

В математике конструкция Кэли-Диксона , названная в честь Артура Кэли и Леонарда Юджина Диксона , создает последовательность алгебр над полем , действительных чисел размерность каждой из которых в два раза превышает размерность предыдущей. Алгебры, созданные в результате этого процесса, известны как алгебры Кэли-Диксона , например комплексные числа , кватернионы и октонионы . Эти примеры представляют собой полезные композиционные алгебры, часто применяемые в математической физике .

Конструкция Кэли-Диксона определяет новую алгебру как декартово произведение алгебры на саму себя, с умножением, определенным определенным образом (отличным от покомпонентного умножения), и инволюцией, известной как сопряжение . Произведение элемента и сопряженного ему элемента (или иногда квадратного корня из этого произведения) называется нормой .

Симметрии реального поля исчезают при многократном применении конструкции Кэли-Диксона: сначала теряется порядок , затем коммутативность умножения, ассоциативность умножения и, наконец, альтернативность .

В более общем смысле, конструкция Кэли-Диксона переводит любую алгебру с инволюцией в другую алгебру с инволюцией вдвое большей размерности. ^{[ 1 ]}^: 45

Теорема Гурвица (композиционные алгебры) утверждает, что действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы являются единственными ( нормированными ) алгебрами с делением (над действительными числами).

Краткое содержание

Свойства алгебр Кэли–Диксона
Алгебра	Измерение	Заказал	умножения Свойства				Нетрив. ноль делители
Алгебра	Измерение	Заказал	коммутативный	Ассоциативный	Альтернатива	Мощность-ассоц.	Нетрив. ноль делители
Реальные числа	1	Да	Да	Да	Да	Да	Нет
Сложно ли	2	Нет	Да	Да	Да	Да	Нет
Кватернионы	4	Нет	Нет	Да	Да	Да	Нет
Октонионы	8	Нет	Нет	Нет	Да	Да	Нет
Седенионы	16	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Да
	≥ 32	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Да

Конструкция Кэли-Диксона возникла благодаря Леонарду Диксону, который в 1919 году показал, как октонионы могут быть построены как двумерная алгебра над кватернионами . Фактически, начиная с поля F , конструкция дает последовательность F -алгебр размерности 2 ^н. Для n = 2 это ассоциативная алгебра, называемая алгеброй кватернионов , а для n = 3 это альтернативная алгебра, называемая алгеброй октонионов . Эти экземпляры n = 1, 2 и 3 создают композиционные алгебры, как показано ниже.

Случай n = 1 начинается с элементов ( a , b ) в F × F и определяет сопряженное ( a , b )* как ( a *, – b ), где a * = a в случае n = 1, и впоследствии определяется по формуле. Суть F -алгебры заключается в определении произведения двух элементов ( a , b ) и ( c , d ):

(a,b)\times (c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).

Предложение 1: Для $z=(a,b)$ и $w=(c,d),$ сопряженное произведение $w^{*}z^{*}=(zw)^{*}.$

доказательство:

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

Предложение 2. Если F -алгебра ассоциативна и $N(z)=zz^{*}$ ,затем $N(zw)=N(z)N(w).$

доказательство:

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

+ члены, которые аннулируются по ассоциативному свойству.

Этапы построения вещественных алгебр

Детали построения классических вещественных алгебр таковы:

Комплексные числа как упорядоченные пары

Комплексные числа можно записать в виде упорядоченных пар $(a, b)$ действительных чисел $a$ и $b$ , при этом оператор сложения является покомпонентным, а умножение определяется формулой

(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).\,

Комплексное число, второй компонент которого равен нулю, связано с действительным числом: комплексное число $(a, 0)$ связано с действительным числом $a$ .

Комплексно -сопряженное $(a, b)*$ из $(a, b)$ определяется выражением

(a,b)^{*}=(a^{*},-b)=(a,-b)

поскольку $a$ — действительное число и сопряжено ему самому.

Конъюгат обладает тем свойством, что

(a,b)^{*}(a,b)=(aa+bb,ab-ba)=\left(a^{2}+b^{2},0\right),\,

что является неотрицательным действительным числом. Таким образом, сопряжение определяет норму , делая комплексные числа нормированным векторным пространством над действительными числами: норма комплексного числа $z$ равна

|z|=\left(z^{*}z\right)^{\frac {1}{2}}.\,

Более того, для любого ненулевого комплексного числа $z$ сопряжение дает мультипликативное обратное :

z^{-1}={\frac {z^{*}}{|z|^{2}}}.

Поскольку комплексное число состоит из двух независимых действительных чисел, они образуют двумерное векторное пространство над действительными числами.

Можно сказать, что комплексные числа имеют не только более высокую размерность, но и лишены одного алгебраического свойства действительных чисел: действительное число является сопряженным самому себе.

Кватернионы

Следующим шагом в построении является обобщение операций умножения и сопряжения.

Сформируйте упорядоченные пары $(a, b)$ комплексных чисел $a$ и $b$ , с умножением, определяемым формулой

(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).\,

Возможны небольшие изменения этой формулы; полученные конструкции дадут структуры, идентичные с точностью до знаков оснований.

Порядок факторов сейчас кажется странным, но он будет важен на следующем этапе.

Определите сопряжение $(a, b)*$ к $(a, b)$ с помощью

(a,b)^{*}=(a^{*},-b).\,

Эти операторы являются прямым расширением своих комплексных аналогов: если $a$ и $b$ взяты из действительного подмножества комплексных чисел, появление сопряженного числа в формулах не имеет никакого эффекта, поэтому операторы такие же, как и для комплексных чисел.

Произведение ненулевого элемента на сопряженное ему является неотрицательным действительным числом:

{\begin{aligned}(a,b)^{*}(a,b)&=(a^{*},-b)(a,b)\\&=(a^{*}a+b^{*}b,ba^{*}-ba^{*})\\&=\left(|a|^{2}+|b|^{2},0\right).\,\end{aligned}}

Как и раньше, сопряжение дает норму и обратную для любой такой упорядоченной пары. Итак, в том смысле, который мы объяснили выше, эти пары составляют алгебру, похожую на действительные числа. Это кватернионы , названные Гамильтоном в 1843 году.

Поскольку кватернион состоит из двух независимых комплексных чисел, они образуют четырехмерное векторное пространство над действительными числами.

Однако умножение кватернионов не совсем похоже на умножение действительных чисел; он не коммутативен - то есть, если $p$ и $q$ являются кватернионами, не всегда верно, что $pq = qp$ .

Октонионы

Все шаги по созданию дальнейших алгебр одинаковы, начиная с октонионов.

На этот раз сформируйте упорядоченные пары $(p, q)$ кватернионов $p$ и $q$ с умножением и сопряжением, определенными точно так же, как для кватернионов:

(p,q)(r,s)=(pr-s^{*}q,sp+qr^{*}).\,

Однако обратите внимание, что, поскольку кватернионы не коммутативны, порядок множителей в формуле умножения становится важным — если последний множитель в формуле умножения был $r * q$ , а не $qr *$ формула умножения элемента на сопряженный ему не даст действительного числа.

По тем же причинам, что и раньше, оператор сопряжения дает норму и мультипликативный обратный любому ненулевому элементу.

Эта алгебра была открыта Джоном Т. Грейвсом в 1843 году и называется октонионами или « числами Кэли ».

Поскольку октонион состоит из двух независимых кватернионов, они образуют восьмимерное векторное пространство над действительными числами.

Умножение октонионов еще более странно, чем умножение кватернионов; Помимо того, что он некоммутативен, он не ассоциативен - то есть, если $p$ , $q$ и $r$ являются октонионами, не всегда верно, что $(pq) r = p (qr)$ .

По причине этой неассоциативности октонионы не имеют матричного представления .

Дальнейшие алгебры

Алгебра, следующая сразу за октонионами, называется седенионами . Он сохраняет алгебраическое свойство, называемое степенной ассоциативностью , что означает, что если $s$ является седенионом, $s н с м = с п + м$ , но теряет свойство быть альтернативной алгеброй и, следовательно, не может быть композиционной алгеброй .

Конструкцию Кэли-Диксона можно продолжать до бесконечности , на каждом шаге создавая степенно-ассоциативную алгебру, размерность которой в два раза больше, чем у алгебры предыдущего шага. Все алгебры, порожденные таким образом над полем, являются квадратичными : то есть каждый элемент удовлетворяет квадратному уравнению с коэффициентами из поля. ^{[ 1 ]}^: 50

В 1954 году Р. Д. Шафер исследовал алгебры, порожденные процессом Кэли-Диксона над полем $F,$ и показал, что они удовлетворяют гибкому тождеству . Он также доказал, что любая алгебра дифференцирования алгебры Кэли-Диксона изоморфна алгебре дифференцирования чисел Кэли, 14-мерной алгебре Ли над $F$ . ^{[ 2 ]}

Модифицированная конструкция Кэли – Диксона.

Конструкция Кэли – Диксона, начиная с действительных чисел. $\mathbb {R}$ , генерирует композиционные алгебры $\mathbb {C}$ ( комплексные числа ), $\mathbb {H}$ ( кватернионы ) и $\mathbb {O}$ ( октонионы ). Существуют также композиционные алгебры, нормой которых является изотропная квадратичная форма , которые получаются путем небольшой модификации, заменой знака минус в определении произведения упорядоченных пар на знак плюс, следующим образом: $(a,b)(c,d)=(ac+d^{*}b,da+bc^{*}).$

Когда эта модифицированная конструкция применяется к $\mathbb {R}$ , получают расщепляемые комплексные числа , которые кольцево изоморфны прямому произведению $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ;$ после этого получаются расщепленные кватернионы , ассоциативная алгебра , изоморфная алгебре вещественных матриц размера 2 × 2 ; и расщепленные октонионы , которые изоморфны $Zorn(R)$ . Применение исходной конструкции Кэли-Диксона к расщепленным комплексам также приводит к расщеплению кватернионов, а затем к расщеплению октонионов. ^{[ 3 ]}

Строительство генерала Кэли-Диксона

Альберт (1942 , стр. 171) дал небольшое обобщение, определив произведение и инволюцию на $B = A \oplus A$ для $A,$ алгебры с инволюцией (с $(xy)* = y * x *$ ), которая будет

{\begin{aligned}(p,q)(r,s)&=(pr-\gamma s^{*}q,sp+qr^{*})\,\\(p,q)^{*}&=(p^{*},-q)\,\end{aligned}}

для $γ$ аддитивное отображение, которое коммутирует с $*$ и умножением слева и справа на любой элемент. (Над вещественными числами все варианты выбора $γ$ эквивалентны −1, 0 или 1.) В этой конструкции $A$ является алгеброй с инволюцией, что означает:

$A$ — абелева группа относительно $+$
$A$ имеет произведение, которое является левым и правым дистрибутивом над $+$
$A$ имеет инволюцию $*$ , причем $(x *)* = x$ , $(x + y)* = x * + y *$ , $(xy)* = y * x *$ .

Алгебра $B = A \oplus A$ , порожденная конструкцией Кэли–Диксона, также является алгеброй с инволюцией.

$B$ наследует свойства $A$ без изменений следующим образом.

Если $A$ имеет тождество $1 A$ , то $B$ имеет тождество $(1 A, 0)$ .
Если $A$ обладает свойством, что $x + x *$ , $xx *$ связывается и коммутирует со всеми элементами, то то же самое имеет и $B$ . Это свойство означает, что любой элемент порождает коммутативную ассоциативную *-алгебру, поэтому, в частности, алгебра степенно ассоциативна.

Другие свойства $A$ вызывают только более слабые свойства $B$ :

Если $A$ коммутативен и имеет тривиальную инволюцию, то $B$ коммутативен.
Если $A$ коммутативен и ассоциативен, то $B$ ассоциативен.
Если $A$ ассоциативна и $x + x *$ , $xx *$ ассоциируется и коммутирует со всем, то $B$ — альтернативная алгебра .

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Шафер, Ричард Д. (1995) [1966], Введение в неассоциативные алгебры , Dover Publications , ISBN 0-486-68813-5 , Збл 0145.25601
^ Ричард Д. Шафер (1954) «Об алгебрах, образованных процессом Кэли-Диксона», American Journal of Mathematics 76: 435–46 дои : 10.2307/2372583
^ Кевин МакКриммон (2004) Вкус джордановой алгебры , стр. 64, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 МР 2014924

Ссылки

Альберт, А.А. (1942), «Квадратичные формы, допускающие композицию», Annals of Mathematics , Second Series, 43 (1): 161–177, doi : 10.2307/1968887 , JSTOR 1968887 , MR 0006140 (см. стр. 171).
Баэз, Джон (2002), «Октонионы» , Бюллетень Американского математического общества , 39 (2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X , S2CID 586512 . (См. « Раздел 2.2, Конструкция Кэли-Диксона »).
Диксон, Л.Е. (1919), «О кватернионах и их обобщении и истории теоремы восьми квадратов», Annals of Mathematics , Second Series, 20 (3), Annals of Mathematics: 155–171, doi : 10.2307/1967865 , JSTOR 1967865
Бисс, Дэниел К.; Кристенсен, Дж. Дэниел; Даггер, Дэниел; Исаксен, Дэниел К. (2007). «Большие аннуляторы в алгебрах Кэли – Диксона II». Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana . 3 : 269–292. arXiv : математика/0702075 . Бибкод : 2007math......2075B .
Кантор, Иллинойс; Солодовников, А.С. (1978), Hyperkomplexe Zahlen , Лейпциг: Б.Г. Тойбнер (следующая ссылка дает английский перевод этой книги)
Кантор, Иллинойс; Солодовников А.С. (1989), Гиперкомплексные числа , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-96980-0 , МР 0996029
Гамильтон, Уильям Роуэн (1847), «О кватернионах» , Труды Королевской ирландской академии , 3 : 1–16, ISSN 1393-7197
Роос, Гай (2008). «Исключительные симметричные области § 1: алгебры Кэли». В Гиллигане, Брюс; Роос, Гай (ред.). Симметрии в комплексном анализе . Современная математика. Том. 468. Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4459-5 .

Дальнейшее чтение

Дабул, Джамиль; Дельбурго, Роберт (1999). «Матричные представления октонионов и обобщения». Журнал математической физики . 40 (8): 4134–50. arXiv : hep-th/9906065 . Бибкод : 1999JMP....40.4134D . дои : 10.1063/1.532950 . S2CID 16932871 .

[Sch66-1] Jump up to: ^а ^б Шафер, Ричард Д. (1995) [1966], Введение в неассоциативные алгебры , Dover Publications , ISBN 0-486-68813-5 , Збл 0145.25601

[2] Ричард Д. Шафер (1954) «Об алгебрах, образованных процессом Кэли-Диксона», American Journal of Mathematics 76: 435–46 дои : 10.2307/2372583

[3] Кевин МакКриммон (2004) Вкус джордановой алгебры , стр. 64, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 МР 2014924

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

v т и счисления Системы
Наборы определимых чисел	Натуральные числа ( $\mathbb {N}$ ) Целые числа ( $\mathbb {Z}$ ) Рациональные числа ( $\mathbb {Q}$ ) Конструируемые числа Алгебраические числа ( $\mathbb {A}$ ) Числа закрытой формы Периоды Вычислимые числа Арифметические числа Теоретико-множественные определяемые числа Гауссовы целые числа Гауссово рациональное мышление Целые числа Эйзенштейна
Композиционные алгебры	Алгебры с делением : Действительные числа ( $\mathbb {R}$ ) Комплексные числа ( $\mathbb {C}$ ) Кватернионы ( $\mathbb {H}$ ) Октонионы ( $\mathbb {O}$ )
Расколоть типы	Над $\mathbb {R}$ : Сплит-комплексные числа Сплит-кватернионы Сплит-октонионы Над $\mathbb {C}$ : Бикомплексные числа Бикватернионы Биоктонионы
Другой гиперкомплекс	Двойные числа Двойные кватернионы Двойные комплексные числа Гиперболические кватернионы Седенионы ( $\mathbb {S}$ ) Сплит-бикватернионы Мультикомплексные числа Геометрическая алгебра / алгебра Клиффорда Алгебра физического пространства Алгебра пространства-времени Геометрическая алгебра на основе плоскостей
Бесконечности и бесконечно малые	Кардинальные числа Расширенные натуральные числа Расширенные действительные числа Проективный Расширенные комплексные числа Гиперреальные числа Поле Леви-Чивита Порядковые номера Сверхъестественные числа Сюрреалистические цифры Сверхдействительные числа
Другие типы	Иррациональные числа Нечеткие числа Трансцендентные числа p -адические числа ( p -адические соленоиды ) Проконечные целые числа Нормальные числа
Классификация Список