Сплит-комплексное число
В алгебре расщепленное комплексное число (или гиперболическое число , также число недоумения , двойное число ) основано на гиперболической единице j, удовлетворяющей Комплексное число с расщеплением имеет две действительные компоненты x и y и записывается Сопряженное с z есть С произведение числа z на сопряженное ему равно изотропная квадратичная форма .
Коллекция D всех расщепленных комплексных чисел для образует алгебру над полем действительных чисел . Два расщепленных комплексных числа w и z имеют произведение wz, удовлетворяющее условию Эта композиция N над произведением алгебры делает ( D , +, ×, *) композиционной алгеброй .
Похожая алгебра на основе и покомпонентные операции сложения и умножения, где xy — квадратичная форма на также образует квадратичное пространство . Кольцевой изоморфизм
отображение не является изометрией , поскольку мультипликативное тождество (1, 1) связывает пропорциональные квадратичные формы, но находится на расстоянии от 0, который нормирован в D .
Сплит-комплексные числа имеют много других названий; см. § Синонимы ниже. См. статью « Переменная двигателя для функций расщепленного комплексного числа».
Определение
[ редактировать ]Сплит -комплексное число — это упорядоченная пара действительных чисел, записанная в виде
где x и y — действительные числа и гиперболическая единица [1] Джей удовлетворяет
В области комплексных чисел мнимая единица i удовлетворяет Смена знака отличает расщепленные комплексные числа от обычных комплексных. Гиперболическая единица j — это не действительное число, а независимая величина.
Совокупность всех таких z называется расщепленной комплексной плоскостью . Сложение и умножение расщепленных комплексных чисел определяются формулой
Это умножение коммутативно , ассоциативно и распределяется по сложению.
Сопряженная, модульная и билинейная форма
[ редактировать ]Как и для комплексных чисел, можно определить понятие комплексно-сопряженного числа . Если
тогда сопряженное к z определяется как
Конъюгат представляет собой инволюцию , которая обладает свойствами, аналогичными комплексно -сопряженным . А именно,
Квадрат модуля расщепленного комплексного числа задается изотропной квадратичной формой
Он обладает свойством алгебры композиции :
Однако эта квадратичная форма не является положительно определенной , а имеет сигнатуру (1, −1) , поэтому модуль не нормой является .
Соответствующая билинейная форма имеет вид
где и Здесь действительная часть определяется выражением . Тогда другое выражение для квадрата модуля:
Поскольку она не является положительно определенной, эта билинейная форма не является внутренним продуктом ; тем не менее, билинейную форму часто называют неопределенным внутренним продуктом . Аналогичное злоупотребление языком относится к модулю как к норме.
Комплексное число с расщеплением обратимо тогда и только тогда, когда его модуль отличен от нуля ( ), таким образом, числа вида x ± jx не имеют обратных. Мультипликативный обратный обратимому элементу задается формулой
Комплексные числа, которые не являются обратимыми, называются нулевыми векторами . Все они имеют форму ( a ± ja ) для некоторого действительного числа a .
Диагональное основание
[ редактировать ]Есть два нетривиальных идемпотентных элемента, заданных формулой и Напомним, что идемпотентность означает, что и Оба эти элемента имеют значение null:
Часто удобно использовать e и e ∗ как альтернативный базис для расщепленной комплексной плоскости. Этот базис называется диагональным базисом или нулевым базисом . Сплит-комплексное число z можно записать в нулевом базисе как
Если мы обозначим число для действительных чисел a и b на ( a , b ) , то комплексное умножение с расщеплением задается формулой
Сплит-комплекс, сопряженный в диагональном базисе, имеет вид и квадрат модуля по
Изоморфизм
[ редактировать ]На основе {e, e*} становится ясно, что расщепляемые комплексные числа кольцево изоморфны прямой сумме с попарным определением сложения и умножения.
Диагональный базис для расщепленной комплексной числовой плоскости можно вызвать, используя упорядоченную пару ( x , y ) для и делаем картографирование
Теперь квадратичная форма Более того,
таким образом, две параметризованные гиперболы приводятся в соответствие с S .
Действие гиперболического версора тогда при этом линейном преобразовании соответствует отображению сжатия
лежат в одном и том же классе изоморфизма в категории колец Хотя расщепляемая комплексная плоскость и прямая сумма двух вещественных прямых , они различаются по своему расположению в декартовой плоскости . Изоморфизм как плоское отображение состоит из поворота против часовой стрелки на 45° и расширения на √ 2 . В частности, расширение иногда вызывало путаницу в отношении областей гиперболического сектора . Действительно, гиперболический угол соответствует площади сектора в плоскость с «единичным кругом», заданным формулой Сжатая единичная гипербола плоскости расщепленного комплекса имеет только половину площади в размахе соответствующего гиперболического сектора. Такая путаница может продолжаться, если геометрия плоскости расщепленного комплекса не отличается от геометрии .
Геометрия
[ редактировать ]Двумерное действительное векторное пространство со скалярным произведением Минковского называется (1 + 1) -мерным пространством Минковского , часто обозначается Столько же геометрии евклидовой плоскости можно описать комплексными числами, геометрия плоскости Минковского можно описать с помощью расщепленных комплексных чисел.
Набор очков
является гиперболой для любого ненулевого a в Гипербола состоит из правой и левой ветвей, проходящих через ( a , 0) и (− a , 0) . Случай а = 1 называется единичной гиперболой . Сопряженная гипербола имеет вид
с верхней и нижней ветвью, проходящей через (0, a ) и (0, − a ) . Гипербола и сопряженная гипербола разделены двумя диагональными асимптотами , которые образуют набор нулевых элементов:
Эти две прямые (иногда называемые нулевым конусом ) перпендикулярны в и имеют наклоны ±1.
Сплит-комплексные числа z и w называются гиперболически-ортогональными, если ⟨ z , w ⟩ = 0 . Хотя это условие аналогично обычной ортогональности, особенно в том виде, в котором оно известно в обычной арифметике комплексных чисел, оно более тонкое. Это составляет основу концепции одновременной гиперплоскости в пространстве-времени.
Аналогом формулы Эйлера для расщепленных комплексных чисел является
Эту формулу можно получить путем разложения в степенной ряд, используя тот факт, что cosh имеет только четные степени, а sinh — нечетные. [2] Для всех действительных значений гиперболического угла θ расщепленное комплексное число λ = exp( jθ ) имеет норму 1 и лежит на правой ветви единичной гиперболы. Такие числа, как λ, называются гиперболическими версорами .
Поскольку λ имеет модуль 1, умножение любого расщепленного комплексного числа z на λ сохраняет модуль z и представляет собой гиперболическое вращение (также называемое усилением Лоренца или отображением сжатия ). Умножение на λ сохраняет геометрическую структуру, переводя гиперболы в себя, а нулевой конус в себя.
Набор всех преобразований расщепленной комплексной плоскости, которые сохраняют модуль (или, что то же самое, скалярное произведение), образует группу, называемую обобщенной ортогональной группой O(1, 1) . Эта группа состоит из гиперболических вращений, которые образуют подгруппу, обозначенную SO. + (1, 1) в сочетании с четырьмя дискретными отражениями , заданными формулой
и
Экспоненциальная карта
отправка θ во вращение с помощью exp( jθ ) является групповым изоморфизмом , поскольку применяется обычная экспоненциальная формула:
Если расщепленное комплексное число z не лежит ни на одной из диагоналей, то z имеет полярное разложение .
Алгебраические свойства
[ редактировать ]В терминах абстрактной алгебры расщепленные комплексные числа можно описать как фактор многочленов кольца идеалом , порожденным полиномом
Образ x в частном – это «мнимая» единица j . Благодаря этому описанию становится ясно, что расщепленные комплексные числа образуют коммутативную алгебру над действительными числами. Алгебра не является полем , поскольку нулевые элементы не обратимы. Все ненулевые нулевые элементы являются делителями нуля .
Поскольку сложение и умножение являются непрерывными операциями относительно обычной топологии плоскости, расщепляемые комплексные числа образуют топологическое кольцо .
Алгебра расщепленных комплексных чисел образует композиционную алгебру, поскольку
для любых чисел z и w .
Из определения видно, что кольцо расщепленных комплексных чисел изоморфно групповому кольцу циклической группы C 2 над действительными числами
Матричные представления
[ редактировать ]Комплексные числа с расщеплением можно легко представить с помощью матриц . Сплит-комплексное число может быть представлена матрицей
Сложение и умножение расщепленных комплексных чисел затем задаются путем сложения и умножения матриц. Модуль z задается определителем соответствующей матрицы.
На самом деле существует множество представлений расщепленной комплексной плоскости в четырехмерном кольце вещественных матриц размером 2x2. Действительные кратные единичной матрицы образуют вещественную строку в кольце матриц M(2,R). Любая гиперболическая единица m обеспечивает базовый элемент, с помощью которого можно продлить действительную линию до плоскости расщепленного комплекса. Матрицы
какой квадрат единичной матрицы удовлетворяет Например, когда a = 0, то ( b,c ) — точка стандартной гиперболы. В более общем смысле, в M(2,R) существует гиперповерхность гиперболических единиц, любая из которых служит базисом для представления расщепленных комплексных чисел как подкольца M(2,R). [3] [ нужен лучший источник ]
Число может быть представлена матрицей
История
[ редактировать ]Использование расщепленных комплексных чисел восходит к 1848 году, когда Джеймс Кокл представил свои тессарины . [4] Уильям Кингдон Клиффорд использовал расщепленные комплексные числа для представления сумм спинов. Клиффорд ввел использование расщепленных комплексных чисел в качестве коэффициентов в алгебре кватернионов, которая теперь называется расщепленными бикватернионами . Его элементы он назвал «двигателями», термином, параллельным «роторному» действию обычного комплексного числа, взятого из группы кругов . Продолжая аналогию, функции двигательной переменной противопоставляются функциям обычной комплексной переменной .
С конца двадцатого века расщепленное комплексное умножение обычно рассматривалось как лоренцевское усиление плоскости пространства-времени . [5] [6] [7] [8] [9] [10] В этой модели число z = x + y j представляет событие в пространственно-временной плоскости, где x измеряется в наносекундах, а y — в футах Мермина . Будущее соответствует квадранту событий { z : | й | < x } , который имеет расщепленное комплексное полярное разложение . Модель утверждает, что z можно достичь из начала координат, введя систему отсчета с быстротой a и ожидая ρ наносекунд. Уравнение расщепленного комплекса
Выражение произведений через единичную гиперболу иллюстрирует аддитивность быстрот для коллинеарных скоростей. Одновременность событий зависит от быстроты а ;
— линия событий, одновременная с началом координат в системе отсчета с быстротой a .
Два события z и w являются гиперболически-ортогональными, если Канонические события exp( aj ) и j exp( aj ) гиперболически ортогональны и лежат на осях системы отсчета, в которой события, одновременные с началом координат, пропорциональны j exp( aj ) .
В 1933 году Макс Цорн использовал расщепленные октонионы и отметил свойство алгебры композиции . Он понял, что конструкция Кэли-Диксона , используемая для создания алгебр с делением, может быть изменена (с фактором гамма, γ ) для построения других композиционных алгебр, включая расщепленные октонионы. Его новаторство было продолжено Адрианом Альбертом , Ричардом Д. Шафером и другими. [11] Гамма-фактор с R в качестве базового поля строит комплексные числа с расщеплением как композиционную алгебру. В обзоре Альберта для Mathematical Reviews Н. Х. Маккой писал, что произошло «введение некоторых новых алгебр второго порядка». и над F, обобщающим алгебры Кэли–Диксона». [12] Взятие F = R и e = 1 соответствует алгебре этой статьи.
В 1935 году Ж. К. Виньо и А. Дураньона-и-Ведиа разработали расщепленную геометрическую алгебру и теорию функций в четырех статьях в журнале « Вклад в физические и математические науки» , Национальный университет Ла-Платы , Аргентинская Республика (на испанском языке). Эти разъяснительные и педагогические эссе представили тему, получившую широкое признание. [13]
В 1941 году Э. Ф. Аллен использовал комплексную геометрическую арифметику, чтобы определить девятиточечную гиперболу треугольника, вписанного в zz. ∗ = 1 . [14]
В 1956 году Мечислав Вармус опубликовал «Исчисление аппроксимаций» в «Бюллетене Полонезской академии наук» (см. ссылку в разделе «Ссылки»). Он разработал две алгебраические системы, каждую из которых он назвал «приблизительными числами», вторая из которых образует настоящую алгебру. [15] Д. Х. Лемер просмотрел статью в Mathematical Reviews и заметил, что эта вторая система изоморфна «гиперболическим комплексным» числам, предмету этой статьи.
В 1961 году Вармус продолжил свое изложение, называя компоненты приблизительного числа серединой и радиусом обозначенного интервала.
Синонимы
[ редактировать ]Разные авторы использовали самые разные названия для расщепляющихся комплексных чисел. Некоторые из них включают в себя:
- ( настоящие ) тессарины , Джеймс Кокл (1848)
- ( алгебраические ) двигатели , У. К. Клиффорд (1882 г.)
- гиперболические комплексные числа , Ж.К.Виньо (1935), Г.Кри (1949) [16]
- двумерные числа , У. Бенчивенга (1946)
- действительные гиперболические числа , Н. Смит (1949) [17]
- приблизительные числа , Вармус (1956), для использования в интервальном анализе
- двойные числа , И.М. Яглом (1968), Кантор и Солодовников (1989), Хазевинкель (1990), Руни (2014)
- гиперболические числа , В. Миллер и Р. Бенинг (1968), [18] Г. Собчик (1995)
- анормально-комплексные числа , В. Бенц (1973)
- числа недоумения , П. Фьелстад (1986) и Пудиак и Леклер (2009)
- контркомплекс или гиперболический , Кармоди (1988)
- Числа Лоренца , Ф. Р. Харви (1990)
- полукомплексные числа , Ф. Антонуччо (1994)
- паракомплексные числа , Кручану, Фортуни и Гадеа (1996)
- расщепленные комплексные числа , Б. Розенфельд (1997) [19]
- Числа пространства-времени , Н. Борота (2000)
- Номера исследований , П. Лунесто (2001)
- два комплексных числа , С. Олариу (2002)
- расщепленные бинарионы , К. МакКриммон (2004)
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Владимир В. Кисиль (2012) Геометрия преобразований Мебиуса: эллиптические, параболические и гиперболические действия SL (2, R) , страницы 2, 161, Imperial College Press ISBN 978-1-84816-858-9
- ^ Джеймс Кокл (1848) О новом воображении в алгебре , Философский журнал 33:438
- ^ Абстрактная алгебра/действительные матрицы 2x2 в Wikibooks
- ^ Джеймс Кокл (1849) О новом воображении в алгебре 34:37–47, Философский журнал Лондон-Эдинбург-Дублин (3) 33 :435–9, ссылка из Библиотеки наследия биоразнообразия .
- ^ Франческо Антонуччо (1994) Полукомплексный анализ и математическая физика
- ^ Ф. Катони, Д. Боккалетти, Р. Канната, В. Катони, Э. Никелатти, П. Зампетти. (2008) Математика пространства-времени Минковского , Birkhäuser Verlag , Базель. Глава 4: Тригонометрия в плоскости Минковского. ISBN 978-3-7643-8613-9 .
- ^ Франческо Катони; Дино Боккалетти; Роберто Канната; Винченцо Катони; Паоло Зампетти (2011). «Глава 2: Гиперболические числа». Геометрия пространства-времени Минковского . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-17977-8 .
- ^ Фьелстад, Пол (1986), «Расширение специальной теории относительности с помощью чисел недоумения», American Journal of Physics , 54 (5): 416–422, Бибкод : 1986AmJPh..54..416F , doi : 10.1119/1.14605
- ^ Луи Кауфман (1985) «Преобразования в специальной теории относительности», Международный журнал теоретической физики 24: 223–36.
- ^ Собчик, Г. (1995) Гиперболическая числовая плоскость , также опубликовано в College Mathematics Journal 26:268–80.
- ^ Роберт Б. Браун (1967) Об обобщенных алгебрах Кэли-Диксона , Pacific Journal of Mathematics 20(3):415–22, ссылка из Project Euclid .
- ^ Н. Х. Маккой (1942) Обзор «Квадратичных форм, допускающих композицию» А. А. Альберта, Mathematical Reviews # 0006140
- ^ Виньо, Ж. (1935) «О гиперболическом комплексном числе и его связи с борелевской геометрией», Вклад в изучение физических и математических наук , Национальный университет Ла-Платы, Аргентинская Республика.
- ^ Аллен, EF (1941) «О треугольнике, вписанном в прямоугольную гиперболу», American Mathematical Monthly 48 (10): 675–681
- ^ М. Вармус (1956) «Исчисление аппроксимаций». Архивировано 9 марта 2012 г. в Wayback Machine , Bulletin de l'Académie polonaise des Sciences , Vol. Т. 4, № 5, стр. 253–257, МР. 0081372
- ^ Кри, Джордж К. (1949). Теория чисел системы гиперболических комплексных чисел (магистерская диссертация). Университет Макгилла.
- ^ Смит, Норман Э. (1949). Введение в гиперболическую теорию чисел (магистерская диссертация). Университет Макгилла.
- ^ Миллер, Уильям; Бенинг, Рошель (1968). «Гауссовы, параболические и гиперболические числа». Учитель математики . 61 (4): 377–382. дои : 10.5951/MT.61.4.0377 . JSTOR 27957849 .
- ^ Розенфельд, Б. (1997) Геометрия групп Ли , страница 30, Kluwer Academic Publishers ISBN 0-7923-4390-5
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Бенчивенга, Ульдрико (1946) «О геометрическом представлении двойных алгебр, снабженных модулем», Труды Королевской академии наук и Fine Letters of Naples , Ser (3) v.2 No7. МИСТЕР 0021123 .
- Вальтер Бенц (1973) Лекции по геометрии алгебр , Спрингер
- Н. А. Борота, Э. Флорес и Т. Дж. Ослер (2000) «Пространство-время исчисляется простым способом», Mathematics and Computer Education 34: 159–168.
- Н. А. Борота и Т. Дж. Ослер (2002) «Функции пространственно-временной переменной», Математика и компьютерное образование 36: 231–239.
- К. Кармоди, (1988) «Круговые и гиперболические кватернионы, октонионы и седенионы» , Appl. Математика. Вычислить. 28:47–72.
- К. Кармоди, (1997) «Круговые и гиперболические кватернионы, октонионы и седенионы – дальнейшие результаты», Appl. Математика. Вычислить. 84:27–48.
- Уильям Кингдон Клиффорд (1882) Математические труды , редактор А. В. Такера, стр. 392, «Дальнейшие заметки о бикватернионах»
- В. Кручану, П. Фортуни и П. М. Гадеа (1996) Обзор паракомплексной геометрии , Rocky Mountain Journal of Mathematics 26 (1): 83–115, ссылка из Project Euclid .
- Де Бур, Р. (1987) «Также известный как список чисел недоумения», American Journal of Physics 55(4):296.
- Энтони А. Харкин и Джозеф Б. Харкин (2004) Геометрия обобщенных комплексных чисел , журнал Mathematics Magazine 77 (2): 118–29.
- Ф. Риз Харви. Спиноры и калибровки. Академическое издательство, Сан-Диего. 1990. ISBN 0-12-329650-1 . Содержит описание нормированных алгебр неопределенной сигнатуры, включая числа Лоренца.
- Хазевинкль, М. (1994) «Двойные и двойственные числа», Математическая энциклопедия , Советский Союз/AMS/Kluwer, Дордрект.
- Кевин МакКриммон (2004) Вкус джордановой алгебры , стр. 66, 157, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 МР 2014924
- К. Мюзес, «Прикладные гиперчисла: вычислительные концепции», Appl. Математика. Вычислить. 3 (1977) 211–226.
- К. Мюзес, «Гиперчисла II — дальнейшие концепции и вычислительные приложения», Appl. Математика. Вычислить. 4 (1978) 45–66.
- Олариу, Сильвиу (2002) Комплексные числа в N измерениях , Глава 1: Гиперболические комплексные числа в двух измерениях, страницы 1–16, Математические исследования Северной Голландии № 190, Elsevier ISBN 0-444-51123-7 .
- Пудиак, Роберт Д. и Кевин Дж. Леклер (2009) «Фундаментальные теоремы алгебры для недоумений», The College Mathematics Journal 40 (5): 322–35.
- Исаак Яглом (1968) Комплексные числа в геометрии , перевод Э. Примроуза с русского оригинала 1963 года, Academic Press , стр. 18–20.
- Дж. Руни (2014). «Обобщенные комплексные числа в механике». У Марко Чеккарелли и Виктора А. Глазунова (ред.). Достижения в области теории и практики роботов и манипуляторов: Труды Romansy 2014 XX Симпозиум CISM-IFToMM по теории и практике роботов и манипуляторов . Механизмы и машиноведение. Том. 22. Спрингер. стр. 55–62. дои : 10.1007/978-3-319-07058-2_7 . ISBN 978-3-319-07058-2 .