Jump to content

Сплит-комплексное число

(Перенаправлено с плоскости Сплит-комплекса )

В алгебре расщепленное комплексное число (или гиперболическое число , также число недоумения , двойное число ) основано на гиперболической единице j, удовлетворяющей Комплексное число с расщеплением имеет две действительные компоненты x и y и записывается Сопряженное с z есть С произведение числа z на сопряженное ему равно изотропная квадратичная форма .

Коллекция D всех расщепленных комплексных чисел для образует алгебру над полем действительных чисел . Два расщепленных комплексных числа w и z имеют произведение wz, удовлетворяющее условию Эта композиция N над произведением алгебры делает ( D , +, ×, *) композиционной алгеброй .

Похожая алгебра на основе и покомпонентные операции сложения и умножения, где xy квадратичная форма на также образует квадратичное пространство . Кольцевой изоморфизм

отображение не является изометрией , поскольку мультипликативное тождество (1, 1) связывает пропорциональные квадратичные формы, но находится на расстоянии от 0, который нормирован в D .

Сплит-комплексные числа имеют много других названий; см. § Синонимы ниже. См. статью « Переменная двигателя для функций расщепленного комплексного числа».

Определение

[ редактировать ]

Сплит -комплексное число — это упорядоченная пара действительных чисел, записанная в виде

где x и y действительные числа и гиперболическая единица [1] Джей удовлетворяет

В области комплексных чисел мнимая единица i удовлетворяет Смена знака отличает расщепленные комплексные числа от обычных комплексных. Гиперболическая единица j — это не действительное число, а независимая величина.

Совокупность всех таких z называется расщепленной комплексной плоскостью . Сложение и умножение расщепленных комплексных чисел определяются формулой

Это умножение коммутативно , ассоциативно и распределяется по сложению.

Сопряженная, модульная и билинейная форма

[ редактировать ]

Как и для комплексных чисел, можно определить понятие комплексно-сопряженного числа . Если

тогда сопряженное к z определяется как

Конъюгат представляет собой инволюцию , которая обладает свойствами, аналогичными комплексно -сопряженным . А именно,

Квадрат модуля расщепленного комплексного числа задается изотропной квадратичной формой

Он обладает свойством алгебры композиции :

Однако эта квадратичная форма не является положительно определенной , а имеет сигнатуру (1, −1) , поэтому модуль не нормой является .

Соответствующая билинейная форма имеет вид

где и Здесь действительная часть определяется выражением . Тогда другое выражение для квадрата модуля:

Поскольку она не является положительно определенной, эта билинейная форма не является внутренним продуктом ; тем не менее, билинейную форму часто называют неопределенным внутренним продуктом . Аналогичное злоупотребление языком относится к модулю как к норме.

Комплексное число с расщеплением обратимо тогда и только тогда, когда его модуль отличен от нуля ( ), таким образом, числа вида x ± jx не имеют обратных. Мультипликативный обратный обратимому элементу задается формулой

Комплексные числа, которые не являются обратимыми, называются нулевыми векторами . Все они имеют форму ( a ± ja ) для некоторого действительного числа a .

Диагональное основание

[ редактировать ]

Есть два нетривиальных идемпотентных элемента, заданных формулой и Напомним, что идемпотентность означает, что и Оба эти элемента имеют значение null:

Часто удобно использовать e и e как альтернативный базис для расщепленной комплексной плоскости. Этот базис называется диагональным базисом или нулевым базисом . Сплит-комплексное число z можно записать в нулевом базисе как

Если мы обозначим число для действительных чисел a и b на ( a , b ) , то комплексное умножение с расщеплением задается формулой

Сплит-комплекс, сопряженный в диагональном базисе, имеет вид и квадрат модуля по

Изоморфизм

[ редактировать ]
Эта коммутативная диаграмма связывает действие гиперболического версора на D с отображением сжатия σ, примененным к

На основе {e, e*} становится ясно, что расщепляемые комплексные числа кольцево изоморфны прямой сумме с попарным определением сложения и умножения.

Диагональный базис для расщепленной комплексной числовой плоскости можно вызвать, используя упорядоченную пару ( x , y ) для и делаем картографирование

Теперь квадратичная форма Более того,

таким образом, две параметризованные гиперболы приводятся в соответствие с S .

Действие гиперболического версора тогда при этом линейном преобразовании соответствует отображению сжатия

лежат в одном и том же классе изоморфизма в категории колец Хотя расщепляемая комплексная плоскость и прямая сумма двух вещественных прямых , они различаются по своему расположению в декартовой плоскости . Изоморфизм как плоское отображение состоит из поворота против часовой стрелки на 45° и расширения на 2 . В частности, расширение иногда вызывало путаницу в отношении областей гиперболического сектора . Действительно, гиперболический угол соответствует площади сектора в плоскость с «единичным кругом», заданным формулой Сжатая единичная гипербола плоскости расщепленного комплекса имеет только половину площади в размахе соответствующего гиперболического сектора. Такая путаница может продолжаться, если геометрия плоскости расщепленного комплекса не отличается от геометрии .

Геометрия

[ редактировать ]
  Единичная гипербола: z ‖ = 1
  Сопряженная гипербола: z ‖ = −1
  Асимптоты: z ‖ = 0

Двумерное действительное векторное пространство со скалярным произведением Минковского называется (1 + 1) -мерным пространством Минковского , часто обозначается Столько же геометрии евклидовой плоскости можно описать комплексными числами, геометрия плоскости Минковского можно описать с помощью расщепленных комплексных чисел.

Набор очков

является гиперболой для любого ненулевого a в Гипербола состоит из правой и левой ветвей, проходящих через ( a , 0) и (− a , 0) . Случай а = 1 называется единичной гиперболой . Сопряженная гипербола имеет вид

с верхней и нижней ветвью, проходящей через (0, a ) и (0, − a ) . Гипербола и сопряженная гипербола разделены двумя диагональными асимптотами , которые образуют набор нулевых элементов:

Эти две прямые (иногда называемые нулевым конусом ) перпендикулярны в и имеют наклоны ±1.

Сплит-комплексные числа z и w называются гиперболически-ортогональными, если z , w ⟩ = 0 . Хотя это условие аналогично обычной ортогональности, особенно в том виде, в котором оно известно в обычной арифметике комплексных чисел, оно более тонкое. Это составляет основу концепции одновременной гиперплоскости в пространстве-времени.

Аналогом формулы Эйлера для расщепленных комплексных чисел является

Эту формулу можно получить путем разложения в степенной ряд, используя тот факт, что cosh имеет только четные степени, а sinh — нечетные. [2] Для всех действительных значений гиперболического угла θ расщепленное комплексное число λ = exp( ) имеет норму 1 и лежит на правой ветви единичной гиперболы. Такие числа, как λ, называются гиперболическими версорами .

Поскольку λ имеет модуль 1, умножение любого расщепленного комплексного числа z на λ сохраняет модуль z и представляет собой гиперболическое вращение (также называемое усилением Лоренца или отображением сжатия ). Умножение на λ сохраняет геометрическую структуру, переводя гиперболы в себя, а нулевой конус в себя.

Набор всех преобразований расщепленной комплексной плоскости, которые сохраняют модуль (или, что то же самое, скалярное произведение), образует группу, называемую обобщенной ортогональной группой O(1, 1) . Эта группа состоит из гиперболических вращений, которые образуют подгруппу, обозначенную SO. + (1, 1) в сочетании с четырьмя дискретными отражениями , заданными формулой

и

Экспоненциальная карта

отправка θ во вращение с помощью exp( ) является групповым изоморфизмом , поскольку применяется обычная экспоненциальная формула:

Если расщепленное комплексное число z не лежит ни на одной из диагоналей, то z имеет полярное разложение .

Алгебраические свойства

[ редактировать ]

В терминах абстрактной алгебры расщепленные комплексные числа можно описать как фактор многочленов кольца идеалом , порожденным полиномом

Образ x в частном – это «мнимая» единица j . Благодаря этому описанию становится ясно, что расщепленные комплексные числа образуют коммутативную алгебру над действительными числами. Алгебра не является полем , поскольку нулевые элементы не обратимы. Все ненулевые нулевые элементы являются делителями нуля .

Поскольку сложение и умножение являются непрерывными операциями относительно обычной топологии плоскости, расщепляемые комплексные числа образуют топологическое кольцо .

Алгебра расщепленных комплексных чисел образует композиционную алгебру, поскольку

для любых чисел z и w .

Из определения видно, что кольцо расщепленных комплексных чисел изоморфно групповому кольцу циклической группы C 2 над действительными числами

Матричные представления

[ редактировать ]

Комплексные числа с расщеплением можно легко представить с помощью матриц . Сплит-комплексное число может быть представлена ​​матрицей

Сложение и умножение расщепленных комплексных чисел затем задаются путем сложения и умножения матриц. Модуль z задается определителем соответствующей матрицы.

На самом деле существует множество представлений расщепленной комплексной плоскости в четырехмерном кольце вещественных матриц размером 2x2. Действительные кратные единичной матрицы образуют вещественную строку в кольце матриц M(2,R). Любая гиперболическая единица m обеспечивает базовый элемент, с помощью которого можно продлить действительную линию до плоскости расщепленного комплекса. Матрицы

какой квадрат единичной матрицы удовлетворяет Например, когда a = 0, то ( b,c ) — точка стандартной гиперболы. В более общем смысле, в M(2,R) существует гиперповерхность гиперболических единиц, любая из которых служит базисом для представления расщепленных комплексных чисел как подкольца M(2,R). [3] [ нужен лучший источник ]

Число может быть представлена ​​матрицей

Использование расщепленных комплексных чисел восходит к 1848 году, когда Джеймс Кокл представил свои тессарины . [4] Уильям Кингдон Клиффорд использовал расщепленные комплексные числа для представления сумм спинов. Клиффорд ввел использование расщепленных комплексных чисел в качестве коэффициентов в алгебре кватернионов, которая теперь называется расщепленными бикватернионами . Его элементы он назвал «двигателями», термином, параллельным «роторному» действию обычного комплексного числа, взятого из группы кругов . Продолжая аналогию, функции двигательной переменной противопоставляются функциям обычной комплексной переменной .

С конца двадцатого века расщепленное комплексное умножение обычно рассматривалось как лоренцевское усиление плоскости пространства-времени . [5] [6] [7] [8] [9] [10] В этой модели число z = x + y j представляет событие в пространственно-временной плоскости, где x измеряется в наносекундах, а y — в футах Мермина . Будущее соответствует квадранту событий { z : | й | < x } , который имеет расщепленное комплексное полярное разложение . Модель утверждает, что z можно достичь из начала координат, введя систему отсчета с быстротой a и ожидая ρ наносекунд. Уравнение расщепленного комплекса

Выражение произведений через единичную гиперболу иллюстрирует аддитивность быстрот для коллинеарных скоростей. Одновременность событий зависит от быстроты а ;

— линия событий, одновременная с началом координат в системе отсчета с быстротой a .

Два события z и w являются гиперболически-ортогональными, если Канонические события exp( aj ) и j exp( aj ) гиперболически ортогональны и лежат на осях системы отсчета, в которой события, одновременные с началом координат, пропорциональны j exp( aj ) .

В 1933 году Макс Цорн использовал расщепленные октонионы и отметил свойство алгебры композиции . Он понял, что конструкция Кэли-Диксона , используемая для создания алгебр с делением, может быть изменена (с фактором гамма, γ ) для построения других композиционных алгебр, включая расщепленные октонионы. Его новаторство было продолжено Адрианом Альбертом , Ричардом Д. Шафером и другими. [11] Гамма-фактор с R в качестве базового поля строит комплексные числа с расщеплением как композиционную алгебру. В обзоре Альберта для Mathematical Reviews Н. Х. Маккой писал, что произошло «введение некоторых новых алгебр второго порядка». и над F, обобщающим алгебры Кэли–Диксона». [12] Взятие F = R и e = 1 соответствует алгебре этой статьи.

В 1935 году Ж. К. Виньо и А. Дураньона-и-Ведиа разработали расщепленную геометрическую алгебру и теорию функций в четырех статьях в журнале « Вклад в физические и математические науки» , Национальный университет Ла-Платы , Аргентинская Республика (на испанском языке). Эти разъяснительные и педагогические эссе представили тему, получившую широкое признание. [13]

В 1941 году Э. Ф. Аллен использовал комплексную геометрическую арифметику, чтобы определить девятиточечную гиперболу треугольника, вписанного в zz. = 1 . [14]

В 1956 году Мечислав Вармус опубликовал «Исчисление аппроксимаций» в «Бюллетене Полонезской академии наук» (см. ссылку в разделе «Ссылки»). Он разработал две алгебраические системы, каждую из которых он назвал «приблизительными числами», вторая из которых образует настоящую алгебру. [15] Д. Х. Лемер просмотрел статью в Mathematical Reviews и заметил, что эта вторая система изоморфна «гиперболическим комплексным» числам, предмету этой статьи.

В 1961 году Вармус продолжил свое изложение, называя компоненты приблизительного числа серединой и радиусом обозначенного интервала.

Синонимы

[ редактировать ]

Разные авторы использовали самые разные названия для расщепляющихся комплексных чисел. Некоторые из них включают в себя:

  • ( настоящие ) тессарины , Джеймс Кокл (1848)
  • ( алгебраические ) двигатели , У. К. Клиффорд (1882 г.)
  • гиперболические комплексные числа , Ж.К.Виньо (1935), Г.Кри (1949) [16]
  • двумерные числа , У. Бенчивенга (1946)
  • действительные гиперболические числа , Н. Смит (1949) [17]
  • приблизительные числа , Вармус (1956), для использования в интервальном анализе
  • двойные числа , И.М. Яглом (1968), Кантор и Солодовников (1989), Хазевинкель (1990), Руни (2014)
  • гиперболические числа , В. Миллер и Р. Бенинг (1968), [18] Г. Собчик (1995)
  • анормально-комплексные числа , В. Бенц (1973)
  • числа недоумения , П. Фьелстад (1986) и Пудиак и Леклер (2009)
  • контркомплекс или гиперболический , Кармоди (1988)
  • Числа Лоренца , Ф. Р. Харви (1990)
  • полукомплексные числа , Ф. Антонуччо (1994)
  • паракомплексные числа , Кручану, Фортуни и Гадеа (1996)
  • расщепленные комплексные числа , Б. Розенфельд (1997) [19]
  • Числа пространства-времени , Н. Борота (2000)
  • Номера исследований , П. Лунесто (2001)
  • два комплексных числа , С. Олариу (2002)
  • расщепленные бинарионы , К. МакКриммон (2004)

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Владимир В. Кисиль (2012) Геометрия преобразований Мебиуса: эллиптические, параболические и гиперболические действия SL (2, R) , страницы 2, 161, Imperial College Press ISBN   978-1-84816-858-9
  2. ^ Джеймс Кокл (1848) О новом воображении в алгебре , Философский журнал 33:438
  3. ^ Абстрактная алгебра/действительные матрицы 2x2 в Wikibooks
  4. ^ Джеймс Кокл (1849) О новом воображении в алгебре 34:37–47, Философский журнал Лондон-Эдинбург-Дублин (3) 33 :435–9, ссылка из Библиотеки наследия биоразнообразия .
  5. ^ Франческо Антонуччо (1994) Полукомплексный анализ и математическая физика
  6. ^ Ф. Катони, Д. Боккалетти, Р. Канната, В. Катони, Э. Никелатти, П. Зампетти. (2008) Математика пространства-времени Минковского , Birkhäuser Verlag , Базель. Глава 4: Тригонометрия в плоскости Минковского. ISBN   978-3-7643-8613-9 .
  7. ^ Франческо Катони; Дино Боккалетти; Роберто Канната; Винченцо Катони; Паоло Зампетти (2011). «Глава 2: Гиперболические числа». Геометрия пространства-времени Минковского . Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-17977-8 .
  8. ^ Фьелстад, Пол (1986), «Расширение специальной теории относительности с помощью чисел недоумения», American Journal of Physics , 54 (5): 416–422, Бибкод : 1986AmJPh..54..416F , doi : 10.1119/1.14605
  9. ^ Луи Кауфман (1985) «Преобразования в специальной теории относительности», Международный журнал теоретической физики 24: 223–36.
  10. ^ Собчик, Г. (1995) Гиперболическая числовая плоскость , также опубликовано в College Mathematics Journal 26:268–80.
  11. ^ Роберт Б. Браун (1967) Об обобщенных алгебрах Кэли-Диксона , Pacific Journal of Mathematics 20(3):415–22, ссылка из Project Euclid .
  12. ^ Н. Х. Маккой (1942) Обзор «Квадратичных форм, допускающих композицию» А. А. Альберта, Mathematical Reviews # 0006140
  13. ^ Виньо, Ж. (1935) «О гиперболическом комплексном числе и его связи с борелевской геометрией», Вклад в изучение физических и математических наук , Национальный университет Ла-Платы, Аргентинская Республика.
  14. ^ Аллен, EF (1941) «О треугольнике, вписанном в прямоугольную гиперболу», American Mathematical Monthly 48 (10): 675–681
  15. ^ М. Вармус (1956) «Исчисление аппроксимаций». Архивировано 9 марта 2012 г. в Wayback Machine , Bulletin de l'Académie polonaise des Sciences , Vol. Т. 4, № 5, стр. 253–257, МР. 0081372
  16. ^ Кри, Джордж К. (1949). Теория чисел системы гиперболических комплексных чисел (магистерская диссертация). Университет Макгилла.
  17. ^ Смит, Норман Э. (1949). Введение в гиперболическую теорию чисел (магистерская диссертация). Университет Макгилла.
  18. ^ Миллер, Уильям; Бенинг, Рошель (1968). «Гауссовы, параболические и гиперболические числа». Учитель математики . 61 (4): 377–382. дои : 10.5951/MT.61.4.0377 . JSTOR   27957849 .
  19. ^ Розенфельд, Б. (1997) Геометрия групп Ли , страница 30, Kluwer Academic Publishers ISBN   0-7923-4390-5

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
  • Бенчивенга, Ульдрико (1946) «О геометрическом представлении двойных алгебр, снабженных модулем», Труды Королевской академии наук и Fine Letters of Naples , Ser (3) v.2 No7. МИСТЕР 0021123 .
  • Вальтер Бенц (1973) Лекции по геометрии алгебр , Спрингер
  • Н. А. Борота, Э. Флорес и Т. Дж. Ослер (2000) «Пространство-время исчисляется простым способом», Mathematics and Computer Education 34: 159–168.
  • Н. А. Борота и Т. Дж. Ослер (2002) «Функции пространственно-временной переменной», Математика и компьютерное образование 36: 231–239.
  • К. Кармоди, (1988) «Круговые и гиперболические кватернионы, октонионы и седенионы» , Appl. Математика. Вычислить. 28:47–72.
  • К. Кармоди, (1997) «Круговые и гиперболические кватернионы, октонионы и седенионы – дальнейшие результаты», Appl. Математика. Вычислить. 84:27–48.
  • Уильям Кингдон Клиффорд (1882) Математические труды , редактор А. В. Такера, стр. 392, «Дальнейшие заметки о бикватернионах»
  • В. Кручану, П. Фортуни и П. М. Гадеа (1996) Обзор паракомплексной геометрии , Rocky Mountain Journal of Mathematics 26 (1): 83–115, ссылка из Project Euclid .
  • Де Бур, Р. (1987) «Также известный как список чисел недоумения», American Journal of Physics 55(4):296.
  • Энтони А. Харкин и Джозеф Б. Харкин (2004) Геометрия обобщенных комплексных чисел , журнал Mathematics Magazine 77 (2): 118–29.
  • Ф. Риз Харви. Спиноры и калибровки. Академическое издательство, Сан-Диего. 1990. ISBN   0-12-329650-1 . Содержит описание нормированных алгебр неопределенной сигнатуры, включая числа Лоренца.
  • Хазевинкль, М. (1994) «Двойные и двойственные числа», Математическая энциклопедия , Советский Союз/AMS/Kluwer, Дордрект.
  • Кевин МакКриммон (2004) Вкус джордановой алгебры , стр. 66, 157, Universitext, Springer ISBN   0-387-95447-3 МР 2014924
  • К. Мюзес, «Прикладные гиперчисла: вычислительные концепции», Appl. Математика. Вычислить. 3 (1977) 211–226.
  • К. Мюзес, «Гиперчисла II — дальнейшие концепции и вычислительные приложения», Appl. Математика. Вычислить. 4 (1978) 45–66.
  • Олариу, Сильвиу (2002) Комплексные числа в N измерениях , Глава 1: Гиперболические комплексные числа в двух измерениях, страницы 1–16, Математические исследования Северной Голландии № 190, Elsevier ISBN   0-444-51123-7 .
  • Пудиак, Роберт Д. и Кевин Дж. Леклер (2009) «Фундаментальные теоремы алгебры для недоумений», The College Mathematics Journal 40 (5): 322–35.
  • Исаак Яглом (1968) Комплексные числа в геометрии , перевод Э. Примроуза с русского оригинала 1963 года, Academic Press , стр. 18–20.
  • Дж. Руни (2014). «Обобщенные комплексные числа в механике». У Марко Чеккарелли и Виктора А. Глазунова (ред.). Достижения в области теории и практики роботов и манипуляторов: Труды Romansy 2014 XX Симпозиум CISM-IFToMM по теории и практике роботов и манипуляторов . Механизмы и машиноведение. Том. 22. Спрингер. стр. 55–62. дои : 10.1007/978-3-319-07058-2_7 . ISBN  978-3-319-07058-2 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 6ce8f746d8b2b23574d66a91398f7391__1714604220
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/6c/91/6ce8f746d8b2b23574d66a91398f7391.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Split-complex number - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)