Очистка знаменателей

В математике метод очистки знаменателей , также называемый очисткой дробей , представляет собой метод упрощения уравнения , приравнивающего два выражения, каждое из которых представляет собой сумму рациональных выражений , включая простые дроби .

Пример

Рассмотрим уравнение

${\frac {x}{6}}+{\frac {y}{15z}}=1.$

Наименьшее общее кратное двух знаменателей 6 и 15 z равно 30 z , поэтому обе части умножаются на 30 z :

$5xz+2y=30z.\,$

В результате получается уравнение без дробей.

Упрощенное уравнение не полностью эквивалентно исходному. Когда мы подставляем y = 0 и z = 0 в последнее уравнение, обе части упрощаются до 0, поэтому мы получаем 0 = 0 , математическую истину. Но та же замена, примененная к исходному уравнению, приводит к x /6 + 0/0 = 1 , что математически бессмысленно .

Описание

Без ограничения общности можно считать, что правая часть уравнения равна 0, поскольку уравнение E ₁ = E ₂ эквивалентно можно переписать в виде E ₁ − E ₂ = 0 .

Итак, пусть уравнение имеет вид

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{Q_{i}}}=0.$

Первым шагом является определение общего знаменателя D этих дробей – предпочтительно общего знаменателя , который является наименьшим общим кратным Q наименьшего _i .

Это означает, что каждое Q _i является фактором D которое не является , поэтому D = R _i Q _i для некоторого выражения R _i, дробью. Затем

${\frac {P_{i}}{Q_{i}}}={\frac {R_{i}P_{i}}{R_{i}Q_{i}}}={\frac {R_{i}P_{i}}{D}}\,,$

при условии, что R _i Q _i не принимает значение 0 – в этом случае D также равно 0.

Итак, у нас есть сейчас

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{Q_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {R_{i}P_{i}}{D}}={\frac {1}{D}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}P_{i}=0.$

При условии, что D не принимает значение 0, последнее уравнение эквивалентно

$\sum _{i=1}^{n}R_{i}P_{i}=0\,,$

в котором знаменатели исчезли.

Как показывают оговорки, необходимо проявлять осторожность, чтобы не вводить нули D ложные – рассматриваемые как функция неизвестных уравнения – как решения .

Пример 2

Рассмотрим уравнение

${\frac {1}{x(x+1)}}+{\frac {1}{x(x+2)}}-{\frac {1}{(x+1)(x+2)}}=0.$

Наименьший общий знаменатель равен x ( x + 1)( x + 2) .

Следование методу, описанному выше, приводит к

$(x+2)+(x+1)-x=0.$

Дальнейшее упрощение дает нам решение x = −3 .

Легко проверить, что ни один из нулей x ( x + 1)( x + 2) – а именно x = 0 , x = −1 и x = −2 – не является решением окончательного уравнения, поэтому никаких ложных решений нет. были представлены.

Ссылки

• Ричард Н. Ауфманн; Джоан Локвуд (2012). Алгебра: начальный и средний уровень (3-е изд.). Cengage Обучение. п. 88. ИСБН  978-1-133-70939-8 .