Посторонние и недостающие решения

В математике постороннее решение (или ложное решение ) — это решение, возникающее в процессе решения проблемы, но не являющееся ее действительным решением. — Отсутствующее решение это допустимое решение, которое теряется в процессе решения. Обе ситуации часто возникают в результате выполнения операций, которые не являются обратимыми для некоторых или всех значений задействованных переменных, что предотвращает двунаправленность цепочки логических выводов.

Посторонние решения: умножение

Один из основных принципов алгебры заключается в том, что можно умножить обе части уравнения на одно и то же выражение, не меняя решения уравнения. Однако, строго говоря, это неверно, поскольку умножение на определенные выражения может привести к появлению новых решений, которых раньше не было. Например, рассмотрим следующее уравнение:

$x+2=0.$

Если умножить обе части на ноль, получим:

$0=0.$

Это справедливо для всех значений $x$, поэтому набор решений состоит из действительных чисел. Но очевидно, что не все действительные числа являются решениями исходного уравнения. Проблема в том, что умножение на ноль не обратимо : если мы умножаем на любое ненулевое значение, мы можем обратить шаг вспять, разделив на то же значение, но деление на ноль не определено, поэтому умножение на ноль нельзя обратить вспять.

Более тонко, предположим, что мы берём одно и то же уравнение и умножаем обе его части на $x$. Мы получаем

$x(x+2)=(0)x,$

$x^{2}+2x=0.$

Это квадратное уравнение имеет два решения: $x=-2$ и $x=0.$ Но если $0$ заменяется на $x$ в исходном уравнении результатом является неверное уравнение $2=0$. Этот противоречивый результат возникает потому, что в случае, когда $x=0$, умножив обе части на $x$ умножает обе части на ноль и, таким образом, обязательно дает истинное уравнение, как и в первом примере.

В общем, всякий раз, когда мы умножаем обе части уравнения на выражение, включающее переменные, мы вводим посторонние решения везде, где это выражение равно нулю. Но исключить эти значения недостаточно, поскольку они могли быть законными решениями исходного уравнения. Например, предположим, что мы умножаем обе части нашего исходного уравнения $x+2=0$ к $x+2.$ Мы получаем

$(x+2)(x+2)=0(x+2),$

$x^{2}+4x+4=0,$

который имеет только одно действительное решение: $x=-2$. Это решение исходного уравнения, поэтому его нельзя исключать, хотя $x+2=0$ за эту стоимость $x$.

Посторонние решения: рациональные

Посторонние решения могут естественным образом возникнуть в задачах с дробями с переменными в знаменателе. Например, рассмотрим это уравнение:

${\frac {1}{x-2}}={\frac {3}{x+2}}-{\frac {6x}{(x-2)(x+2)}}\,.$

Чтобы начать решение, мы умножаем каждую часть уравнения на наименьший общий знаменатель всех дробей, содержащихся в уравнении. В этом случае наименьший общий знаменатель равен $(x-2)(x+2)$. После выполнения этих операций дроби исключаются, и уравнение принимает вид:

$x+2=3(x-2)-6x\,.$

Решение этой проблемы дает единственное решение $x=-2.$ Однако, когда мы подставим решение обратно в исходное уравнение, мы получим:

${\frac {1}{-2-2}}={\frac {3}{-2+2}}-{\frac {6(-2)}{(-2-2)(-2+2)}}\,.$

Тогда уравнение принимает вид:

${\frac {1}{-4}}={\frac {3}{0}}+{\frac {12}{0}}\,.$

Это уравнение неверно, поскольку на ноль делить нельзя . Следовательно, решение $x=-2$ является посторонним и недействительным, а исходное уравнение не имеет решения.

Для этого конкретного примера можно признать, что (для значения $x=-2$), операция умножения на $(x-2)(x+2)$ будет умножением на ноль. Однако не всегда просто оценить, разрешена ли каждая уже выполненная операция окончательным ответом. Из-за этого зачастую единственный простой и эффективный способ справиться с умножением на выражения, включающие переменные, — это подставить каждое из полученных решений в исходное уравнение и подтвердить, что это дает допустимое уравнение. Отбросив решения, которые приводят к неверному уравнению, мы получим правильный набор решений. В некоторых случаях, как в приведенном выше примере, все решения могут быть отброшены, и в этом случае исходное уравнение не имеет решения.

Недостающие решения: разделение

С посторонними решениями справиться не так уж сложно, поскольку они просто требуют проверки всех решений на достоверность. Однако более коварным является отсутствие решений, которые могут возникнуть при выполнении операций над выражениями, которые недопустимы для определенных значений этих выражений.

Например, если мы решали следующее уравнение, правильное решение получается путем вычитания $4$ с обеих сторон, затем разделив обе стороны на $2$:

$2x+4=0,$

$2x=-4,$

$x=-2.$

По аналогии мы могли бы предположить, что можем решить следующее уравнение, вычитая $2x$ с обеих сторон, затем разделив на $x$:

$x^{2}+2x=0,$

$x^{2}=-2x,$

$x=-2.$

Решение $x=-2$ на самом деле является допустимым решением исходного уравнения; но другое решение, $x=0$, исчез. Проблема в том, что мы разделили обе части на $x$, что включает в себя неопределенную операцию деления на ноль, когда $x=0.$

Обычно возможно (и желательно) избегать деления на любое выражение, которое может быть нулевым; однако там, где это необходимо, достаточно гарантировать, что любые значения переменных, которые делают его нулевым, также не удовлетворяют исходному уравнению. Например, предположим, что у нас есть это уравнение:

$x+2=0.$

Верно разделить обе части на $x-2$, получив следующее уравнение:

${\frac {x+2}{x-2}}=0.$

Это справедливо, поскольку единственное значение $x$ это делает $x-2$ равно нулю $x=2,$ что не является решением исходного уравнения.

В некоторых случаях нас не интересуют определенные решения; например, нам могут понадобиться решения только там, где $x$ является положительным. В этом случае можно делить на выражение, которое равно нулю только тогда, когда $x$ равно нулю или отрицательному значению, потому что это может удалить только те решения, которые нас не интересуют.

Прочие операции

Умножение и деление — не единственные операции, которые могут изменить множество решений. Например, возьмем задачу:

$x^{2}=4.$

Если мы возьмем положительный квадратный корень из обеих частей, мы получим:

$x=2.$

Мы не извлекаем здесь квадратный корень из каких-либо отрицательных значений, поскольку оба $x^{2}$ и $4$ обязательно положительны. Но мы потеряли решение $x=-2.$ Причина в том, что $x$ на самом деле вообще не является положительным квадратным корнем из $x^{2}.$ Если $x$ отрицательно, положительный квадратный корень из $x^{2}$ является $-x.$ Если шаг сделан правильно, вместо этого он приведет к уравнению:

${\sqrt {x^{2}}}={\sqrt {4}}.$

$|x|=2.$

$x=\pm 2.$

Это уравнение имеет те же два решения, что и исходное: $x=2$ и $x=-2.$

Мы также можем изменить набор решений, возведя в квадрат обе части, потому что это сделает любые отрицательные значения в диапазонах уравнения положительными, что приведет к появлению посторонних решений.

См. также

• Недействительное доказательство