О размерах и расстояниях (Гиппарх)

О работе Аристарха Самосского см. О размерах и расстояниях (Аристарх) .

О размерах и расстояниях (Солнца и Луны) ( греч . Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων [ἡλίου καὶ σελήνης] , латинизировано : Peri megethon kai apostematon ) — текст древнегреческого астронома Гиппарха ( ок. 190 – ок. 120 до н. э. ). в котором сделаны аппроксимации радиусов Солнца и Луны , а также их расстояний от Земли . Он не сохранился , но часть его содержания сохранилась в трудах Птолемея и его комментатора Паппа Александрийского . Некоторые современные историки попытались реконструировать методы Гиппарха, используя доступные тексты.

Источники

Большая часть того, что известно о тексте Гиппарха, взята из двух древних источников: Птолемея и Паппа. Эта работа также упоминается Теоном Смирнским и другими, но их отчеты оказались менее полезными для реконструкции процедур Гиппарха.

Птолемей

В Альмагесте V, 11 Птолемей пишет:

Гиппарх производил такое исследование главным образом по солнцу. Поскольку из других свойств Солнца и Луны (о которых речь пойдет ниже) следует, что если известно расстояние до одного из двух светил, то известно и расстояние до другого, он пытается, предполагая расстояние до солнце, чтобы продемонстрировать расстояние до луны. Во-первых, он предполагает, что Солнце демонстрирует наименее заметный параллакс, чтобы определить расстояние до него. После этого он пользуется приведенным им солнечным затмением, во-первых, как будто солнце не показывает заметного параллакса, и именно по этой причине соотношения расстояний до Луны казались ему разными для каждой из выдвинутых им гипотез. Но что касается Солнца, то совершенно сомнительно не только количество его параллакса, но и то, показывает ли оно вообще какой-либо параллакс.

Этот отрывок дает общее представление о том, что сделал Гиппарх, но не содержит подробностей. Птолемей явно не был согласен с методами, использованными Гиппархом, и поэтому не вдавался в подробности.

Папп Александрийский

Работы Гиппарха еще существовали, когда Папп написал свой комментарий к Альмагесту в IV веке. Он дополняет некоторые детали, которые опускает Птолемей:

Гиппарх производил такое исследование преимущественно по солнцу и неточно. Ибо так как луна в сизигиях и на ближайшем наибольшем расстоянии кажется равной солнцу и поскольку дана величина диаметров солнца и луны (о чем будет сказано ниже), то из этого следует, что если расстояние в один из двух светил дано также расстояние до другого, как и в теореме 12, если дано расстояние до Луны и диаметры Солнца и Луны, то дано расстояние до Солнца. Гиппарх пытается, предполагая параллакс и расстояние до Солнца, показать расстояние до Луны, но что касается Солнца, то совершенно сомнительно не только количество его параллакса, но и то, показывает ли оно вообще какой-либо параллакс. Ибо таким образом Гиппарх сомневался в солнце, не только в величине его параллакса, но и в том, показывает ли оно вообще какой-либо параллакс. В первой книге «О размерах и расстояниях» предполагается, что Земля имеет отношение точки и центра к Солнцу. И посредством вызванного им затмения...

Потом позже,

Ибо в первой книге «О размерах и расстояниях» он приводит следующее наблюдение: солнечное затмение, которое в областях вокруг Геллеспонта было точным затмением всего солнечного диска, так что ни одна его часть не была видна, но в Александрии у Египта затмилось примерно четыре пятых его площади. Посредством этого он показывает в первой книге, что в единицах, в которых радиус Земли равен единице, наименьшее расстояние до Луны равно 71, а наибольшее 83. Следовательно, среднее значение равно 77... Опять же, он сам в Книга 2 «О размерах и расстояниях» показывает из многих соображений, что в единицах, в которых радиус Земли равен единице, наименьшее расстояние до Луны равно 62, а среднее 67. 1/3 72 . , а расстояние до Солнца 490. Ясно, что наибольшее расстояние до Луны равно 2 ⁄ 3 .

Этот отрывок содержит достаточно деталей, чтобы сделать реконструкцию возможной. В частности, ясно указано, что существовало две отдельные процедуры, и приведены точные результаты каждой. Он дает подсказки, с помощью которых можно идентифицировать затмение, и говорит, что Гиппарх использовал формулу «как в теореме 12», дошедшей до нас теореме Птолемея.

Современные реконструкции

Некоторые историки науки пытались реконструировать расчеты, использованные в книге « О размерах и расстояниях» . Первую попытку предпринял Фридрих Хульч в 1900 году, но позже она была отвергнута Ноэлем Свердловым в 1969 году. Г.Дж. Тумер расширил свои усилия в 1974 году.

Хульч

Фридрих Хульч в статье 1900 года определил, что источник Паппа был неправильно скопирован и что фактическое расстояние до Солнца, рассчитанное Гиппархом, составляло 2490 земных радиусов (а не 490). Как и в английском языке, в греческом языке разница между этими двумя результатами составляет всего один символ.

Его анализ был основан на тексте Теона Смирнского , в котором говорится, что Гиппарх обнаружил, что Солнце в 1880 раз больше Земли, а Земля в 27 раз больше Луны. Если предположить, что речь идет об объемах, то отсюда следует, что

$s={\sqrt[{3}]{1880}}\approx 12+1/3$

и

$\ell ={\sqrt[{3}]{1/27}}=1/3$

Предположим, что Солнце и Луна имеют одинаковый видимый размер на небе, а Луна равна 67 на расстоянии 1/3 радиуса Земли что , отсюда следует,

$S={\frac {s}{\ell }}L\approx {\frac {12+1/3}{1/3}}(67+1/3)=2491+1/3\approx 2490$

Этот результат был общепринятым в течение следующих семидесяти лет, пока Ноэль Свердлов не провел повторное расследование этого дела.

Книга 2 реконструкции (Свердлов)

Свердлов определил, что Гиппарх соотносит расстояния до Солнца и Луны, используя конструкцию, найденную у Птолемея . Было бы неудивительно, если бы этот расчет был первоначально разработан самим Гиппархом, поскольку он был первоисточником для « Альмагеста» .

Используя этот расчет, Свердлов смог связать два результата Гиппарха (67 1/3 для Луны и 490 для Солнца). Точное получение этого соотношения требует следования очень точному набору приближений.

Использование простых тригонометрических тождеств дает

$\ell =L\tan \theta \approx L\sin \theta$

и

$h={\frac {\tan \varphi }{\tan \theta }}\ell \approx {\frac {\varphi }{\theta }}\ell \approx {\frac {\varphi }{\theta }}L\sin \theta$

Параллельными прямыми и приняв t = 1, получим

$\ell +x=t+(t-h)=2t-h\Rightarrow x\approx 2-\left({\frac {\varphi }{\theta }}+1\right)L\sin \theta$

По подобию треугольников,

${\frac {t}{x}}={\frac {S}{S-L}}\Rightarrow S={\frac {L}{1-x}}$

Объединение этих уравнений дает

$S\approx {\frac {L}{\left({\frac {\varphi }{\theta }}+1\right)L\sin \theta -1}}=1\left/\left(\left({\frac {\varphi }{\theta }}+1\right)\sin \theta -{\frac {1}{L}}\right)\right.$

Значения, которые Гиппарх принял для этих переменных, можно найти в Альмагесте Птолемея IV, 9. Он говорит, что Гиппарх обнаружил, что Луна измеряла свой собственный круг около 650 раз, а угловой диаметр тени Земли в 2,5 раза больше, чем у Луны. Папп сообщает нам, что Гиппарх принял среднее расстояние до Луны равным 67. 1 ⁄ 3 . Это дает:

Количество	Ценить
$2\theta$	$360^{\circ }/650=0.554^{\circ }$
$\varphi$	$2.5\theta =0.6925^{\circ }$
$L$	67 1 ⁄ 3

По словам Свердлова, Гиппарх теперь оценивал это выражение со следующими округлениями (значения указаны в шестидесятеричной системе счисления ):

$\ell \approx L\sin \theta \approx 0;19,30$

и

$h\approx {\frac {\varphi }{\theta }}\ell \approx 0;48,45$

Тогда, потому что

$\ell +h\approx {\frac {\varphi }{\theta }}L\sin \theta +L\sin \theta =\left({\frac {\varphi }{\theta }}+1\right)L\sin \theta$

отсюда следует, что

$S\approx L/(\ell +h-1)\approx 67;20/0;8,15\approx 489.70\approx 490$

Свердлов использовал этот результат, чтобы доказать, что 490 было правильным прочтением текста Паппа, тем самым опровергая интерпретацию Хультча. Хотя этот результат сильно зависит от конкретных использованных приближений и округлений, он в целом принят. Однако остается открытым вопрос о том, где находится лунное расстояние 67 1 ⁄ 3 пришло из.

Вслед за Паппом и Птолемеем Свердлов предположил, что Гиппарх оценил минимально возможное расстояние до Солнца в 490 радиусов Земли. Это расстояние соответствует солнечному параллаксу 7 футов, который, возможно, был максимальным, который, как он думал, остался незамеченным (типичное разрешение человеческого глаза составляет 2 фута). Полученную выше формулу расстояния до Солнца можно инвертировать для определения расстояния до Луны:

$L\approx {\frac {S}{\left({\frac {\varphi }{\theta }}+1\right)S\sin \theta -1}}=1\left/\left(\left({\frac {\varphi }{\theta }}+1\right)\sin \theta -{\frac {1}{S}}\right)\right.$

Используя те же значения, что и выше, для каждого угла и используя 490 земных радиусов в качестве минимального солнечного расстояния, следует, что максимальное среднее лунное расстояние равно

$L\approx 1\left/\left((2.5+1)\sin 0.277^{\circ }-{\frac {1}{490}}\right)\right.\approx 67.203\approx 67{\tfrac {1}{3}}$

Тумер расширил эту тему, заметив, что по мере неограниченного увеличения расстояния до Солнца формула приближается к минимальному среднему лунному расстоянию:

$L\approx 1\left/\left((2.5+1)\sin 0.277^{\circ }\right)\right.\approx 59.10$

Это близко к значению, позднее заявленному Птолемеем.

Реконструкция книги 1 (Тумер)

Помимо объяснения минимального лунного расстояния, которого достиг Гиппарх, Тумер смог объяснить метод первой книги, в котором использовалось солнечное затмение . Папп утверждает, что это затмение было полным в районе Геллеспонта, но в Александрии оно составляло 4/5 от общего числа.

Если Гиппарх предположил, что Солнце бесконечно далеко (т. е. что «Земля имеет соотношение точки и центра к Солнцу»), то разница в величине солнечного затмения должна быть полностью обусловлена ​​параллаксом Луны. Используя данные наблюдений, он сможет определить этот параллакс и, следовательно, расстояние до Луны.

Гиппарх знал бы $\varphi _{A}$ и $\varphi _{H}$, широты Александрии . и региона Геллеспонтии соответственно Он также знал бы $\delta$, склонение Луны во время затмения и $\mu$, что связано с разницей в полноте затмения между двумя регионами.

$AH={\frac {t\operatorname {Crd} \angle AOH}{R}}={\frac {t\operatorname {Crd} (\varphi _{H}-\varphi _{A})}{R}}$

Crd здесь относится к функции хорды , которая отображает угол в градусах на соответствующую длину хорды круга единичного диаметра. Кроме того, R — это радиус базовой окружности, которую Гиппарх использовал для вычисления функции хорды, а t — радиус Земли. Поскольку Луна очень далека, отсюда следует, что $\zeta '\approx \zeta$. Использование этого приближения дает

$\zeta =\varphi _{H}-\delta$

$\angle ZHA=180^{\circ }-\angle OHA$

$\angle OHA={\frac {180^{\circ }-\angle AOH}{2}}={\frac {180^{\circ }-(\varphi _{H}-\varphi _{A})}{2}}$

Следовательно,

$\angle ZHA=90^{\circ }+{\frac {1}{2}}(\varphi _{H}-\varphi _{A})$

$\angle MHA=\theta =\angle ZHA-\zeta '\approx \angle ZHA-\zeta =90^{\circ }-{\frac {1}{2}}(\varphi _{H}+\varphi _{A})+\delta$

С $AH$ и $\theta$, нам нужно только $\mu$ получить $D'$. Поскольку затмение было полным в точке H и полным в 4/5 в точке A, отсюда следует, что $\mu$ составляет 1/5 видимого диаметра Солнца. Эта величина была хорошо известна Гиппарху — он принял ее за 1/650 полного круга. Расстояние от центра Земли до Луны тогда следует из $D\approx D'+t$.

Тумер определил, как Гиппарх определил хорду для малых углов (см. Хорда (геометрия) ). Его значения широт Геллеспонта (41 градус) и Александрии (31 градус) известны из Страбона труда по географии . Чтобы определить склонение, необходимо знать, какое затмение использовал Гиппарх.

Поскольку он знал значение, которое Гиппарх в конечном итоге дал для расстояния до Луны (71 земной радиус) и грубой области затмения, Тумер смог определить, что Гиппарх использовал солнечное затмение 14 марта 190 г. до н.э. Это затмение очень хорошо соответствует всем математическим параметрам, а также имеет смысл с исторической точки зрения. Затмение произошло в Никее , месте рождения Гиппарха, поэтому он, возможно, слышал истории о нем. Об этом также есть сообщение в Страбона Ab Urbe Condita VIII.2 . Склонение Луны в это время было $\delta =-3^{\circ }$. Следовательно, используя хордовую тригонометрию, дает

$\theta =54^{\circ }+\delta$

$AH={\frac {t\operatorname {Crd} 10^{\circ }}{R}}\approx t\ {\frac {600}{3438}}$

$\mu ={\frac {360\cdot 60}{5\cdot 650}}$

$D'={\frac {\operatorname {Crd} 2\theta \cdot AH}{\operatorname {Crd} \mu \cdot 2}}={\frac {\operatorname {Crd} (108^{\circ }+2\delta )\cdot 600\cdot 5\cdot 650}{21600\cdot 2\cdot 3438}}t$

Теперь, используя таблицы аккордов Гиппарха,

$\operatorname {Crd} (108^{\circ }+2(-3^{\circ }))=\operatorname {Crd} 102^{\circ }\approx 2\cdot 3438\sin 51^{\circ }\approx 5340$

и, следовательно,

$D'={\frac {5340\cdot 600\cdot 5\cdot 650}{21600\cdot 2\cdot 3438}}t\approx 70.1t\Rightarrow D\approx D'+t\approx 71.1t$

Это хорошо согласуется со значением 71 радиуса Земли, о котором сообщает Папп.

Заключение

Если предположить, что эти реконструкции точно отражают то, что Гиппарх написал в «О размерах и расстояниях» , то эта работа была выдающимся достижением. Этот подход установления пределов неизвестной физической величины не был новым для Гиппарха (см. Аристарх Самосский . Архимед также делал то же самое с числом Пи ), но в тех случаях границы отражали неспособность определить математическую константу с произвольной точностью, а не неопределенность в физических наблюдениях.

Гиппарх, похоже, в конце концов разрешил противоречие между двумя своими результатами. Его целью при расчете расстояния до Луны было получить точное значение лунного параллакса, чтобы он мог более точно предсказывать затмения. Для этого ему пришлось остановиться на конкретном значении расстояния/параллакса, а не на диапазоне значений.

Есть некоторые доказательства того, что он это сделал. Объединение расчетов Книги 2 и рассказа Теона Смирнского дает расстояние до Луны, равное 60,5 земных радиусов. Проделав то же самое с описанием Клеомеда, получим расстояние в 61 земной радиус. Они удивительно близки как к ценности Птолемея, так и к современной.

По словам Тумера,

Эта процедура, если я ее правильно построил, очень замечательна... Что поражает, так это сложность подхода к проблеме двумя совершенно разными методами, а также полная честность, с которой Гиппарх раскрывает свои противоречивые результаты... которые тем не менее того же порядка и (впервые в истории астрономии) в нужной области.

См. также

• Аристарх Самосский ( ок. 310 — ок. 230 до н. э. ), греческий математик, вычисливший расстояние от Земли до Солнца.
• Осевая прецессия
• Эратосфен ( ок. 276 — ок. 194/195 до н. э. ), греческий математик, вычисливший окружность Земли, а также расстояние от Земли до Солнца.
• Греческая математика
• Гиппарх ( ок. 190 – ок. 120 до н.э. )
• Посидоний ( ок. 135 — ок. 51 до н. э. ), греческий астроном и математик, вычисливший окружность Земли.

Ссылки

1. Ф. Хульч , «...», Лейпциг, Фил.-истор. кл. 52 (1900), 169–200.
2. Н. М. Свердлов , «Гиппарх на расстоянии Солнца», Centaurus 14 (1969), 287–305.
3. Г. Дж. Тумер , «Гиппарх на расстояниях от Солнца и Луны», Архив истории точных наук 14 (1974), 126–142.
4. Дорогая, Гиора. «Есть ли в греческой астрономии концепция экспериментальной ошибки?» Британский журнал истории науки 22.02 (1989): 129–150. (Доступно онлайн по адресу https://www.researchgate.net/profile/Giora_Hon/publication/231844424_Is_ There_a_Concept_of_Experimental_Error_in_Greek_Astronomy /links/564fa57b08ae4988a7a858bd.pdf)