Косинусный закон Ламберта

В оптике сила закон косинуса Ламберта гласит, что излучения или сила света, наблюдаемая от идеальной диффузно отражающей поверхности или идеального диффузного излучателя, прямо пропорциональна косинусу угла θ нормалью между линией зрения наблюдателя и к поверхности ; я знак равно я ₀ потому что θ . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Этот закон также известен как закон косинусной эмиссии. ^{[ 3 ]} или закон эмиссии Ламберта . Он назван в честь Иоганна Генриха Ламберта из его «Фотометрии» , опубликованной в 1760 году. ^{[ 4 ]}

Поверхность, которая подчиняется закону Ламберта, называется ламбертовой и обладает ламбертовой отражательной способностью . Такая поверхность имеет одинаковое сияние / яркость при взгляде под любым углом. Это означает, например, что для человеческого глаза он имеет одинаковую видимую яркость. Он имеет такое же излучение, потому что, хотя излучаемая мощность от данного элемента площади уменьшается на косинус угла излучения, телесный угол, охватываемый поверхностью, видимой для наблюдателя, уменьшается на ту же самую величину. Поскольку соотношение между мощностью и телесным углом является постоянным, яркость (мощность на единицу телесного угла на единицу проецируемой площади источника) остается неизменной.

Ламбертовы рассеиватели и радиаторы

Когда элемент площади излучает в результате освещения внешним источником, излучение (энергия или фотоны/время/площадь), попадающее на этот элемент площади, будет пропорционально косинусу угла между источником освещения и нормалью. Ламбертовский рассеиватель затем будет рассеивать этот свет по тому же закону косинуса, что и ламбертовский излучатель. Это значит, что хотя яркость поверхности и зависит от угла от нормали к источнику освещения, она не будет зависеть от угла от нормали к наблюдателю. Например, если бы Луна была ламбертовским рассеивателем, можно было бы ожидать, что ее рассеянная яркость заметно уменьшится по направлению к терминатору из-за увеличения угла, под которым солнечный свет падает на поверхность. Тот факт, что он не уменьшается, показывает, что Луна не является ламбертовским рассеивателем и на самом деле имеет тенденцию рассеивать больше света в косые углы, чем ламбертовский рассеиватель.

Излучение ламбертовского излучателя зависит не от количества падающего излучения, а от излучения, возникающего в самом излучающем теле. Например, если бы Солнце было ламбертовским излучателем, можно было бы ожидать увидеть постоянную яркость по всему солнечному диску. Тот факт, что Солнце демонстрирует затемнение по краю в видимой области, показывает, что это не ламбертовский излучатель. Черное тело является примером ламбертовского радиатора.

Детали эффекта равной яркости

Ситуация для ламбертовой поверхности (излучающей или рассеивающей) проиллюстрирована на рисунках 1 и 2. Для концептуальной ясности мы будем мыслить в терминах фотонов, а не энергии или энергии света . Каждый из клиньев в круге представляет собой равный угол d Ω произвольно выбранного размера, а для ламбертовой поверхности количество фотонов в секунду, излучаемых в каждый клин, пропорционально площади клина.

Длина каждого клина равна произведению диаметра круга и cos( θ ). Максимальная скорость испускания фотонов на единицу телесного угла находится вдоль нормали и уменьшается до нуля при θ = 90°. Математически говоря, яркость излучения по нормали равна I фотонов/(с·м ²·ср), а число фотонов, испускаемых в вертикальный клин в секунду, равно I d Ω dA . Число фотонов, излучаемых в клин под углом θ, равно I cos( θ ) d Ω dA .

Рисунок 2 представляет то, что видит наблюдатель. Наблюдатель, находящийся непосредственно над элементом площади, будет видеть сцену через апертуру площадью dA ₀ , а элемент площади dA будет образовывать (сплошной) угол d Ω ₀ , который является частью общего углового поля зрения наблюдателя. сцены. Поскольку размер клина d Ω был выбран произвольно, для удобства можно без ограничения общности считать, что он совпадает с телесным углом, образуемым апертурой, если «смотреть» из места расположения элемента излучающей площади dA. Таким образом, обычный наблюдатель будет регистрировать то же излучение фотонов I d Ω dA в секунду, полученное выше, и будет измерять яркость излучения

I_{0}={\frac {I\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,dA_{0}}}

фотонов/(с·м ²·ср).

Наблюдатель, находящийся под углом θ к нормали, будет видеть сцену через ту же апертуру площади dA ₀ (все еще соответствующую клину d Ω), и с этой наклонной точки зрения элемент площади dA укорачивается и образует (сплошной) угол d Ω ₀ cos( θ ). Этот наблюдатель будет регистрировать фотонов I cos( θ ) d Ω dA в секунду и, таким образом, будет измерять яркость излучения

I_{0}={\frac {I\cos(\theta )\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,\cos(\theta )\,dA_{0}}}={\frac {I\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,dA_{0}}}

фотонов/(с·м ²·ср),

что то же самое, что и обычный наблюдатель.

Связь пиковой силы света и светового потока

Как правило, сила света точки на поверхности зависит от направления; для ламбертовой поверхности это распределение определяется законом косинуса с максимальной силой света в нормальном направлении. Таким образом, когда предположение Ламберта справедливо, мы можем рассчитать полный световой поток , $F_{\text{tot}}$ , от пиковой силы света , $I_{\max }$ , интегрируя закон косинуса: ${\begin{aligned}F_{\text{tot}}&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi /2}\cos(\theta )\,I_{\max }\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi \\&=2\pi \cdot I_{\max }\int _{0}^{\pi /2}\cos(\theta )\sin(\theta )\,d\theta \\&=2\pi \cdot I_{\max }\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin(2\theta )}{2}}\,d\theta \end{aligned}}$ и так

F_{\text{tot}}=\pi \,\mathrm {sr} \cdot I_{\max }

где $\sin(\theta )$ является определителем матрицы Якоби для единичной сферы , и понимая, что $I_{\max }$ световой поток на стерадиан . ^{[ 5 ]} Аналогично, пиковая интенсивность будет $1/(\pi \,\mathrm {sr} )$ общего излучаемого светового потока. Для ламбертовых поверхностей тот же коэффициент $\pi \,\mathrm {sr}$ связывает яркость с коэффициентом излучения света , интенсивность излучения с лучистым потоком и яркость с коэффициентом излучения . ^{[ нужна ссылка ]} Радианы и стерадианы, конечно, безразмерны, поэтому «рад» и «ср» включены только для ясности.

Пример: поверхность с яркостью, скажем, 100 кд/м. ² (= 100 нит, типичный монитор ПК) будет, если это идеальный излучатель Ламберта, иметь светосилу 100π лм/м. ². Если его площадь 0,1 м ² (монитор размером ~19 дюймов), тогда общий излучаемый свет, или световой поток, составит 31,4 лм.

См. также

Ссылки

^ Справочник RCA по электрооптике, стр. 18 и далее.
^ Современная оптическая инженерия, Уоррен Дж. Смит, McGraw-Hill, стр. 228, 256
^ Педротти и Педротти (1993). Введение в оптику . Прентис Холл . ISBN 0135015456 .
^ Ламберт, Иоганн Генрих (1760). Фотометрия, или измерение и степень света, цвета и тени . Эберхард Клетт.
^ Incropera и ДеВитт, Основы тепломассообмена , 5-е изд., стр.710.

[RCAEOH-1] Справочник RCA по электрооптике, стр. 18 и далее.

[SmithW-2] Современная оптическая инженерия, Уоррен Дж. Смит, McGraw-Hill, стр. 228, 256

[3] Педротти и Педротти (1993). Введение в оптику . Прентис Холл . ISBN 0135015456 .

[4] Ламберт, Иоганн Генрих (1760). Фотометрия, или измерение и степень света, цвета и тени . Эберхард Клетт.

[5] Incropera и ДеВитт, Основы тепломассообмена , 5-е изд., стр.710.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]