Потемнение конечностей

Отфильтрованное . изображение Солнца в видимом свете, показывающее эффект затемнения края как более тусклое свечение по направлению к краю или краю солнечного диска Изображение было сделано во время прохождения Венеры в 2012 году (на снимке это темное пятно вверху справа).

Потемнение лимба — это оптический эффект, наблюдаемый у звезд (включая Солнце ) и планет, при котором центральная часть диска кажется ярче, чем край или лимб . Его понимание дало ранним астрономам Солнца возможность построить модели с такими градиентами. Это способствовало развитию теории переноса излучения .

Основная теория

Идеализированный случай потемнения конечностей. Внешняя граница — это радиус, при котором фотоны, испускаемые звездой, больше не поглощаются. L — расстояние, для которого оптическая толща равна единице. Высокотемпературные фотоны, испускаемые точкой А, едва ускользнут от звезды, как и низкотемпературные фотоны, излучаемые точкой В. Масштаб рисунка не соблюден. Например, для L Солнца будет составлять всего несколько сотен км.

Оптическая глубина , мера непрозрачности объекта или части объекта, в сочетании с эффективными градиентами температуры внутри звезды приводит к затемнению конечностей. Видимый свет примерно равен интегралу всего излучения вдоль луча зрения, модулированного оптической глубиной зрителя (т.е. 1/e, умноженного на излучение при 1 оптической глубине, 1/e ² раз эмиссию на 2 оптических глубинах и т. д.). Вблизи центра звезды оптическая глубина фактически бесконечна, что обеспечивает примерно постоянную яркость. Однако эффективная оптическая глубина уменьшается с увеличением радиуса из-за более низкой плотности газа и более короткого расстояния прямой видимости через звезду, что приводит к постепенному затемнению, пока оно не станет равным нулю на видимом крае звезды.

Эффективная температура фотосферы также уменьшается с удалением от центра звезды. Излучение, испускаемое газом, представляет собой примерно излучение черного тела , интенсивность которого пропорциональна четвертой степени температуры. Следовательно, даже в направлениях прямой видимости, где оптическая глубина фактически бесконечна, излучаемая энергия исходит из более холодных частей фотосферы, в результате чего до зрителя доходит меньше общей энергии.

Температура в атмосфере звезды не всегда снижается с увеличением высоты. Для некоторых спектральных линий оптическая толща наибольшая в областях повышения температуры. Вместо этого в этом сценарии наблюдается явление «просветления конечностей». На Солнце существование области минимума температуры означает, что яркость конечностей должна начать доминировать в дальнем инфракрасном или радиодиапазоне . Над нижними слоями атмосферы и значительно выше области температурного минимума Солнце окружено температурой в миллион кельвинов солнечной короной .Для большинства длин волн эта область является оптически тонкой, т. е. имеет небольшую оптическую толщину, и, следовательно, ее необходимо просветлить по краю, если она сферически симметрична.

Расчет затемнения конечности

Геометрия затемнения конечностей. Звезда имеет центр О радиус R. и Наблюдатель находится в точке P на расстоянии r от центра звезды и смотрит на точку S на поверхности звезды. С точки зрения наблюдателя, S находится под углом θ от линии, проходящей через центр звезды, а край или край звезды находится под углом Ω.

На рисунке, показанном здесь, пока наблюдатель в точке P находится вне звездной атмосферы, интенсивность, видимая в направлении θ, будет функцией только угла падения ψ . Это удобнее всего аппроксимировать полиномом от cos ψ : $${\frac {I(\psi )}{I(0)}}=\sum _{k=0}^{N}a_{k}\cos ^{k}\psi ,$$где I ( ψ ) — интенсивность, видимая в точке P вдоль луча зрения, образующего угол ψ по отношению к радиусу звезды, а I (0) — центральная интенсивность. Для того чтобы отношение было равно единице при ψ = 0 , мы должны иметь $$\sum _{k=0}^{N}a_{k}=1.$$

Например, для ламбертовского радиатора (без затемнения кромок) у нас будут все a _k = 0, кроме a ₁ = 1 . Другой пример: для Солнца при длине волны 550 нанометров (5,5 × 10 ⁻⁷ м) затемнение конечности хорошо выражено по N = 2 и $${\begin{aligned}a_{0}&=1-a_{1}-a_{2}=0.3,\\a_{1}&=0.93,\\a_{2}&=-0.23\end{aligned}}$$

Уравнение потемнения конечностей иногда удобнее записать как $${\frac {I(\psi )}{I(0)}}=1+\sum _{k=1}^{N}A_{k}(1-\cos \psi )^{k},$$который теперь имеет N независимых коэффициентов, а не N + 1 коэффициентов, сумма которых должна быть равна единице.

Константы a _k могут быть связаны с Ak _{константами} . Для N = 2 , $${\begin{aligned}A_{1}&=-(a_{1}+2a_{2}),\\A_{2}&=a_{2}.\end{aligned}}$$

Тогда для Солнца на длине волны 550 нм мы имеем $${\begin{aligned}A_{1}&=-0.47,\\A_{2}&=-0.23.\end{aligned}}$$

Эта модель дает интенсивность на краю диска Солнца только 30% от интенсивности в центре диска.

Мы можем преобразовать эти формулы в функции от θ, используя замену $$\cos \psi ={\frac {\sqrt {\cos ^{2}\theta -\cos ^{2}\Omega }}{\sin \Omega }}={\sqrt {1-\left({\frac {\sin \theta }{\sin \Omega }}\right)^{2}}},$$где Ω — угол от наблюдателя до края звезды. Для малых θ имеем $$\cos \psi \approx {\sqrt {1-\left({\frac {\theta }{\sin \Omega }}\right)^{2}}}.$$

Мы видим, что производная cos ψ бесконечна на краю.

Приведенное выше приближение можно использовать для получения аналитического выражения для отношения средней интенсивности к центральной интенсивности. Средняя интенсивность I _m представляет собой интеграл интенсивности по диску звезды, деленный на телесный угол, образуемый диском: $$I_{m}={\frac {\int I(\psi )\,d\omega }{\int d\omega }},$$

где dω = sin θ dθ dφ — элемент телесного угла, а интегралы даны по кругу: 0 ≤ φ ≤ 2 π и 0 ≤ θ ≤ Ω . Мы можем переписать это как $$I_{m}={\frac {\int _{\cos \Omega }^{1}I(\psi )\,d\cos \theta }{\int _{\cos \Omega }^{1}d\cos \theta }}={\frac {\int _{\cos \Omega }^{1}I(\psi )\,d\cos \theta }{1-\cos \Omega }}.$$

Хотя это уравнение можно решить аналитически, оно довольно громоздко. Однако для наблюдателя, находящегося на бесконечном расстоянии от звезды, $d\cos \theta$ можно заменить на $\sin ^{2}\Omega \cos \psi \,d\cos \psi$, поэтому у нас есть $$I_{m}={\frac {\int _{0}^{1}I(\psi )\cos \psi \,d\cos \psi }{\int _{0}^{1}\cos \psi \,d\cos \psi }}=2\int _{0}^{1}I(\psi )\cos \psi \,d\cos \psi ,$$что дает $${\frac {I_{m}}{I(0)}}=2\sum _{k=0}^{N}{\frac {a_{k}}{k+2}}.$$

Для Солнца на длине волны 550 нм это говорит о том, что средняя интенсивность составляет 80,5% от интенсивности в центре.

Ссылки

• Биллингс, Дональд Э. (1966). Путеводитель по солнечной короне . Академик Пресс, Нью-Йорк.
• Милн, Э.А. (1921). «Радиационное равновесие во внешних слоях звезды: распределение температуры и закон затемнения» . МНРАС . 81 (5): 361–375. Бибкод : 1921МНРАС..81..361М . doi : 10.1093/mnras/81.5.361 — через Zenodo.
• Миннарт, М. (1930). «О непрерывном спектре короны и ее поляризации» . Zeitschrift für Astrophysik . 1 : 209. Бибкод : 1930ZA......1..209M – через NASA/ADS.
• Неккель, Х.; Лабс, Д. (1994). «Потемнение солнечного лимба 1986-1990» . Солнечная физика . 153 (1–2): 91–114. Бибкод : 1994SoPh..153...91N . дои : 10.1007/BF00712494 . S2CID   119704650 – через NASA/ADS.
• ван де Хюльст; ХК (1950). «Электронная плотность солнечной короны». Бюллетень астрономических институтов Нидерландов . 11 (410): 135. Бибкод : 1950БАН....11..135В .
• Маришка, Джон (1993). Солнечная переходная область . Издательство Кембриджского университета, Кембридж. ISBN  0521382610 .
• Штайнер, О. (2007). «Фотосферные процессы и трубки магнитного потока». Материалы конференции AIP . 919 : 74–121. arXiv : 0709.0081 . Бибкод : 2007AIPC..919...74S . дои : 10.1063/1.2756784 . S2CID   16932214 .