Теорема о дивергенции

«Теорема Гаусса» перенаправляется сюда. Теорему об электрическом поле см. в законе Гаусса .

«Теорема Остроградского» перенаправляется сюда. Теорему о линейной нестабильности гамильтониана, связанного с лагранжианом, зависящим от более высоких производных по времени, чем первая, см. Неустойчивость Остроградского .

В векторном исчислении теорема о дивергенции , также известная как теорема Гаусса или теорема Остроградского , — теорема, связывающая поток векторного поля через замкнутую поверхность с дивергенцией поля в замкнутом объеме.

Точнее, теорема о дивергенции утверждает, что поверхностный интеграл векторного поля по замкнутой поверхности, который называется «потоком» через поверхность, равен объемному интегралу от дивергенции по области, ограниченной поверхностью. Интуитивно понятно, что «сумма всех источников поля в регионе (с стоками, рассматриваемыми как отрицательные источники) дает чистый поток из региона».

Теорема о расходимости — важный результат для математики физики и техники , особенно в электростатике и гидродинамике . В этих областях он обычно применяется в трех измерениях. Однако он распространяется на любое количество измерений. В одном измерении это эквивалентно фундаментальной теореме исчисления . В двух измерениях это эквивалентно теореме Грина .

Объяснение с использованием потока жидкости

Векторные поля часто иллюстрируются на примере поля скоростей жидкости , например газа или жидкости. Движущаяся жидкость имеет скорость — скорость и направление — в каждой точке, которую можно представить вектором , так что скорость жидкости в любой момент образует векторное поле. Рассмотрим воображаемую замкнутую поверхность S внутри тела жидкости, заключающую в себе объем жидкости. Поток поверхностному жидкости из объема в любой момент времени равен объемной скорости жидкости, пересекающей эту поверхность, т. е. интегралу скорости по поверхности.

Поскольку жидкости несжимаемы, количество жидкости внутри замкнутого объема постоянно; если внутри объема нет источников или стоков, то поток жидкости из S равен нулю. Если жидкость движется, она может втекать в объем в некоторых точках поверхности S и выходить из объема в других точках, но количества, втекающие и выходящие в любой момент, равны, поэтому чистый поток жидкости из объема громкость равна нулю.

Однако если источник жидкости находится внутри закрытой поверхности, например труба, через которую подается жидкость, дополнительная жидкость будет оказывать давление на окружающую жидкость, вызывая поток наружу во всех направлениях. вызовет чистый поток наружу через поверхность S. Это Поток наружу через S равен объемному расходу жидкости в S из трубы. имеется раковина Аналогичным образом, если внутри S или слив , например труба, отводящая жидкость, внешнее давление жидкости вызовет скорость в жидкости, направленную внутрь к месту слива. Объемная скорость потока жидкости внутрь через поверхность S равна скорости удаления жидкости стоком.

имеется несколько источников и стоков жидкости Если внутри S , поток через поверхность можно рассчитать путем сложения объемного расхода жидкости, добавляемого источниками, и вычитания скорости жидкости, стекаемой стоками. Объемная скорость течения жидкости через источник или сток (при этом расход через сток имеет отрицательный знак) равна дивергенции поля скоростей в устье трубы, поэтому складываем (интегрируем) дивергенцию жидкости по всему объему. объем, заключенный в , равен объемной скорости потока через S. S Это теорема о дивергенции.

Теорема о дивергенции используется в любом законе сохранения , который утверждает, что общий объем всех стоков и источников, то есть объемный интеграл от дивергенции, равен чистому потоку через границу объема.

Математическое утверждение

Область V, ограниченная поверхностью $S=\partial V$ с нормалью к поверхности n

Предположим, V является подмножеством что $\mathbb {R} ^{n}$ (в случае n = 3 V представляет собой объем в трехмерном пространстве ), который компактен и имеет кусочно- гладкую границу S (также обозначается знаком $\partial V=S$). Если F — непрерывно дифференцируемое векторное поле, определенное в , то окрестности V :

$\iiint \limits _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,\mathrm {d} V=$ $\scriptstyle S$ $(\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\,\mathrm {d} S.$

Левая часть представляет собой интеграл по объему V , а правая часть — это поверхностный интеграл по границе объема V. объемный Замкнутое измеримое множество $\partial V$ ориентирован нормалями , указывающими наружу , и не удалось проанализировать (SVG (MathML можно включить через плагин браузера): неверный ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/en. wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \mathbf{\hat{n}}} - это направленная наружу единица измерения, нормальная почти в каждой точке границы $\partial V$. ( $\mathrm {d} \mathbf {S}$ может использоваться как сокращение для $\mathbf {n} \mathrm {d} S$ выше, левая часть уравнения представляет собой общее количество источников в объеме V , а правая часть представляет собой общий поток через границу S. .) С точки зрения интуитивного описания, приведенного

Неофициальный вывод

Теорема о дивергенции следует из того, что если объем V разбить на отдельные части, то поток из исходного объема равен сумме потоков из каждого составного объема. Это верно, несмотря на то, что новые субобъемы имеют поверхности, которые не были частью поверхности исходного объема, поскольку эти поверхности являются просто перегородками между двумя субобъемами, и поток через них просто переходит из одного объема в другой и, таким образом, уравновешивается. когда поток из субобъемов суммируется.

Том разделен на два подтома. Справа два субобъема разделены, чтобы показать поток, исходящий от разных поверхностей.

См. диаграмму. Замкнутый ограниченный объем V разделен на два объема V ₁ и V ₂ поверхностью S ₃ (зеленого цвета) . Поток Φ( Vi _частей ) из каждой составляющей области Vi _равна равен сумме потока через две ее грани, поэтому сумма потока из двух

$\Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}+\Phi _{\text{31}}+\Phi _{\text{2}}+\Phi _{\text{32}}$

где Ф ₁ и Ф ₂ — поток из поверхностей S ₁ и S ₂ , Ф ₃₁ — поток через S ₃ из объема 1, Ф ₃₂ — поток через S ₃ из объема 2. Дело в том, что поверхность S ₃ является частью поверхности обоих объемов. Направление вектора нормали «наружу». $\mathbf {\hat {n}}$ противоположен для каждого объема, поэтому поток, выходящий из одного через S ₃ , равен отрицательному значению потока, выходящего из другого, поэтому эти два потока сокращаются в сумме.

$\Phi _{\text{31}}=\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=-\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot (-\mathbf {\hat {n}} )\;\mathrm {d} S=-\Phi _{\text{32}}$

Поэтому:

$\Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}+\Phi _{\text{2}}$

объединение S1 _S2 и поверхностей _есть S Поскольку

$\Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi (V)$

Объем можно разделить на любое количество субобъемов, и поток из V равен сумме потоков из каждого субобъема, поскольку поток через зеленые поверхности сокращается в сумме. На (b) тома показаны слегка разделенными, показывая, что каждая зеленая перегородка является частью границы двух соседних томов.

Этот принцип применим к объему, разделенному на любое количество частей, как показано на схеме. Поскольку интеграл по каждой внутренней перегородке (зеленые поверхности) появляется с противоположными знаками в потоке двух соседних объемов, они компенсируются, и единственным вкладом в поток является интеграл по внешним поверхностям (серый цвет) . Поскольку внешние поверхности всех составляющих объемов равны исходной поверхности.

$\Phi (V)=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\Phi (V_{\text{i}})$

Поскольку объем разделен на более мелкие части, отношение потока $\Phi (V_{\text{i}})$ из каждого тома в том $|V_{\text{i}}|$ подходы $\operatorname {div} \mathbf {F}$

Поток Φ из каждого объема представляет собой поверхностный интеграл векторного поля F ( x ) по поверхности

$\iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S$

Цель состоит в том, чтобы разделить исходный объем на бесконечное множество бесконечно малых объемов. Поскольку объем делится на все меньшие и меньшие части, поверхностный интеграл справа, поток из каждого субобъема, приближается к нулю, потому что площадь поверхности ( Vi ) _{приближается} S к нулю. Однако, исходя из определения дивергенции , отношения потока к объему, ${\frac {\Phi (V_{\text{i}})}{|V_{\text{i}}|}}={\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S$, часть в скобках ниже, вообще говоря, не обращается в нуль, а приближается к дивергенции div F по мере приближения объема к нулю.

$\iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\left({\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S\right)|V_{\text{i}}|$

Пока векторное поле F ( x ) имеет непрерывные производные, приведенная выше сумма сохраняется даже в пределе , когда объем разделен на бесконечно малые приращения.

$\iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\lim _{|V_{\text{i}}|\to 0}\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\left({\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S\right)|V_{\text{i}}|$

Как $|V_{\text{i}}|$ приближается к нулевому объему, он становится бесконечно малым dV , часть в скобках становится дивергенцией, а сумма становится объемным интегралом по V

$\;\iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\iiint _{V}\operatorname {div} \mathbf {F} \;\mathrm {d} V\;$

Поскольку этот вывод является бескоординатным, он показывает, что расходимость не зависит от используемых координат.

Доказательства

Для ограниченных открытых подмножеств евклидова пространства

Мы собираемся доказать следующее:

Теорема — Пусть $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ быть открытым и ограниченным $C^{1}$ граница. Если $u$ является $C^{1}$ в открытом районе $O$ из ${\overline {\Omega }}$, то есть, $u\in C^{1}(O)$, то для каждого $i\in \{1,\dots ,n\}$, $$\int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu _{i}\,dS,$$где $\nu :\partial \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ - вектор направленной наружу единичной нормали к $\partial \Omega$.Эквивалентно, $$\int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu \,dS.$$

Доказательство теоремы. (1) Первым шагом является сведение к случаю, когда $u\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$. Выбирать $\phi \in C_{c}^{\infty }(O)$ такой, что $\phi =1$ на ${\overline {\Omega }}$. Обратите внимание, что $\phi u\in C_{c}^{1}(O)\subset C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ и $\phi u=u$ на ${\overline {\Omega }}$. Следовательно, достаточно доказать теорему для $\phi u$. Следовательно, мы можем предположить, что $u\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$.

(2) Пусть $x_{0}\in \partial \Omega$ быть произвольным. Предположение, что ${\overline {\Omega }}$ имеет $C^{1}$ граница означает, что существует открытая окрестность $U$ из $x_{0}$ в $\mathbb {R} ^{n}$ такой, что $\partial \Omega \cap U$ это график $C^{1}$ функция с $\Omega \cap U$ лежащий по одну сторону этого графика. Точнее, это означает, что после перевода и вращения $\Omega$, есть $r>0$ и $h>0$ и $C^{1}$ функция $g:\mathbb {R} ^{n-1}\to \mathbb {R}$, такой, что с обозначением $$x'=(x_{1},\dots ,x_{n-1}),$$он утверждает, что $$U=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x'|<r{\text{ and }}|x_{n}-g(x')|<h\}$$и для $x\in U$, $${\begin{aligned}x_{n}=g(x')&\implies x\in \partial \Omega ,\\-h<x_{n}-g(x')<0&\implies x\in \Omega ,\\0<x_{n}-g(x')<h&\implies x\notin \Omega .\\\end{aligned}}$$С $\partial \Omega$ компактен, мы можем покрыть $\partial \Omega$ с конечным числом окрестностей $U_{1},\dots ,U_{N}$ вышеуказанной формы. Обратите внимание, что $\{\Omega ,U_{1},\dots ,U_{N}\}$ представляет собой открытую крышку ${\overline {\Omega }}=\Omega \cup \partial \Omega$. С помощью $C^{\infty }$ разбиения единицы, подчиненного этому накрытию, достаточно доказать теорему в случае, когда либо $u$ имеет компактную поддержку в $\Omega$ или $u$ имеет компактную поддержку в некоторых $U_{j}$. Если $u$ имеет компактную поддержку в $\Omega$, то для всех $i\in \{1,\dots ,n\}$, $\int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u_{x_{i}}\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{\infty }u_{x_{i}}(x)\,dx_{i}\,dx'=0$ по фундаментальной теореме исчисления и $\int _{\partial \Omega }u\nu _{i}\,dS=0$ с $u$ исчезает в окрестности $\partial \Omega$. Таким образом, теорема справедлива для $u$ с компактной поддержкой в $\Omega$. Таким образом, мы свелись к случаю, когда $u$ имеет компактную поддержку в некоторых $U_{j}$.

(3) Итак, предположим $u$ имеет компактную поддержку в некоторых $U_{j}$. Последний шаг теперь — доказать, что теорема верна, путем прямых вычислений. Измените обозначение на $U=U_{j}$и введем обозначения из (2), используемые для описания $U$. Обратите внимание: это означает, что мы повернули и перевели $\Omega$. Это допустимая редукция, поскольку теорема инвариантна относительно вращений и сдвигов координат. С $u(x)=0$ для $|x'|\geq r$ и для $|x_{n}-g(x')|\geq h$, у нас есть для каждого $i\in \{1,\dots ,n\}$ что $${\begin{aligned}\int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV&=\int _{|x'|<r}\int _{g(x')-h}^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'.\end{aligned}}$$Для $i=n$ мы имеем по основной теореме исчисления, что $$\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{n}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',g(x'))\,dx'.$$Теперь исправьте $i\in \{1,\dots ,n-1\}$. Обратите внимание, что $$\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}u_{x_{i}}(x',g(x')+s)\,ds\,dx'$$Определять $v:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ к $v(x',s)=u(x',g(x')+s)$. По правилу цепочки, $$v_{x_{i}}(x',s)=u_{x_{i}}(x',g(x')+s)+u_{x_{n}}(x',g(x')+s)g_{x_{i}}(x').$$Но поскольку $v$ имеет компактную поддержку, мы можем интегрировать $dx_{i}$ первым, кто это сделал $$\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}v_{x_{i}}(x',s)\,ds\,dx'=0.$$Таким образом $${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}u_{x_{i}}(x',g(x')+s)\,ds\,dx'&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}-u_{x_{n}}(x',g(x')+s)g_{x_{i}}(x')\,ds\,dx'\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}-u(x',g(x'))g_{x_{i}}(x')\,dx'.\end{aligned}}$$Подводя итог, с $\nabla u=(u_{x_{1}},\dots ,u_{x_{n}})$ у нас есть $$\int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}\nabla u\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',g(x'))(-\nabla g(x'),1)\,dx'.$$Напомним, что внешняя единица, нормальная к графу $\Gamma$ из $g$ в какой-то момент $(x',g(x'))\in \Gamma$ является $\nu (x',g(x'))={\frac {1}{\sqrt {1+|\nabla g(x')|^{2}}}}(-\nabla g(x'),1)$ и что поверхностный элемент $dS$ дается $dS={\sqrt {1+|\nabla g(x')|^{2}}}\,dx'$. Таким образом $$\int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu \,dS.$$Это завершает доказательство.

Для компактных римановых многообразий с краем

Мы собираемся доказать следующее:

Теорема — Пусть ${\overline {\Omega }}$ быть $C^{2}$ компактное многообразие с краем с $C^{1}$ метрический тензор $g$. Позволять $\Omega$ обозначим внутреннюю часть многообразия ${\overline {\Omega }}$ и пусть $\partial \Omega$ обозначим границу многообразия ${\overline {\Omega }}$. Позволять $(\cdot ,\cdot )$ обозначать $L^{2}({\overline {\Omega }})$ внутренние продукты функций и $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ обозначают скалярные произведения векторов. Предполагать $u\in C^{1}({\overline {\Omega }},\mathbb {R} )$ и $X$ это $C^{1}$ векторное поле включено ${\overline {\Omega }}$. Затем $$(\operatorname {grad} u,X)=-(u,\operatorname {div} X)+\int _{\partial \Omega }u\langle X,N\rangle \,dS,$$где $N$ - направленный наружу единичный вектор нормали к $\partial \Omega$.

Доказательство теоремы. Мы используем соглашение Эйнштейна о суммировании. Используя разбиение единицы, мы можем предположить, что $u$ и $X$ иметь компактную поддержку в координатном патче $O\subset {\overline {\Omega }}$. Сначала рассмотрим случай, когда заплатка не пересекается с $\partial \Omega$. Затем $O$ идентифицируется с открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$ и интегрирование по частям не дает граничных условий: $${\begin{aligned}(\operatorname {grad} u,X)&=\int _{O}\langle \operatorname {grad} u,X\rangle {\sqrt {g}}\,dx\\&=\int _{O}\partial _{j}uX^{j}{\sqrt {g}}\,dx\\&=-\int _{O}u\partial _{j}({\sqrt {g}}X^{j})\,dx\\&=-\int _{O}u{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}({\sqrt {g}}X^{j}){\sqrt {g}}\,dx\\&=(u,-{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}({\sqrt {g}}X^{j}))\\&=(u,-\operatorname {div} X).\end{aligned}}$$В последнем равенстве мы использовали координатную формулу Восса-Вейля для дивергенции, хотя предыдущее тождество можно использовать для определения $-\operatorname {div}$ как формальное дополнение к $\operatorname {grad}$. Теперь предположим $O$ пересекает $\partial \Omega$. Затем $O$ отождествляется с открытым множеством в $\mathbb {R} _{+}^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}\geq 0\}$. Мы ноль расширяем $u$ и $X$ к $\mathbb {R} _{+}^{n}$ и проинтегрируем по частям, чтобы получить $${\begin{aligned}(\operatorname {grad} u,X)&=\int _{O}\langle \operatorname {grad} u,X\rangle {\sqrt {g}}\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} _{+}^{n}}\partial _{j}uX^{j}{\sqrt {g}}\,dx\\&=(u,-\operatorname {div} X)-\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',0)X^{n}(x',0){\sqrt {g(x',0)}}\,dx',\end{aligned}}$$где $dx'=dx_{1}\dots dx_{n-1}$.Вариантом теоремы о выпрямлении векторных полей можно выбрать $O$ так что ${\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ нормальный ли внутренний блок $-N$ в $\partial \Omega$. В этом случае ${\sqrt {g(x',0)}}\,dx'={\sqrt {g_{\partial \Omega }(x')}}\,dx'=dS$ это элемент объема на $\partial \Omega$ и приведенная выше формула гласит $$(\operatorname {grad} u,X)=(u,-\operatorname {div} X)+\int _{\partial \Omega }u\langle X,N\rangle \,dS.$$Это завершает доказательство.

Следствия

Заменяя F в теореме о дивергенции конкретными формами, можно получить и другие полезные тождества (ср. векторные тождества ).

• С $\mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} g$ для скалярной функции g и векторного поля F ,

$\iiint _{V}\left[\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right]\mathrm {d} V=$ $\scriptstyle S$ $g\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.$

Частным случаем этого является $\mathbf {F} =\nabla f$, и в этом случае теорема является основой тождеств Грина .

• С $\mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \times \mathbf {G}$ для двух векторных полей F и G , где $\times$ обозначает векторное произведение,

$\iiint _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right]\,\mathrm {d} V=$ $\scriptstyle S$ $(\mathbf {F} \times \mathbf {G} )\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.$

• С $\mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \cdot \mathbf {G}$ для двух векторных полей F и G , где $\cdot$ обозначает скалярное произведение ,

$\iiint _{V}\nabla \left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\left(\nabla \mathbf {G} \right)\cdot \mathbf {F} +\left(\nabla \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {G} \right]\,\mathrm {d} V=$ $\scriptstyle S$ $(\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} )\mathbf {n} \mathrm {d} S.$

• С $\mathbf {F} \rightarrow f\mathbf {c}$ для скалярной функции   f   и векторного поля c :

$\iiint _{V}\mathbf {c} \cdot \nabla f\,\mathrm {d} V=$ $\scriptstyle S$ $(\mathbf {c} f)\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S-\iiint _{V}f(\nabla \cdot \mathbf {c} )\,\mathrm {d} V.$

Последнее слагаемое справа исчезает при постоянном $\mathbf {c}$ или любое бездивергентное (соленоидальное) векторное поле, например, несжимаемые потоки без источников или стоков, такие как фазовый переход или химические реакции и т. д. В частности, приняв $\mathbf {c}$ быть постоянным:

$\iiint _{V}\nabla f\,\mathrm {d} V=$ $\scriptstyle S$ $f\mathbf {n} \mathrm {d} S.$

• С $\mathbf {F} \rightarrow \mathbf {c} \times \mathbf {F}$ для векторного поля F и постоянного вектора c :

$\iiint _{V}\mathbf {c} \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=$ $\scriptstyle S$ $(\mathbf {F} \times \mathbf {c} )\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.$

Переупорядочивая тройное произведение в правой части и удаляя постоянный вектор интеграла,

$\iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V\cdot \mathbf {c} =$ $\scriptstyle S$ $(\mathrm {d} \mathbf {S} \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {c} .$

Следовательно,

$\iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=$ $\scriptstyle S$ $\mathbf {n} \times \mathbf {F} \mathrm {d} S.$

Пример

Векторное поле, соответствующее показанному примеру. Векторы могут указывать в сферу или за ее пределы.

Теорему о дивергенции можно использовать для расчета потока через замкнутую поверхность , которая полностью окружает объем, как и любая из поверхностей слева. Его нельзя напрямую использовать для расчета потока через поверхности с границами, как показано справа. (Поверхности синие, границы красные.)

Предположим, мы хотим оценить

$\scriptstyle S$ $\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,$

где S - единичная сфера , определяемая формулой

$S=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\},$

— F векторное поле

$\mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} .$

Непосредственное вычисление этого интеграла довольно сложно, но мы можем упростить вывод результата, используя теорему о расходимости, поскольку теорема о расходимости гласит, что интеграл равен:

$\iiint _{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}(1+y+z)\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}\mathrm {d} V+2\iiint _{W}y\,\mathrm {d} V+2\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V,$

где W — единичный шар :

$W=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}.$

Поскольку функция y положительна в одном полушарии W и отрицательна в другом, равным и противоположным образом, ее полный интеграл по W равен нулю. То же самое справедливо и для z :

$\iiint _{W}y\,\mathrm {d} V=\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V=0.$

Поэтому,

$\scriptstyle S$ $\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S=2\iiint _{W}\,dV={\frac {8\pi }{3}},$

потому что единичный шар W имеет объем ⁠ 4 π / 3 ⁠ .

Приложения

Дифференциальные и интегральные формы физических законов

В результате теоремы о дивергенции множество физических законов можно записать как в дифференциальной форме (где одна величина является дивергенцией другой), так и в интегральной форме (когда поток одной величины через замкнутую поверхность равен другой количество). Три примера — закон Гаусса (в электростатике ), закон Гаусса для магнетизма и закон Гаусса для гравитации .

Уравнения непрерывности

Основная статья: уравнение неразрывности

Уравнения непрерывности предлагают больше примеров законов как с дифференциальной, так и с интегральной формой, связанных друг с другом теоремой о дивергенции. В гидродинамике , электромагнетизме , квантовой механике , теории относительности и ряде других областей существуют уравнения непрерывности , описывающие сохранение массы, импульса, энергии, вероятности или других величин. В общем, эти уравнения утверждают, что дивергенция потока сохраняющейся величины равна распределению источников или стоков этой величины. Теорема о дивергенции утверждает, что любое такое уравнение неразрывности можно записать в дифференциальной форме (в терминах дивергенции) и интегральной форме (в терминах потока).

Законы обратных квадратов

Вместо этого любой закон обратных квадратов можно записать в форме закона Гаусса (с дифференциальной и интегральной формой, как описано выше). Двумя примерами являются закон Гаусса (в электростатике), который следует из закона обратных квадратов Кулона , и закон Гаусса для гравитации , который следует из закона обратных квадратов Ньютона всемирного тяготения . Вывод уравнения типа закона Гаусса из формулировки обратных квадратов или наоборот в обоих случаях совершенно одинаков; подробности см. в любой из этих статей.

История

Жозеф-Луи Лагранж ввел понятие поверхностных интегралов в 1760 году и снова в более общих терминах в 1811 году, во втором издании своей «Аналитической механики» . Лагранж использовал поверхностные интегралы в своей работе по механике жидкости. Он открыл теорему о дивергенции в 1762 году.

Карл Фридрих Гаусс также использовал поверхностные интегралы, работая над гравитационным притяжением эллиптического сфероида в 1813 году, когда он доказал частные случаи теоремы о дивергенции. Он доказал дополнительные частные случаи в 1833 и 1839 годах. Но именно Михаил Остроградский дал первое доказательство общей теоремы в 1826 году в рамках своего исследования теплового потока. Особые случаи были доказаны Джорджем Грином в 1828 году в «Очерке применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма» . Симеон Дени Пуассон в 1824 году в статье об упругости и Фредерик Саррю в 1828 году в своей работе о плавающих телах.

Работающие примеры

Пример 1

Для проверки плоского варианта теоремы о расходимости области $R$:

$R=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},$

и векторное поле:

$\mathbf {F} (x,y)=2y\mathbf {i} +5x\mathbf {j} .$

Граница $R$ - единичный круг, $C$, что можно параметрически представить как:

$x=\cos(s),\quad y=\sin(s)$

такой, что $0\leq s\leq 2\pi$ где $s$ единицы — длина дуги от точки $s=0$ в точку $P$ на $C$. Тогда векторное уравнение $C$ является

$C(s)=\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j} .$

В какой-то момент $P$ на $C$:

$P=(\cos(s),\,\sin(s))\,\Rightarrow \,\mathbf {F} =2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} .$

Поэтому,

${\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} s&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} )\cdot (\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j} )\,\mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\cos(s)+5\sin(s)\cos(s))\,\mathrm {d} s\\&=7\int _{0}^{2\pi }\sin(s)\cos(s)\,\mathrm {d} s\\&=0.\end{aligned}}$

Потому что $M={\mathfrak {Re}}(\mathbf {F} )=2y$, мы можем оценить ${\frac {\partial M}{\partial x}}=0$, и потому что $N={\mathfrak {Im}}(\mathbf {F} )=5x$, ${\frac {\partial N}{\partial y}}=0$. Таким образом

$\iint _{R}\,\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} A=\iint _{R}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}+{\frac {\partial N}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A=0.$

Пример 2

Допустим, мы хотели оценить поток следующего векторного поля, определяемого формулой $\mathbf {F} =2x^{2}{\textbf {i}}+2y^{2}{\textbf {j}}+2z^{2}{\textbf {k}}$ ограничена следующими неравенствами:

$\left\{0\leq x\leq 3\right\},\left\{-2\leq y\leq 2\right\},\left\{0\leq z\leq 2\pi \right\}$

По теореме о дивергенции

$\iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\mathrm {d} V=$ $\scriptstyle S$ $(\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,\mathrm {d} S.$

Теперь нам нужно определить расхождение ${\textbf {F}}$. Если $\mathbf {F}$ является трехмерным векторным полем, то дивергенция ${\textbf {F}}$ дается ${\textstyle \nabla \cdot {\textbf {F}}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\textbf {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\textbf {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\textbf {k}}\right)\cdot {\textbf {F}}}$.

Таким образом, мы можем составить следующий интеграл потока $I=$ ${\scriptstyle S}$ $\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,$следующее:

${\begin{aligned}I&=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial \mathbf {F_{x}} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{y}} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{z}} }{\partial z}}\right)\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\end{aligned}}$

Теперь, когда мы установили интеграл, мы можем его вычислить.

${\begin{aligned}\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V&=\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(12y+12z+18)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }24(2z+3)\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=48\pi (2\pi +3)\end{aligned}}$

Обобщения

Несколько измерений

Можно использовать обобщенную теорему Стокса, чтобы приравнять n -мерный объемный интеграл дивергенции векторного поля F над областью U к ( n - 1) -мерному поверхностному интегралу F по границе U :

$\underbrace {\int \cdots \int _{U}} _{n}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\underbrace {\oint _{}\cdots \oint _{\partial U}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S$

Это уравнение также известно как теорема о дивергенции.

Когда n = 2 , это эквивалентно теореме Грина .

Когда n = 1 , это сводится к фундаментальной теореме исчисления , часть 2.

Тензорные поля

Основная статья: Тензорное поле

Записываем теорему в обозначениях Эйнштейна :

$\iiint _{V}{\dfrac {\partial \mathbf {F} _{i}}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} V=$ $\scriptstyle S$ $\mathbf {F} _{i}n_{i}\,\mathrm {d} S$

предположительно, заменив векторное поле F ранга n на тензорное поле T , это можно обобщить до:

$\iiint _{V}{\dfrac {\partial T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}}{\partial x_{i_{q}}}}\mathrm {d} V=$ $\scriptstyle S$ $T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}n_{i_{q}}\,\mathrm {d} S.$

где с каждой стороны происходит сжатие тензора хотя бы для одного индекса. Эта форма теоремы все еще существует в 3d, каждый индекс принимает значения 1, 2 и 3. Ее можно еще обобщить на более высокие (или низкие) измерения (например, на 4-мерное пространство-время в общей теории относительности). ).

См. также

• Теорема Кельвина – Стокса

Внешние ссылки

• «Формула Остроградского» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Дифференциальные операторы и теорема о дивергенции на MathPages
• Теорема о дивергенции (Гаусса) Ника Быкова, Демонстрационный проект Wolfram .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о дивергенции» . Математический мир . – Эта статья изначально была основана на статье GFDL из PlanetMath по адресу https://web.archive.org/web/20021029094728/http://planetmath.org/encyclepedia/Divergence.html.