Остроградская нестабильность

В прикладной математике неустойчивость Остроградского является особенностью некоторых решений теорий, имеющих уравнения движения с более чем двумя производными по времени (теории со старшими производными). Это подсказывает теорема Михаила Остроградского из классической механики, согласно которой невырожденный лагранжиан, зависящий от производных по времени, больших первой, соответствует гамильтониану неограниченному снизу . Как обычно, гамильтониан связывается с лагранжианом посредством преобразования Лежандра . Неустойчивость Остроградского была предложена как объяснение того, почему никакие дифференциальные уравнения более высокого порядка, чем два, не описывают физические явления. Однако теорема Остроградского не означает, что все решения теорий высших производных неустойчивы, поскольку известно множество контрпримеров.

Схема доказательства

Основные положения доказательства можно прояснить, если рассмотреть одномерную систему с лагранжианом $L(q,{\dot {q}},{\ddot {q}})$. Уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид

${\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}+{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\frac {\partial L}{\partial {\ddot {q}}}}=0.$

Невырожденность $L$ означает, что канонические координаты могут быть выражены через производные ${q}$ и наоборот. Таким образом, $\partial L/\partial {\ddot {q}}$ является функцией ${\ddot {q}}$ (если бы это было не так, то якобиан $\det[\partial ^{2}L/(\partial {{\ddot {q}}_{i}}\,\partial {\ddot {q}}_{j})]$ исчезнет, ​​а это будет означать, что $L$ вырождено), что означает, что мы можем написать $q^{(4)}=F(q,{\dot {q}},{\ddot {q}},q^{(3)})$ или, инвертируя, $q=G(t,q_{0},{\dot {q}}_{0},{\ddot {q}}_{0},q_{0}^{(3)})$. С момента эволюции $q$ зависит от четырех начальных параметров, это означает, что существует четыре канонических координаты. Мы можем записать их как

$Q_{1}:=q$

$Q_{2}:={\dot {q}}$

и используя определение сопряженного импульса,

$P_{1}:={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\ddot {q}}}}$

$P_{2}:={\frac {\partial L}{\partial {\ddot {q}}}}$

Вышеописанные результаты можно получить следующим образом. Сначала мы перепишем лагранжиан в «обычную» форму, введя множитель Лагранжа в качестве новой динамической переменной. $\lambda$

$L(q,{\dot {q}},{\ddot {q}})\to {\tilde {L}}=L(Q_{1},{\dot {Q_{1}}},{\dot {Q_{2}}})-\lambda (Q_{2}-{\dot {Q_{1}}})$,

откуда следуют уравнения Эйлера-Лагранжа для $Q_{1},Q_{2},\lambda$ читать

$Q_{1}:{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}+{\dot {\lambda }}-{\frac {\partial L}{\partial Q_{1}}}=0$,

$Q_{2}:{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}+{\lambda }=0$,

$\lambda :Q_{2}-{\dot {Q_{1}}}=0$,

Теперь канонический импульс $P_{1},P_{2}$ относительно ${\tilde {L}}$ легко показать, что они

$P_{1}={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}+\lambda ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}$

$P_{2}={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}={\frac {\partial {L}}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}$

пока

$P_{\lambda }=0$

Именно такие определения дал выше Остроградский.Можно пойти дальше и оценить гамильтониан

${\tilde {H}}=P_{1}{\dot {Q_{1}}}+P_{2}{\dot {Q_{2}}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}-{\tilde {L}}=P_{1}Q_{2}+P_{2}{\dot {Q_{2}}}-{L}$,

где для второго равенства используются приведенные выше уравнения Эйлера-Лагранжа.Заметим, что в силу невырожденности можно написать ${\ddot {q}}={\dot {Q_{2}}}$ как $a(Q_{1},Q_{2},P_{2})$. Здесь только три необходимы аргумента, поскольку сам лагранжиан имеет только три свободных параметра. Следовательно, последнее выражение зависит только от $P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}$, он эффективно служит гамильтонианом исходной теории, а именно:

$H=P_{1}Q_{2}+P_{2}a(Q_{1},Q_{2},P_{2})-L(Q_{1},Q_{2},P_{2})$.

Заметим теперь, что гамильтониан линеен по $P_{1}$. Это источник неустойчивости Остроградского, связанный с тем, что лагранжиан зависит от меньшего числа координат, чем имеется канонических координат (которые соответствуют начальным параметрам, необходимым для постановки задачи). Распространение на системы более высоких размерностей аналогично, а расширение на высшие производные просто означает, что фазовое пространство имеет даже более высокую размерность, чем конфигурационное пространство.