Отношения векторной алгебры

См. Также: Тождества векторного исчисления.

Ниже приведены важные тождества векторной алгебры . Тождества, которые включают только величину вектора $\|\mathbf {A} \|$ и скалярное произведение (скалярное произведение) двух векторов A · B применимо к векторам в любом измерении, в то время как тождества, использующие векторное произведение (векторное произведение) A × B, применяются только в трех измерениях, поскольку векторное произведение определяется только там. . Большинство этих отношений можно отнести к основателю векторного исчисления Джозайе Уилларду Гиббсу , если не раньше.

Величины

Величину вектора A можно выразить с помощью скалярного произведения:

$\|\mathbf {A} \|^{2}=\mathbf {A\cdot A}$

В трехмерном евклидовом пространстве величина вектора определяется по его трем компонентам с помощью теоремы Пифагора :

$\|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}$

Неравенства

• Шварца Неравенство Коши – : $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \leq \left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|$
• треугольника Неравенство : $\|\mathbf {A+B} \|\leq \|\mathbf {A} \|+\|\mathbf {B} \|$
• Неравенство обратного треугольника : $\|\mathbf {A-B} \|\geq {\Bigl |}\|\mathbf {A} \|-\|\mathbf {B} \|{\Bigr |}$

Углы

Векторное произведение и скалярное произведение двух векторов определяют угол между ними, скажем, θ :

$\sin \theta ={\frac {\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \|}{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )$

Чтобы удовлетворить правилу правой руки , для положительного θ вектор B движется против часовой стрелки от A , а для отрицательного θ — по часовой стрелке.

$\cos \theta ={\frac {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )$

Тогда пифагорейское тригонометрическое тождество обеспечивает:

$\left\|\mathbf {A\times B} \right\|^{2}+(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}=\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}$

Если вектор A = ( A _x , A _y , A _z ) образует углы α , β , γ с ортогональным набором осей x , y и z , то:

$\cos \alpha ={\frac {A_{x}}{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}}={\frac {A_{x}}{\|\mathbf {A} \|}}\ ,$

и аналогично для углов β, γ. Следовательно:

$\mathbf {A} =\left\|\mathbf {A} \right\|\left(\cos \alpha \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \beta \ {\hat {\mathbf {j} }}+\cos \gamma \ {\hat {\mathbf {k} }}\right),$

с ${\hat {\mathbf {i} }},\ {\hat {\mathbf {j} }},\ {\hat {\mathbf {k} }}$ единичные векторы вдоль направлений оси.

Площади и объемы

Площадь Σ параллелограмма со сторонами A и B, содержащими угол θ, равна:

$\Sigma =AB\sin \theta ,$

которую будем понимать как величину векторного произведения векторов А и В, лежащих вдоль сторон параллелограмма. То есть:

$\Sigma =\left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|={\sqrt {\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}-\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}}\ .$

(Если A , B — двумерные векторы, это равно определителю матрицы 2 × 2 со строками A , B. ) Квадрат этого выражения равен:

$\Sigma ^{2}=(\mathbf {A\cdot A} )(\mathbf {B\cdot B} )-(\mathbf {A\cdot B} )(\mathbf {B\cdot A} )=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )\ ,$

где Γ( A , B ) — определитель Грама A и B , определяемый формулой:

$\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} \end{vmatrix}}\ .$

Аналогичным образом квадрат объема V параллелепипеда , натянутого на три вектора A , B , C, определяется определителем Грама трех векторов:

$V^{2}=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} ,\ \mathbf {C} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} &\mathbf {A\cdot C} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} &\mathbf {B\cdot C} \\\mathbf {C\cdot A} &\mathbf {C\cdot B} &\mathbf {C\cdot C} \end{vmatrix}}\ ,$

Поскольку A , B, C — трехмерные векторы, это равно квадрату скалярного тройного произведения $\det[\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ]=|\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} |$ ниже.

Этот процесс можно распространить на n -мерностей.

Сложение и умножение векторов

• Коммутативность сложения: $\mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A}$.
• Коммутативность скалярного произведения: $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A}$.
• Антикоммутативность векторного произведения: $\mathbf {A} \times \mathbf {B} =\mathbf {-} (\mathbf {B} \times \mathbf {A} )$.
• Распределение умножения на скаляр над сложением: $c(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=c\mathbf {A} +c\mathbf {B}$.
• Распределение скалярного произведения по сложению: $\left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)\cdot \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {C}$.
• Распределение векторного произведения по сложению: $(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \times \mathbf {C} +\mathbf {B} \times \mathbf {C}$.
• Скалярное тройное произведение : $$\mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |={\begin{vmatrix}A_{x}&B_{x}&C_{x}\\A_{y}&B_{y}&C_{y}\\A_{z}&B_{z}&C_{z}\end{vmatrix}}.$$
• Тройное векторное произведение : $\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )\mathbf {B} -(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C}$.
• Личность Якоби : $$\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {0} .$$
• Личность Лагранжа : $|\mathbf {A} \times \mathbf {B} |^{2}=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}$.

Четверной продукт

В математике четверное произведение — это произведение четырех векторов в трехмерном евклидовом пространстве . Название «четверной продукт» используется для двух разных продуктов: скалярное четверное произведение и векторное четверное произведение или векторное произведение четырех векторов .

Скалярное четверное произведение

Скалярное четверное произведение определяется как скалярное произведение двух векторных произведений :

$(\mathbf {a\times b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\ ,$

где a, b, c, d — векторы в трехмерном евклидовом пространстве. Его можно оценить с помощью тождества Бине-Коши :

$(\mathbf {a\times b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a\cdot c} )(\mathbf {b\cdot d} )-(\mathbf {a\cdot d} )(\mathbf {b\cdot c} )\ .$

или используя определитель :

$(\mathbf {a\times b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )={\begin{vmatrix}\mathbf {a\cdot c} &\mathbf {a\cdot d} \\\mathbf {b\cdot c} &\mathbf {b\cdot d} \end{vmatrix}}\ .$

Векторное четырехкратное произведение

Векторное четырехкратное произведение определяется как векторное произведение двух векторных произведений:

$(\mathbf {a\times b} )\mathbf {\times } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\ ,$

где a, b, c, d — векторы в трехмерном евклидовом пространстве. Его можно оценить с помощью тождества:

$(\mathbf {a\times b} )\mathbf {\times } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=[\mathbf {a,\ b,\ d} ]\mathbf {c} -[\mathbf {a,\ b,\ c} ]\mathbf {d} \ ,$

используя обозначение тройного произведения :

$[\mathbf {a,\ b,\ c} ]=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\ .$

Эквивалентные формы можно получить, используя тождество:

$[\mathbf {b,\ c,\ d} ]\mathbf {a} -[\mathbf {c,\ d,\ a} ]\mathbf {b} +[\mathbf {d,\ a,\ b} ]\mathbf {c} -[\mathbf {a,\ b,\ c} ]\mathbf {d} =0\ .$

Это тождество также можно записать с использованием тензорной записи и соглашения Эйнштейна о суммировании следующим образом:

$(\mathbf {a\times b} )\mathbf {\times } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=\varepsilon _{ijk}a^{i}c^{j}d^{k}b^{l}-\varepsilon _{ijk}b^{i}c^{j}d^{k}a^{l}=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}d^{k}c^{l}-\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}d^{l}$

где εijk _. — -Чивита символ Леви

Родственные отношения:

• Следствие предыдущего уравнения: $$|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |\,\mathbf {D} =(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} )\left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {C} \times \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {C} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right).$$
• В трех измерениях вектор D можно выразить через базисные векторы { A , B , C } как: $$\mathbf {D} \ =\ {\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {A} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {B} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {C} .$$

Приложения

Эти соотношения полезны для вывода различных формул сферической и евклидовой геометрии. Например, если на единичной сфере выбраны четыре точки A, B, C, D и единичные векторы, проведенные из центра сферы к четырем точкам a, b, c, d соответственно, тождество:

$(\mathbf {a\times b} )\mathbf {\cdot } (\mathbf {c\times d} )=(\mathbf {a\cdot c} )(\mathbf {b\cdot d} )-(\mathbf {a\cdot d} )(\mathbf {b\cdot c} )\ ,$

в сочетании с соотношением для величины векторного произведения:

$\|\mathbf {a\times b} \|=ab\sin \theta _{ab}\ ,$

и скалярное произведение:

$\mathbf {a\cdot b} =ab\cos \theta _{ab}\ ,$

где a = b = 1 для единичной сферы, приводит к идентичности углов, приписываемых Гауссу:

$\sin \theta _{ab}\sin \theta _{cd}\cos x=\cos \theta _{ac}\cos \theta _{bd}-\cos \theta _{ad}\cos \theta _{bc}\ ,$

где x — угол между a × b и c × d или, что то же самое, между плоскостями, определяемыми этими векторами.

См. также

• Векторное пространство
• Геометрическая алгебра

Дальнейшее чтение

• Гиббс, Джозайя Уиллард; Уилсон, Эдвин Бидвелл (1901). Векторный анализ: Учебник для студентов-математиков . Скрибнер.