Тождество Бине – Коши

В алгебре тождество Бине -Коши , названное в честь Жака Филиппа Мари Бине и Огюстена-Луи Коши , утверждает, что $$\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})$$ для каждого выбора действительных или комплексных чисел (или, в более общем смысле, элементов коммутативного кольца ). Полагая a _i = c _i и b _j = d _j , это дает тождество Лагранжа , которое является более сильной версией неравенства Коши – Шварца для евклидова пространства. ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$. Тождество Бине-Коши является частным случаем формулы Коши-Бине для определителей матрицы.

Тождество Бине–Коши и внешняя алгебра

Когда n = 3 , первый и второй члены в правой части становятся квадратами величин скалярного и векторного произведения соответственно; в n измерениях они становятся величинами скалярного и клинового произведений . Мы можем написать это $$(a\cdot c)(b\cdot d)=(a\cdot d)(b\cdot c)+(a\wedge b)\cdot (c\wedge d)$$ где a , b , c и d — векторы. Это также можно записать в виде формулы, дающей скалярное произведение двух клиновых произведений, как $$(a\wedge b)\cdot (c\wedge d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)\,,$$ который можно записать как $$(a\times b)\cdot (c\times d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)$$ в случае n = 3 .

В частном случае a = c и b = d формула дает $$|a\wedge b|^{2}=|a|^{2}|b|^{2}-|a\cdot b|^{2}.$$

Когда и a, и b являются единичными векторами, мы получаем обычное соотношение $$\sin ^{2}\phi =1-\cos ^{2}\phi$$ где φ — угол между векторами.

Это частный случай внутреннего произведения на внешней алгебре векторного пространства, которое определяется на клиноразложимых элементах как определитель Грама их компонентов.

Обозначение Эйнштейна

Связь между символами Леви – Чевиты и обобщенной дельтой Кронекера такова. $${\frac {1}{k!}}\varepsilon ^{\lambda _{1}\cdots \lambda _{k}\mu _{k+1}\cdots \mu _{n}}\varepsilon _{\lambda _{1}\cdots \lambda _{k}\nu _{k+1}\cdots \nu _{n}}=\delta _{\nu _{k+1}\cdots \nu _{n}}^{\mu _{k+1}\cdots \mu _{n}}\,.$$

The $(a\wedge b)\cdot (c\wedge d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)$ форму тождества Бине–Коши можно записать как $${\frac {1}{(n-2)!}}\left(\varepsilon ^{\mu _{1}\cdots \mu _{n-2}\alpha \beta }~a_{\alpha }~b_{\beta }\right)\left(\varepsilon _{\mu _{1}\cdots \mu _{n-2}\gamma \delta }~c^{\gamma }~d^{\delta }\right)=\delta _{\gamma \delta }^{\alpha \beta }~a_{\alpha }~b_{\beta }~c^{\gamma }~d^{\delta }\,.$$

Доказательство

Раскрывая последний член, $${\begin{aligned}&\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})\\={}&{}\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{i}d_{i}-\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_{j}b_{i}c_{i})-\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}\end{aligned}}$$ где второй и четвертый члены одинаковы и искусственно добавлены для получения следующих сумм: $$=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}.$$

Это завершает доказательство после исключения членов, индексированных i .

Обобщение

Общая форма, также известная как формула Коши – Бине , гласит следующее: Предположим, что A — размера m × n матрица , а B — матрица размера n × m . Если S — подмножество {1, ..., n } с m элементами, мы пишем A _S для матрицы m × m , столбцы которой являются теми столбцами A , которые имеют индексы из S . Аналогично мы пишем BS _, для матрицы размера m × m которой строки являются строками матрицы B имеющими индексы из S. , Тогда определитель матричного произведения A B и тождеству удовлетворяет $$\det(AB)=\sum _{S\subset \{1,\ldots ,n\} \atop |S|=m}\det(A_{S})\det(B_{S}),$$ где сумма распространяется на все возможные подмножества S из {1, ..., n } с m элементами.

Мы получаем исходную идентичность как особый случай, установив $$A={\begin{pmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\\b_{1}&\dots &b_{n}\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}c_{1}&d_{1}\\\vdots &\vdots \\c_{n}&d_{n}\end{pmatrix}}.$$

Ссылки

• Эйткен, Александр Крейг (1944), Определители и матрицы , Оливер и Бойд
• Харвилл, Дэвид А. (2008), Матричная алгебра с точки зрения статистики , Springer