Звездный многоугольник
 {5/2} |  |5/2| |
| Правильный звездчатый пятиугольник {5/2} имеет пять вершин (его угловые вершины) и пять пересекающихся ребер, а вогнутый десятиугольник |5/2| имеет десять ребер и два набора по пять вершин. Первый используется в определениях звездчатых многогранников и звездчатых однородных мозаик , а второй иногда используется в плоских мозаиках. | |
 Малый звездчатый додекаэдр |  Тесселяция |
В геометрии звездчатый многоугольник — это разновидность невыпуклого многоугольника . Правильные звездчатые многоугольники глубоко изучены; хотя звездчатые многоугольники, как правило, не были формально определены, некоторые примечательные из них могут возникнуть в результате операций усечения обычных простых или звездчатых многоугольников.
Бранко Грюнбаум определил два основных варианта использования этой терминологии Иоганном Кеплером : один соответствует правильным звездчатым многоугольникам с пересекающимися краями , которые не создают новых вершин, а другой — изотоксальным вогнутым простым многоугольникам . [1]
Полиграммы включают в себя многоугольники, такие как пентаграмма , а также составные фигуры, такие как гексаграмма .
Одно из определений звездчатого многоугольника , используемое в черепашьей графике , — это многоугольник, имеющий q ≥ 2 поворотов ( q называется числом поворотов или плотностью ), как в спиролатералах . [2]
Имена
[ редактировать ]Имена звездчатых многоугольников сочетают в себе цифровой префикс , например пента- , с греческим суффиксом -грамма (в данном случае образующим слово пентаграмма ). Префиксом обычно является греческий кардинал , но существуют синонимы, использующие другие префиксы. Например, девятиконечный многоугольник или эннеаграмма также известна как нонаграмма , используя порядковый номер нона от латинского языка . [ нужна ссылка ] Суффикс -gram происходит от γραμμή ( grammḗ ), что означает линию. [3] Название « звездный многоугольник» отражает сходство этих форм с дифракционными пиками реальных звезд.
Правильный звездчатый многоугольник
[ редактировать ] {5/2} |  {7/2} |  {7/3} | ... |
Правильный звездчатый многоугольник — это самопересекающийся равносторонний и равноугольный многоугольник .
Правильный звездчатый многоугольник обозначается символом Шлефли { p / q }, где p (количество вершин) и q ( плотность ) относительно простые (у них нет общих множителей) и где q ≥ 2. Плотность многоугольника также можно назвать его числом поворота : суммой углов поворота всех вершин, деленной на 360°.
Группа симметрии { p / q } — это группа диэдра Dp , порядка 2 p независимая от q .
Правильные звездные многоугольники впервые систематически изучались Томасом Брэдуордином , а затем Иоганном Кеплером . [4]
Построение через вершинное соединение
[ редактировать ]Правильные звездчатые многоугольники можно создать, соединив одну вершину правильного p -стороннего простого многоугольника с другой вершиной, несмежной с первой, и продолжая процесс до тех пор, пока исходная вершина не будет достигнута снова. [5] Альтернативно, для целых чисел p и q его можно рассматривать как построенное путем соединения каждой q -й точки из p точек, регулярно расположенных в круговом расположении. [6] Например, в правильном пятиугольнике пятиконечную звезду можно получить, проведя линию от 1-й к 3-й вершине, от 3-й к 5-й вершине, от 5-й к 2-й вершине, от 2-й к 4-й вершине. вершину, и с 4-й по 1-ю вершину.
Если q ≥ p /2, то построение { p / q } приведет к тому же многоугольнику, что и { p /( p − q )}; соединение каждой третьей вершины пятиугольника даст тот же результат, что и соединение каждой второй вершины. Однако вершины будут достигнуты в противоположном направлении, что имеет значение, когда ретроградные многоугольники включаются в многогранники более высокой размерности. Например, антипризма, образованная из прямой пентаграммы {5/2}, приводит к пентаграммной антипризме ; аналогичная конструкция из ретроградной «перекрещенной пентаграммы» {5/3} приводит к пентаграммной скрещенной антипризме . Другим примером является тетрагемигексаэдр , который можно рассматривать как «скрещенный треугольник» {3/2} куплоида .
Вырожденные правильные звездчатые многоугольники
[ редактировать ]Если p и q не являются взаимно простыми, получится вырожденный многоугольник с совпадающими вершинами и ребрами. Например, {6/2} будет выглядеть как треугольник, но его можно будет пометить двумя наборами вершин: 1–3 и 4–6. Его следует рассматривать не как два перекрывающихся треугольника, а как одинарный уникурсальный шестиугольник с двойной обмоткой. [7] [8]
Строительство через звездчатку
[ редактировать ]В качестве альтернативы правильный звездчатый многоугольник также может быть получен как последовательность звездочек выпуклого правильного многоугольника с сердцевиной . Конструкции на основе звездчатости также позволяют получать правильные многоугольные соединения в тех случаях, когда плотность q и количество p вершин не являются взаимно простыми. Однако при построении звездчатых многоугольников из звездчатости, если q > p /2, линии вместо этого будут бесконечно расходиться, а если q = p /2, линии будут параллельны, причем оба не приводят к дальнейшему пересечению в евклидовом пространстве. Однако возможно построить несколько таких многоугольников в сферическом пространстве, аналогично моногону и дигону ; такие многоугольники, по-видимому, еще не изучены подробно.
Простые многоугольники изотоксальной звезды
[ редактировать ]Когда пересекающиеся отрезки линий удаляются из правильного звездчатого n -угольника, полученная фигура перестает быть правильной, а может рассматриваться как изотоксальный вогнутый простой 2 n- угольник с чередующимися вершинами двух разных радиусов. Бранко Грюнбаум в книге «Мозаика и узоры » представляет такую звезду, которая соответствует контуру регулярной полиграммы { n / d } как | n / d |, или, в более общем смысле, { n 𝛼 }, который обозначает изотоксальный вогнутый или выпуклый простой 2 n -угольник с внешним внутренним углом 𝛼.
- Для | n / d |, внешний внутренний угол 𝛼 = 180(1 − 2 d / n ) градусов обязательно, а внутренние (новые) вершины имеют внешний угол β ext = 180[1 − 2( d − 1)/ n ] градусов, обязательно.
- Для { n 𝛼 } внешний внутренний и внутренний внешний углы, также обозначаемые 𝛼 и β ext , не обязательно должны совпадать с углами любой правильной полиграммы { n / d }; однако 𝛼 < 180(1 - 2/ n ) градусов и β ext < 180° обязательно (здесь { n 𝛼 } вогнуто). [1]
| | н / д | { п 𝛼 } | |9/4| {9 20° } | {3 30° } | {6 30° } | |5/2| {5 36° } | {4 45° } | |8/3| {8 45° } | |6/2| {6 60° } | {5 72° } |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 𝛼 | 20° | 30° | 36° | 45° | 60° | 72° | ||
| б доб. | 60° | 150° | 90° | 108° | 135° | 90° | 120° | 144° |
| изотоксал простой n- заостренный звезда |  |  |  |  |  |  |  |  |
| Связанный обычный полиграмма { н / д } |  {9/4} |  {12/5} |  {5/2} |  {8/3} |  2{3} Звездная фигура |  {10/3} | ||
Примеры в мозаике
[ редактировать ]Эти многоугольники часто встречаются в узорах мозаики. Параметрический угол 𝛼 (в градусах или радианах) можно выбрать так, чтобы он соответствовал внутренним углам соседних многоугольников в шаблоне тесселяции. В своей работе 1619 года «Harmonices Mundi» среди периодических мозаик Иоганн Кеплер включает непериодические мозаики, например, с тремя правильными пятиугольниками и одним правильным звездчатым пятиугольником, расположенными вокруг определенных вершин, 5.5.5.5/2, и относящиеся к современным мозаикам Пенроуза . [9]
| Изотоксаль простой n- конечные звезды | «Треугольные» звезды ( п = 3) | «Квадратные» звезды ( п = 4) | «Шестиугольные» звезды ( п = 6) | «Восьмиугольные» звезды ( п = 8) | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Изображение плитки |  |  |  |  |  |  |
| Конфигурация вершины. | 3.3 * 𝛼 .3.3 ** 𝛼 | 8.4 * п/4 .8.4 * п/4 | 6.6 * п/3 .6.6 * п/3 | 3.6 * п/3 .6 ** п/3 | 3.6.6 * п/3 .6 | не от края до края |
Интерьеры
[ редактировать ]Внутреннюю часть звездчатого многоугольника можно рассматривать по-разному. Три таких лечения проиллюстрированы пентаграммой. Бранко Грюнбаум и Джеффри Шепард рассматривают два из них: как правильные звездчатые n -угольники и как изотоксальные вогнутые простые 2 n -угольники. [9]
Эти три метода лечения:
- При возникновении сегмента одна сторона считается внешней, а другая — внутренней. Это показано на рисунке слева и обычно встречается при рендеринге компьютерной векторной графики .
- Количество раз, которое полигональная кривая обвивает данную область, определяет ее плотность . Внешнему объекту присвоена плотность 0, а любая область с плотностью > 0 считается внутренней. Это показано на центральной иллюстрации и часто встречается при математической обработке многогранников . (Однако для неориентируемых многогранников плотность можно рассматривать только по модулю 2, и, следовательно, в этих случаях для согласованности иногда вместо этого используется первый вариант.)
- Везде, где отрезок линии может быть проведен между двумя сторонами, область, в которой находится отрезок, рассматривается как внутри фигуры. Это показано на рисунке справа и обычно происходит при создании физической модели.
При вычислении площади многоугольника каждый из этих подходов дает разный результат.
В искусстве и культуре
[ редактировать ] | Этот раздел нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( Март 2024 г. ) |
Звездные многоугольники занимают видное место в искусстве и культуре. Такие многоугольники могут быть или не быть правильными , но они всегда очень симметричны . Примеры включают в себя:
- Пятиугольник звезды {5/2} ( пентаграмма культы считали его ) также известен как пентальфа или пятиугольник, и исторически многие магические и религиозные имеющим оккультное значение.
- Звездные многоугольники {7/2} и {7/3} ( гептаграммы ) также имеют оккультное значение, особенно в Каббале и Викке .
- Звездный многоугольник {8/3} ( октаграмма ) является частым геометрическим мотивом в Великих Моголов исламском искусстве и архитектуре ; первый находится на гербе Азербайджана .
- Одиннадцатиконечная звезда, называемая хендекаграммой, использовалась на могиле шаха Нематоллы Вали . [11]
 {8/3}, Октаграмма построенная в правильном восьмиугольнике. |  Печать Соломона с кружком и точками (фигура звезды) |
См. также
[ редактировать ]- Список правильных многогранников и соединений#Stars
- Пятиконечная звезда
- Волшебная звезда
- Моравская звезда
- Прекрасная пентаграмма
- Правильный звездчатый 4-многогранник
- Руб Хизб
- Звезда (символ)
- Звездный многогранник , многогранник Кеплера–Пуансо и однородный звездчатый многогранник
- морская звезда
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б Грюнбаум и Шепард (1987). Плитки и узоры. Раздел 2.5
- ^ Абельсон, Гарольд, диСесса, Андера, 1980, Геометрия черепахи , MIT Press, стр. 24
- ^ γραμμή , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее
- ^ Коксетер, Введение в геометрию, второе издание, 2.8 Звездные многоугольники , стр. 36–38.
- ^ Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1973). Правильные многогранники . Публикации Courier Dover. п. 93 . ISBN 978-0-486-61480-9 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Звездный полигон» . Математический мир .
- ^ Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Архивировано 3 августа 2016 г. в Wayback Machine , Бранко Грюнбаум.
- ^ Коксетер, Плотности правильных многогранников I, с. 43:
Если q нечетно, усечение { p / q } естественно равно {2 p / q }. Но если q четное, усечение { p / q } состоит из двух совпадающих { p /( q /2)}; два, потому что каждая сторона возникает один раз из исходной стороны и один раз из исходной вершины. Поскольку 2( q /2) = q , плотность многоугольника никогда не изменяется при усечении. - ^ Перейти обратно: а б Бранко Грюнбаум и Джеффри К. Шепард, Замощения правильными многоугольниками, журнал Mathematics № 50 (1977), стр. 227–247 и № 51 (1978), стр. 205–206.
- ^ Замощение правильными звездчатыми многоугольниками , Джозеф Майерс
- ^ Бруг, Эрик (27 мая 2008 г.). Исламские геометрические узоры . Лондон: Темза и Гудзон. стр. 183–185, 193. ISBN. 978-0-500-28721-7 .
- Кромвель, П.; Многогранники , ЧАШКА, Хбк. 1997, ISBN 0-521-66432-2 . Пбк. 1999, ISBN 0-521-66405-5 . п. 175
- Грюнбаум, Б. и Г.К. Шепард; Плитки и узоры , Нью-Йорк: WH Freeman & Co. (1987), ISBN 0-7167-1193-1 .
- Грюнбаум, Б .; Многогранники с полыми гранями, Материалы конференции НАТО-ASI по многогранникам ... и т. д. (Торонто, 1993) , изд. Т. Бистрицкий и др. , Kluwer Academic (1994), стр. 43–70.
- Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей , 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (глава 26, стр. 404: Правильные звездчатые многогранники, измерение 2)
- Бранко Грюнбаум , Метаморфозы многоугольников , опубликовано в журнале «Светлая сторона математики: материалы конференции памяти Эжена Стренса по рекреационной математике и ее истории» (1994).