Симметричное распределение вероятностей

В статистике симметричное распределение вероятностей — это распределение вероятностей (присвоение вероятностей возможным событиям), которое не меняется, когда его функция плотности вероятности (для непрерывного распределения вероятностей) или функция массы вероятности (для дискретных случайных величин) отражается вокруг вертикальной линии. при некотором значении случайной величины, представленной распределением. Эта вертикальная линия является линией симметрии распределения. Таким образом, вероятность оказаться на каком-либо заданном расстоянии по одну сторону от значения, относительно которого возникает симметрия, такая же, как вероятность оказаться на том же расстоянии по другую сторону от этого значения.

Формальное определение

Распределение вероятностей называется симметричным тогда и только тогда, когда существует значение $x_{0}$ такой, что

f(x_{0}-\delta )=f(x_{0}+\delta )

для всех действительных чисел

\delta ,

где f — функция плотности вероятности, если распределение непрерывное , или функция массы вероятности, если распределение дискретное .

Многомерные распределения

Степень симметрии в смысле зеркальной симметрии можно оценить количественно для многомерных распределений с киральным индексом, который принимает значения в интервале [0;1] и равен нулю тогда и только тогда, когда распределение зеркально симметрично. ^[1] Таким образом, распределение d-переменной считается зеркально симметричным, когда его киральный индекс равен нулю. Распределение может быть дискретным или непрерывным, существование плотности не требуется, но инерция должна быть конечной и ненулевой. В одномерном случае этот индекс был предложен как непараметрический критерий симметрии. ^[2]

Для непрерывной симметричной сферы Мир М. Али дал следующее определение. Позволять ${\mathcal {F}}$ обозначаем класс сферически-симметричных распределений абсолютно непрерывного типа в n-мерном евклидовом пространстве, имеющих совместную плотность вида $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=g(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2})$ внутри сферы с центром в начале координат и заданным радиусом, который может быть конечным или бесконечным и нулевым в других местах. ^[3]

Характеристики

Медиана ( если и среднее значение оно существует) симметричного распределения находятся в точке $x_{0}$ относительно которого возникает симметрия. ^[4]
Если симметричное распределение унимодальное , мода совпадает с медианой и средним значением.
Все нечетные центральные моменты симметричного распределения равны нулю (если они существуют), поскольку при вычислении таких моментов отрицательные члены, возникающие из-за отрицательных отклонений от $x_{0}$ точно уравновесить положительные члены, возникающие в результате равных положительных отклонений от $x_{0}$ .
Каждая мера асимметрии равна нулю для симметричного распределения.

Унимодальный случай

Неполный список примеров

Следующие распределения симметричны для всех параметризаций. (Многие другие распределения симметричны для конкретной параметризации.)


Имя	Распределение
Арксинусное распределение	$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}$ для 0 ≤ х ≤ 1 $f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}$ на (0,1)
Распределение Бейтса	$f_{X}(x;n)={\frac {n}{2(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(nx-k)^{n-1}\operatorname {sgn}(nx-k)$
Распределение Коши	$f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={1 \over \pi \gamma }\left[{\gamma ^{2} \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right],$
Распространение Чампернауна	$f(y;\alpha ,\lambda ,y_{0})={\frac {n}{\cosh[\alpha (y-y_{0})]+\lambda }},\qquad -\infty <y<\infty ,$
Непрерывное равномерное распределение	$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&\mathrm {for} \ a\leq x\leq b,\\[8pt]0&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b\end{cases}}$
Вырожденное распределение	$F_{k_{0}}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}x\geq k_{0}\\0,&{\mbox{if }}x<k_{0}\end{matrix}}\right.$
Дискретное равномерное распределение	$F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}$
Эллиптическое распределение	$f(x)=k\cdot g((x-\mu )'\Sigma ^{-1}(x-\mu ))$
Гауссово q-распределение	$s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{[2]_{q}}}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\0&{\mbox{if }}x>\nu .\end{cases}}$
Гиперболическое распределение с параметром асимметрии, равным нулю	${\frac {\gamma }{2\alpha \delta K_{1}(\delta \gamma )}}\;e^{-\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}+\beta (x-\mu )}$ $K_{\lambda }$ обозначает модифицированную функцию Бесселя второго рода
Обобщенное нормальное распределение	${\frac {\beta }{2\alpha \Gamma (1/\beta )}}\;e^{-(\|x-\mu \|/\alpha )^{\beta }}$ $\Gamma$ denotes the gamma function
Гиперболическое секансное распределение	$f(x)={\frac {1}{2}}\;\operatorname {sech} \!\left({\frac {\pi }{2}}\,x\right)\!,$
Распределение Лапласа	$f(x\mid \mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {\|x-\mu \|}{b}}\right)\,\!$ $={\frac {1}{2b}}\left\{{\begin{matrix}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\text{if }}x<\mu \\[8pt]\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\text{if }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.$
Распределение Ирвина-Холла	$f_{X}(x;n)={\frac {1}{2(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x-k)^{n-1}\operatorname {sgn}(x-k)$
Логистическое распределение	${\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{(e^{x/2}+e^{-x/2})^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).\end{aligned}}$
Нормальное распределение	$\varphi (x)={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}$
Нормально-экспоненциальное гамма-распределение	$f(x;\mu ,k,\theta )\propto \exp {\left({\frac {(x-\mu )^{2}}{4\theta ^{2}}}\right)}D_{-2k-1}\left({\frac {\|x-\mu \|}{\theta }}\right)$
Распределение Радемахера	$f(k)=\left\{{\begin{matrix}1/2&{\mbox{if }}k=-1,\\1/2&{\mbox{if }}k=+1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{matrix}}\right.$
Распределение повышенного косинуса	$f(x;\mu ,s)={\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\,$
Распределение студентов	$f(t)={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{\!-{\frac {\nu +1}{2}}},\!$
U-квадратичное распределение	$f(x\|a,b,\alpha ,\beta )=\alpha \left(x-\beta \right)^{2},\quad {\text{for }}x\in [a,b].$
Распределение Фойгта	$V(x;\sigma ,\gamma )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }G(x';\sigma )L(x-x';\gamma )\,dx',$
распределение фон Мизеса	$f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \cos(x-\mu )}}{2\pi I_{0}(\kappa )}}$
Распределение полукруга Вигнера	$f(x)={2 \over \pi R^{2}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}\,}}\,$

Ссылки

^ Петижан, М. (2002). «Хиральные смеси» (PDF) . Журнал математической физики . 43 (8): 4147–4157. дои : 10.1063/1.1484559 .
^ Петижан, М (2020). «Таблицы квантилей распределения эмпирического кирального индекса в случае единого закона и в случае нормального закона». arXiv : 2005.09960 [ stat.ME ].
^ Али, Мир М. (1980). «Характеристика нормального распределения среди непрерывного симметричного сферического класса». Журнал Королевского статистического общества. Серия Б (Методическая) . 42 (2): 162–164. дои : 10.1111/j.2517-6161.1980.tb01113.x . JSTOR 2984955 .
^ Деккинг, FM; Краайкамп, К.; Лопухаа, Х.П.; Мистер, Л.Е. (2005). Современное введение в вероятность и статистику: понимание почему и как . Спрингер-Верлаг Лондон. п. 68. ИСБН 978-1-84628-168-6 .

[1] Петижан, М. (2002). «Хиральные смеси» (PDF) . Журнал математической физики . 43 (8): 4147–4157. дои : 10.1063/1.1484559 .

[2] Петижан, М (2020). «Таблицы квантилей распределения эмпирического кирального индекса в случае единого закона и в случае нормального закона». arXiv : 2005.09960 [ stat.ME ].

[3] Али, Мир М. (1980). «Характеристика нормального распределения среди непрерывного симметричного сферического класса». Журнал Королевского статистического общества. Серия Б (Методическая) . 42 (2): 162–164. дои : 10.1111/j.2517-6161.1980.tb01113.x . JSTOR 2984955 .

[4] Деккинг, FM; Краайкамп, К.; Лопухаа, Х.П.; Мистер, Л.Е. (2005). Современное введение в вероятность и статистику: понимание почему и как . Спрингер-Верлаг Лондон. п. 68. ИСБН 978-1-84628-168-6 .

[1]

[2]

[3]

[4]