Симметричная игра

В теории игр симметричная игра — это игра, в которой выигрыш от использования конкретной стратегии зависит только от других используемых стратегий, а не от того, кто в них играет. Если можно изменить личности игроков, не меняя выигрыш стратегий, то игра является симметричной. Симметрия может быть разной. Ординально-симметричные игры — это игры, симметричные относительно порядковой структуры выигрышей. Игра количественно симметрична тогда и только тогда, когда она симметрична относительно точных выигрышей. Партнерская игра — это симметричная игра, в которой оба игрока получают одинаковые выигрыши для любого набора стратегий. То есть выигрыш от игры по стратегии А против стратегии Б получает тот же выигрыш, что и от игры по стратегии против стратегии А. Б

Симметрия в играх 2х2.

	И	Ф
И	а, а	б, в
Ф	в, б	д, д

Только 12 из 144 обычно различных игр 2x2 симметричны. Однако многие из широко изучаемых игр 2х2 как минимум порядково симметричны. Стандартные представления о курице , «Дилемме узника » и « Охоте на оленя» — все это симметричные игры. Формально, чтобы игра 2х2 была симметричной, ее выигрышная матрица должна соответствовать схеме, изображенной справа.

Требования к ординалистической симметрии игры более слабые: здесь достаточно, чтобы порядковый номер выигрышей соответствовал схеме справа.

Симметрия и равновесия

Нэш (1951) показывает, что каждая конечная симметричная игра имеет симметричное в смешанной стратегии равновесие Нэша . Ченг и др. (2004) показывают, что каждая симметричная игра с двумя стратегиями имеет (не обязательно симметричное) с чистой стратегией равновесие Нэша . Эммонс и др. (2022) показывают, что в каждой игре с общим выигрышем (также известной как командная игра) (то есть в каждой игре, в которой все игроки получают одинаковый выигрыш), каждый оптимальный профиль стратегии также является равновесием Нэша.

Некоррелированные асимметрии: нейтральные асимметрии выигрыша

Симметрии здесь относятся к симметрии выигрышей. Биологи часто называют асимметрию выигрышей между игроками в игре коррелированной асимметрией . Это контрастирует с некоррелированной асимметрией , которая носит чисто информационный характер и не влияет на выигрыши (например, см. игру «Ястреб-голубь» ).

Общий случай

Игра с выигрышем $U_{i}\colon A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}\longrightarrow \mathbb {R}$ для игрока $i$ , где $A_{i}$ игрок $i$ набор стратегии и $A_{1}=A_{2}=\ldots =A_{N}$ , считается симметричным, если для любой перестановки $\pi$ ,

U_{\pi (i)}(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{N})=U_{i}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (i)},\ldots ,a_{\pi (N)}).

^[1]

Партха Дасгупта и Эрик Маскин дают следующее определение, которое с тех пор повторяется в экономической литературе.

U_{i}(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{N})=U_{\pi (i)}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (i)},\ldots ,a_{\pi (N)}).

Однако это более сильное условие, которое подразумевает, что игра не только симметрична в указанном выше смысле, но и является игрой с общими интересами в том смысле, что выигрыши всех игроков одинаковы. ^[1]

Ссылки

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Хэм, Николас (18 ноября 2013 г.). «Понятия анонимности, справедливости и симметрии для игр конечной стратегической формы». arXiv : 1311.4766 [ math.CO ].

Ши-Фен Ченг, Дэниел М. Ривз, Евгений Воробейчик и Майкл П. Веллман. Заметки о равновесии в симметричных играх, Международная совместная конференция по автономным агентам и мультиагентным системам, 6-й семинар по теории игр и агентам теории принятия решений, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, август 2004 г. [1]
Симметричная игра на Gametheory.net
Дасгупта, Парта ; Маскин, Эрик (1986). «Существование равновесия в разрывных экономических играх, I: Теория». Обзор экономических исследований . 53 (1): 1–26. дои : 10.2307/2297588 . JSTOR 2297588 .
Нэш, Джон (сентябрь 1951 г.). «Некооперативные игры». Анналы математики . 2-й сер. 54 (2): 286–295. дои : 10.2307/1969529 . JSTOR 1969529 .
Эммонс, Скотт; Эстерхельд, Каспар; Критч, Эндрю; Конитцер, Винсент; Рассел, Стюарт (2022). «Симметрия, равновесие и устойчивость в играх с общими выигрышами» (PDF) . Материалы Международной конференции по машинному обучению (ICML) . ПМЛР 162 . Проверено 21 апреля 2024 г.

Дальнейшее чтение

Дэвид Робинсон; Дэвид Гофорт (2005). Топология игр 2х2: новая таблица Менделеева . Рутледж. ISBN 978-0-415-33609-3 .
Заметки о равновесии в симметричных играх

[Ham-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Хэм, Николас (18 ноября 2013 г.). «Понятия анонимности, справедливости и симметрии для игр конечной стратегической формы». arXiv : 1311.4766 [ math.CO ].

[1]

v т и Темы теории игр
Определения	Игра с пробками Кооперативная игра Определенность Эскалация обязательств Игра развернутой формы Победа первого и второго игрока Сложность игры Графическая игра Иерархия убеждений Информационный набор Игра в нормальной форме Предпочтение Последовательная игра Одновременная игра Выбор одновременного действия Решенная игра Краткая игра Конструкция механизма
Равновесие концепции	Байесовское коррелированное равновесие Байесовское равновесие Нэша Равновесие Бержа Основной Коррелированное равновесие Коалиционно-устойчивое равновесие Нэша Эпсилон-равновесие Эволюционно стабильная стратегия Равновесие Гиббса Устойчивое равновесие Мертенса Марковское совершенное равновесие Равновесие Нэша Парето-эффективность Идеальное байесовское равновесие Правильное равновесие Равновесие квантового ответа Практически идеальный баланс Доминирование риска Равновесие удовлетворенности Самоподтверждающееся равновесие Последовательное равновесие Значение Шепли Сильное равновесие Нэша Совершенство подигры Дрожащая рука, равновесие
Стратегии	Умиротворение Обратная индукция Затенение ставок Сговор Дешевый разговор Деэскалация Сдерживание Эскалация Прямая индукция Мрачный триггер Марковская стратегия Доминирующие стратегии Чистая стратегия Смешанная стратегия Аргумент о краже стратегии Око за око
Классы игр	Аукцион Проблема с переговорами Глобальная игра Непереходная игра Среднее поле игры n игроков игра для Идеальная информация Большая игра Пуассона Потенциальная игра Повторная игра Скрининговая игра Сигнальная игра Строго определенная игра Стохастическая игра Симметричная игра Игра с нулевой суммой
Игры	Идти шахматы Бесконечные шахматы Шашки Аукцион с полной оплатой Дилемма заключенного Игра-обмен подарками Необязательная дилемма заключенного Дилемма путешественника Координационная игра Курица игра многоножка Сигнальная игра Льюиса Дилемма волонтера Долларовый аукцион Битва полов Охота на оленя Соответствующие пенни Ультиматум игра Электронная почтовая игра Камень-ножницы-бумага Пиратская игра Диктатор игра Игра «Общественные блага» Блото игра Война на истощение Проблема с баром Эль-Фарол Ярмарочный отдел Ярмарка разрезания торта Бертран конкурс Конкурс Курно конкурс Штакельберга Тупик Дилемма закусочной Угадайте 2/3 от среднего Кун покер Торговая игра Нэша Индукционные головоломки Доверительная игра Игра Принцесса и монстр Проблема встречи
Теоремы	Теорема согласия Ауманна Народная теорема Теорема о минимаксе Nash's theorem Теорема Негамакса Теорема очистки Принцип откровения Теорема Спрэга – Гранди Теорема Цермело
Ключ цифры	Альберт В. Такер Амос Тверски Антуан Огюстен Курно Ариэль Рубинштейн Клод Шеннон Дэниел Канеман Дэвид К. Левин Дэвид М. Крепс Дональд Б. Гиллис Дрю Фуденберг Эрик Маскин Гарольд В. Кун Герберт Саймон Эрве Мулен Джон Конвей Жан Тироль Жан-Франсуа Мертенс Дженнифер Тур Чейес Джон Харсаньи Джон Мейнард Смит Джон Нэш Джон фон Нейман Кеннет Эрроу Кеннет Бинмор Леонид Гурвич Ллойд Шепли Мелвин Дрешер Меррилл М. Флуд Ольга Бондарева Оскар Моргенштерн Пол Милгром Пейтон Янг Райнхард Зельтен Роберт Аксельрод Роберт Ауманн Роберт Б. Уилсон Роджер Майерсон Сэмюэл Боулз Сюзанна Скотчмер Томас Шеллинг Уильям Викри
Разнообразный	Альфа-бета-обрезка Ограниченная рациональность Комбинаторная теория игр Анализ конфронтации сотрудничество Эволюционная теория игр Глоссарий теории игр Список теоретиков игр Список игр по теории игр Безвыходная ситуация Топологическая игра Трагедия общего пользования