оператор Лейбница

В абстрактной алгебраической логике , отрасли математической логики , оператор Лейбница — это инструмент, используемый для классификации дедуктивных систем , которые имеют точное техническое определение и охватывают большое количество логик. Оператор Лейбница был введен Вимом Блоком и Доном Пигоцци , двумя основателями этой области, как средство абстрагирования известного процесса Линденбаума-Тарского , который приводит к ассоциации булевых алгебр с классическим исчислением высказываний , и сделать его более широкому спектру логических предложений применимо к как можно . Это оператор, который присваивает данной теории данной логики предложений, воспринимаемой как алгебра терминов с операцией следования в ее вселенной, наибольшую конгруэнтность в алгебре, совместимую с теорией.

Формулировка

В этой статье мы вводим оператор Лейбница в частном случае классического исчисления высказываний, затем абстрагируем его до общего понятия, применяемого к произвольной логике предложений, и, наконец, резюмируем некоторые из наиболее важных следствий его использования в теории. абстрактной алгебраической логики.

Позволять

${\mathcal {S}}=\langle {\rm {Fm}},\vdash _{\mathcal {S}}\rangle$

обозначают классическое исчисление высказываний. Согласно классической Процесс Линденбаума – Тарского с учетом теории $T$ из ${\mathcal {S}}$,если $\equiv _{T}$обозначает бинарное отношение на множестве формул из ${\mathcal {S}}$, определяемый

$\phi \equiv _{T}\psi$ тогда и только тогда, когда $T\vdash _{\mathcal {S}}\phi \leftrightarrow \psi ,$

где $\leftrightarrow$ обозначает обычныйклассическая связка пропозициональной эквивалентности, то $\equiv _{T}$ оказывается соответствиепо формульной алгебре. Кроме того, частное ${\rm {Fm}}/{\equiv _{T}}$ является булевой алгебройи любая булева алгебра может быть составлена ​​таким образом.

Таким образом, многообразие булевых алгебр, т.е.В алгебраической логики терминологии эквивалентная алгебраическая семантика (алгебраический аналог)классического исчисления высказываний — это классвсе алгебры, образованные взятием соответствующих факторовтермальных алгебр этими особыми видамисравнения.

Обратите внимание, что условие

$T\vdash _{\mathcal {S}}\phi \leftrightarrow \psi$

что определяет $\phi \equiv _{T}\psi$ эквивалентно состояние

для каждой формулы $\chi$: $T\vdash _{\mathcal {S}}\phi \leftrightarrow \chi$ тогда и только тогда, когда $T\vdash _{\mathcal {S}}\psi \leftrightarrow \chi$.

Перейдем теперь к произвольной логике предложений.

${\mathcal {S}}=\langle {\rm {Fm}},\vdash _{\mathcal {S}}\rangle ,$

учитывая теорию $T$, связанное сравнение Лейбница, с $T$ являетсяобозначается $\Omega (T)$ и определяется для всех $\phi ,\psi \in {\rm {Fm}}$, к

$\phi \Omega (T)\psi$

тогда и только тогда, когда для каждой формулы $\alpha (x,{\vec {y}})$ содержащий переменную $x$и, возможно, другие переменные в списке ${\vec {y}}$,и все формулы ${\vec {\chi }}$ формируем список одинаковых длина как у ${\vec {y}}$, у нас это есть

$T\vdash _{\mathcal {S}}\alpha (\phi ,{\vec {\chi }})$ тогда и только тогда, когда $T\vdash _{\mathcal {S}}\alpha (\psi ,{\vec {\chi }})$.

Оказывается, это бинарное отношение является отношением конгруэнтности в алгебре формул и, фактически, альтернативно может быть охарактеризовано как наибольшая конгруэнтность в алгебре формул, совместимаяс теорией $T$в том смысле, что если $\phi \Omega (T)\psi$ и $T\vdash _{\mathcal {S}}\phi$, то мы также должны иметь $T\vdash _{\mathcal {S}}\psi$. Именно это сравнение играет ту же роль, что и сравнение, используемое в традиционном процессе Линденбаума-Тарского, описанном выше в контексте произвольной логики предложений.

Однако это не тот случай, когда для произвольных сентенциальных логик факторы термальных алгебр по этим сравнениям Лейбница по различным теориям дают все алгебры в классе, который образует естественный алгебраический аналог сентенциальной логики. Это явление происходит только в случае «хороших» логик, и одна из основных целей абстрактной алгебраической логики — сделать это смутное представление о «хорошей» логике в этом смысле математически точным.

Оператор Лейбница

$\Omega$

это оператор, который отображает теорию $T$ заданной логики Сравнение Лейбница

$\Omega (T),$

связанный с теорией. Таким образом, формально

$\Omega :\mathrm {Th} ({\mathcal {S}})\rightarrow {\rm {Con}}({\rm {Fm}})$

это отображение из коллекции

${\rm {Th}}({\mathcal {S}})$ теорий сентенциальной логики

${\mathcal {S}}$ в коллекцию

${\rm {Con}}({\rm {Fm}})$

всех сравнений на алгебре формул ${\rm {Fm}}$ сентенциальной логики.

Иерархия

Оператор Лейбница и изучение различных его свойств, которые могут удовлетворяться или не удовлетворяться для конкретных сентенциальных логик, привели к появлению того, что сейчас известно как абстрактная алгебраическая иерархия или иерархия Лейбница сентенциальных логик. Логики классифицируются на различных уровнях этой иерархии в зависимости от того, насколько сильна связь между логикой и ее алгебраическим аналогом.

Свойства оператора Лейбница, которые помогают классифицировать логики, — это монотонность, инъективность, непрерывность и коммутативность с обратными подстановками. Например, протоалгебраические логики, образующие самый широкий класс в иерархии, т. е. тот, который лежит в самом низу иерархии и содержит все остальные классы, характеризуются монотонностью оператора Лейбница в своих теориях.Другие известные классы образованы, среди прочего, эквивалентными логиками, слабо алгебраизуемыми логиками и алгебраизуемыми логиками.

Существует обобщение оператора Лейбница в контексте категориальной абстрактной алгебраической логики, которое позволяет применять широкий спектр методов, которые ранее были применимы только в рамках сентенциальной логики, к логикам, формализованным как $\pi$-учреждения . $\pi$-институционная структура значительно шире по объему, чем структура смысловой логики, поскольку она позволяет включать в язык несколько сигнатур и кванторов и обеспечивает механизм обработки логики, не основанной на синтаксисе.

Ссылки

• Д. Пигоцци (2001). «Абстрактная алгебраическая логика». В М. Хазевинкеле (ред.). Математическая энциклопедия: Приложение, том III . Спрингер. стр. 2–13. ISBN  1-4020-0198-3 .
• Фонт Дж. М., Янсана Р., Пигоцци Д. (2003), Обзор абстрактной алгебраической логики , Studia Logica 74: 13–79.
• Януш Челаковский (2001). Протоалгебраическая логика . Спрингер. ISBN  978-0-7923-6940-0 .

Внешние ссылки

• «Алгебраическая логика высказываний» Запись Рамона Джансаны в Стэнфордской энциклопедии философии.