Монадическая булева алгебра

В абстрактной алгебре монадическая булева алгебра — это алгебраическая структура A с сигнатурой

⟨·, +, ', 0, 1, ∃⟩ типа ⟨2,2,1,0,0,1⟩ ,

где ⟨ A , ·, +, ', 0, 1⟩ — булева алгебра .

Монадический запись для ∃ / унарный оператор ∃ обозначает квантор существования , удовлетворяющий тождествам (используя полученную префиксную ):

• ∃0 = 0
• ∃ х ≥ х
• ∃( Икс + у ) = ∃ Икс + ∃ у
• ∃ x ∃ y = ∃( x ∃ y ).

∃ x — замыкание x . экзистенциальное Двойственным к ∃ является унарный оператор ∀, квантор универсальности , определяемый как ∀ x := (∃ x ′ ) ′ .

Монадическая булева алгебра имеет двойственное определение и обозначение, которые принимают ∀ как примитивное, а ∃ как определенное, так что ∃ x := (∀ x ′ ) ′ . (Сравните это с определением двойственной булевой алгебры.) Следовательно, с этими обозначениями алгебра A имеет сигнатуру ⟨·, +, ', 0, 1, ∀⟩ , причем ⟨ A , ·, +, ', 0, 1⟩ булева алгебра, как и раньше. Более того, ∀ удовлетворяет следующей дуализированной версии приведенных выше тождеств:

1. ∀1 = 1
2. ∀ х ≤ х
3. ∀( ху ) знак равно ∀ Икс ∀ y
4. ∀ Икс + ∀ y знак равно ∀( Икс + ∀ y ) .

∀ x — замыкание x . универсальное

Обсуждение

Монадические булевы алгебры имеют важную связь с топологией . Если ∀ интерпретируется как внутренний оператор топологии, то (1)–(3) выше плюс аксиома ∀(∀ x ) = ∀ x составляют аксиомы внутренней алгебры . Но ∀(∀ x ) = ∀ x можно доказать из (1)–(4). Более того, альтернативная аксиоматизация монадических булевых алгебр состоит из (переинтерпретированных) аксиом внутренней алгебры плюс ∀(∀ x )' = (∀ x )' (Halmos 1962: 22). Следовательно, монадические булевы алгебры — это полупростые внутренние алгебры/ замыкания такие, что:

• Квантор универсальности (двойственный, экзистенциальный) интерпретирует внутренний оператор ( замыкания );
• Все открытые (или закрытые) элементы также являются clopen .

Более краткая аксиоматизация монадической булевой алгебры - это (1) и (2) выше, плюс ∀( x ∨∀ y ) = ∀ x ∨∀ y (Halmos 1962: 21). Эта аксиоматизация затемняет связь с топологией.

Монадические булевы алгебры образуют многообразие . они являются Для монадической логики предикатов тем же, чем булевы алгебры являются для логики высказываний и чем полиадические алгебры являются для логики первого порядка . Пол Халмос открыл монадические булевы алгебры, работая над полиадическими алгебрами; Халмос (1962) перепечатывает соответствующие статьи. Халмос и Гивант (1998) включают в себя студенческое исследование монадической булевой алгебры.

Монадические булевы алгебры также имеют важную связь с модальной логикой . Модальная логика S5 , рассматриваемая как теория в S4 , является моделью монадических булевых алгебр точно так же, как S4 является моделью внутренней алгебры. Аналогично, монадические булевы алгебры обеспечивают алгебраическую семантику для S5 . Следовательно, S5-алгебра является синонимом монадической булевой алгебры.

См. также

• Закрытый набор
• Цилиндрическая алгебра
• Внутренняя алгебра
• Аксиомы замыкания Куратовского
• Алгебра Лукасевича–Мойсила
• Модальная логика
• Монадическая логика

Ссылки

• Пол Халмос , 1962. Алгебраическая логика . Нью-Йорк: Челси.
• ------ и Стивен Гивант, 1998. Логика как алгебра . Математическая ассоциация Америки.