Некоммутативная топология

В математике топологическими некоммутативная топология — это термин, используемый для обозначения связи между и C *-алгебраическими понятиями. Термин берет свое начало из теоремы Гельфанда–Наймарка , из которой следует двойственность категории локально и компактных хаусдорфовых пространств категории коммутативных C*-алгебр. Некоммутативная топология связана с аналитической некоммутативной геометрией .

Примеры

Посылка, лежащая в основе некоммутативной топологии, состоит в том, что некоммутативную C*-алгебру можно рассматривать как алгебру комплекснозначных непрерывных функций в «некоммутативном пространстве», которое классически не существует. Некоторые топологические свойства могут быть сформулированы как свойства C*-алгебр без ссылки на коммутативность или лежащее в их основе пространство, и поэтому имеют немедленное обобщение.Среди них:

Отдельные элементы коммутативной С*-алгебры соответствуют непрерывным функциям. Итак, определенные типы функций могут соответствовать определенным свойствам С*-алгебры. Например, самосопряженные элементы коммутативной С*-алгебры соответствуют вещественным непрерывным функциям. Также проекции (т.е. самосопряженные идемпотенты ) соответствуют индикаторным функциям множеств открыто-замкнутых .

Категориальные конструкции приводят к некоторым примерам. Например, копроизведение пространств представляет собой непересекающееся объединение и, таким образом, соответствует прямой сумме алгебр , которая является произведением С*-алгебр. Точно так же топология произведения соответствует копроизведению C*-алгебр, тензорному произведению алгебр . В более специализированной обстановкекомпактификации топологий соответствуют унификациям алгебр. Таким образом, одноточечная компактификация соответствует минимальной унификации C*-алгебр, компактификация Стоуна-Чеха соответствует алгебре мультипликатора , а множества корон соответствуют алгебрам короны .

Существуют определенные примеры свойств, для которых возможны множественные обобщения, и неясно, какое из них предпочтительнее. Например, вероятностные меры могут соответствовать либо состояниям , либо следовым состояниям. Поскольку все государства бессмысленны Следовые состояния в коммутативном случае неясно, необходимо ли условие следа, чтобы быть полезным обобщением.

К-теория

Одним из важнейших примеров этой идеи является обобщение топологической К-теории на некоммутативные С*-алгебры в форме операторной К-теории .

Дальнейшим развитием является бивариантная версия К-теории, называемая КК-теорией , которая имеет композиционное произведение

$KK(A,B)\times KK(B,C)\rightarrow KK(A,C)$

которой является кольцевая частным случаем структуру категории . структура в обычной K-теории. Продукт придает КК Это было связано с соответствиями алгебраических многообразий . ^[1]

Ссылки

^ Конн, Ален ; Консани, Катерина ; Марколли, Матильда (2007), «Некоммутативная геометрия и мотивы: термодинамика эндомотивов», Advances in Mathematics , 214 (2): 761–831, arXiv : math.QA/0512138 , doi : 10.1016/j.aim.2007.03. 006 , МР 2349719

Эта , посвященная топологии, статья незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Конн, Ален ; Консани, Катерина ; Марколли, Матильда (2007), «Некоммутативная геометрия и мотивы: термодинамика эндомотивов», Advances in Mathematics , 214 (2): 761–831, arXiv : math.QA/0512138 , doi : 10.1016/j.aim.2007.03. 006 , МР 2349719

[1]

v т и Спектральная теория и ^*-алгебры
Basic concepts	Involution/-algebra Banach algebra B-algebra C-algebra Noncommutative topology Projection-valued measure Spectrum Spectrum of a C-algebra Spectral radius Operator space
Main results	Gelfand–Mazur theorem Gelfand–Naimark theorem Gelfand representation Polar decomposition Singular value decomposition Spectral theorem Spectral theory of normal C*-algebras
Special Elements/Operators	Isospectral Normal operator Hermitian/Self-adjoint operator Unitary operator Unit
Spectrum	Krein–Rutman theorem Normal eigenvalue Spectrum of a C*-algebra Spectral radius Spectral asymmetry Spectral gap
Decomposition	Decomposition of a spectrum Continuous Point Residual Approximate point Compression Direct integral Discrete Spectral abscissa
Spectral Theorem	Borel functional calculus Min-max theorem Positive operator-valued measure Projection-valued measure Riesz projector Rigged Hilbert space Spectral theorem Spectral theory of compact operators Spectral theory of normal C*-algebras
Special algebras	Amenable Banach algebra With an Approximate identity Banach function algebra Disk algebra Nuclear C*-algebra Uniform algebra Von Neumann algebra Tomita–Takesaki theory
Finite-Dimensional	Alon–Boppana bound Bauer–Fike theorem Numerical range Schur–Horn theorem
Generalizations	Dirac spectrum Essential spectrum Pseudospectrum Structure space (Shilov boundary)
Miscellaneous	Abstract index group Banach algebra cohomology Cohen–Hewitt factorization theorem Extensions of symmetric operators Fredholm theory Limiting absorption principle Schröder–Bernstein theorems for operator algebras Sherman–Takeda theorem Unbounded operator
Examples	Wiener algebra
Applications	Almost Mathieu operator Corona theorem Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue) Heat kernel Kuznetsov trace formula Lax pair Proto-value function Ramanujan graph Rayleigh–Faber–Krahn inequality Spectral geometry Spectral method Spectral theory of ordinary differential equations Sturm–Liouville theory Superstrong approximation Transfer operator Transform theory Weyl law Wiener–Khinchin theorem