Действительный ранг (C*-алгебры)

В математике действительный ранг C *-алгебры является некоммутативным аналогом лебеговой накрывающей размерности . Это понятие было впервые введено Лоуренсом Г. Брауном и Гертом К. Педерсеном .

Определение

Действительный ранг единичной C*-алгебры A — это наименьшее неотрицательное целое число n , обозначаемое RR( A ), такое, что для каждого ( n + 1)-кортежа ( x ₀ , x ₁ , ... , x _n ) самосопряженных элементов A и для каждого ε > 0 существует ( n + 1)-кортеж ( y ₀ , y ₁ , ... , y _n )самосопряженных элементов A таких, что $\sum _{i=0}^{n}y_{i}^{2}$ является обратимым и $\lVert \sum _{i=0}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}\rVert <\varepsilon$. Если такого целого числа не существует, то действительный ранг A бесконечен. Действительный ранг неединичной C*-алгебры определяется как действительный ранг ее унитализации .

Сравнение с размерами

Если X — локально компактное хаусдорфово пространство , то RR( C0 ₎ ( X )) = dim( , где dim — размерность накрытия Лебега X. X В результате реальный ранг считается некоммутативным обобщением размерности, но реальный ранг может сильно отличаться от размерности. Например, большинство некоммутативных торов имеют нулевой действительный ранг, несмотря на то, что они являются некоммутативной версией двумерного тора . Для локально компактных хаусдорфовых пространств нульмерность эквивалентна полной несвязности . Аналогичное соотношение неверно для C*-алгебр; в то время как AF-алгебры имеют нулевой вещественный ранг, обратное неверно. Формулы, справедливые для размерности, не могут быть обобщены для реального ранга. Например, Браун и Педерсен предположили, что RR( A ⊗ B ) ≤ RR( A ) + RR( B ), поскольку верно, что dim( X × Y ) ≤ dim( X ) + dim( Y ). Они доказали особый случай: если A есть AF и B имеет нулевой вещественный ранг, то A ⊗ B имеет вещественный нулевой ранг. Но вообще-то их гипотеза неверна, существуют С*-алгебры А и В нулевого вещественного ранга такие, что A ⊗ B имеет действительный ранг больше нуля.

Реальный нулевой ранг

Особый интерес представляют C*-алгебры нулевого вещественного ранга. только тогда, когда обратимые самосопряженные элементы A плотны A в самосопряженных элементах По определению, C*-алгебра с единицей имеет нулевой вещественный ранг тогда и . Это условие эквивалентно ранее изученным условиям:

• (FS) Самосопряженные элементы A с конечным спектром плотны в самосопряженных элементах A .
• (HP) Каждая наследственная С*-подалгебра в А имеет приближенное тождество, состоящее из проекций .

Эту эквивалентность можно использовать, чтобы дать множество примеров C*-алгебр с нулевым вещественным рангом, включая AW*-алгебры , алгебры Банса–Дедденса , и алгебры фон Неймана . В более широком смысле, простые C*-алгебры с единицей чисто бесконечные имеют нулевой действительный ранг, включая алгебры Кунца и алгебры Кунца – Кригера . Поскольку простые графовые C*-алгебры либо AF, либо чисто бесконечны, каждая простая графовая C*-алгебра имеет вещественный нулевой ранг.

Наличие нулевого вещественного ранга является свойством, замкнутым относительно прямых пределов , наследственных C*-подалгебр и сильной эквивалентности Морита . В частности, если A имеет нулевой вещественный ранг, то ( _Mn A ) , алгебра матриц размера n × n над A , имеет нулевой вещественный ранг для любого целого числа n ≥ 1.