Граф C*-алгебры

В математике графовая C*-алгебра — это универсальная C*-алгебра, построенная из ориентированного графа . Графовые С*-алгебры являются прямыми обобщениями алгебр Кунца и Кунца-Кригера, но было показано, что класс графовых С*-алгебр включает также несколько других широко изученных классов С*-алгебр . В результате графовые C*-алгебры обеспечивают общую основу для исследования многих известных классов C*-алгебр, которые ранее изучались независимо. Помимо других преимуществ, это обеспечивает контекст, в котором можно формулировать теоремы , применимые одновременно ко всем этим подклассам и содержащие конкретные результаты для каждого подкласса как особых случаев.

Хотя C*-алгебры на графах включают множество примеров, они представляют собой класс C*-алгебр, которые удивительно поддаются изучению и гораздо более управляемы, чем общие C*-алгебры. Граф не только определяет связанную C*-алгебру путем указания отношений для генераторов, но также предоставляет полезный инструмент для описания и визуализации свойств C*-алгебры. Это визуальное качество привело к тому, что графовые C*-алгебры стали называть « операторными алгебрами, которые мы видим». Другое преимущество графовых C*-алгебр состоит в том, что большая часть их структуры и многие инварианты могут быть легко вычислены. Используя данные, поступающие из графа, можно определить, обладает ли ассоциированная C*-алгебра теми или иными свойствами, описать решетку идеалов и вычислить K-теоретико- инварианты.

Графовая терминология

Терминология графов, используемая C*-алгебраистами, немного отличается от терминологии, используемой теоретиками графов . Термин «граф» обычно используется для обозначения ориентированного графа. $E=(E^{0},E^{1},r,s)$ состоящий из счетного множества вершин $E^{0}$, счетное множество ребер $E^{1}$и карты $r,s:E^{1}\rightarrow E^{0}$ определение диапазона и источника каждого края соответственно. Вершина $v\in E^{0}$ называется раковиной , когда $s^{-1}(v)=\emptyset$; т. е. в нем нет ребер $E$ с источником $v$. Вершина $v\in E^{0}$ называется бесконечным эмиттером, когда $s^{-1}(v)$ бесконечен; т. е. существует бесконечно много ребер в $E$ с источником $v$. Вершина называется особой вершиной, если она является либо стоком, либо бесконечным эмиттером, а вершина называется регулярной вершиной, если она не является особой вершиной. Обратите внимание, что вершина $v$ является регулярным тогда и только тогда, когда число ребер в $E$ с источником $v$ конечно и ненулевое. Граф называется конечным по строкам, если он не имеет бесконечных эмиттеров; т. е. если каждая вершина является либо регулярной вершиной, либо стоком.

Путь — это конечная последовательность ребер $e_{1}e_{2}\ldots e_{n}$ с $r(e_{i})=s(e_{i+1})$ для всех $1\leq i\leq n-1$. Бесконечный путь — это счетная бесконечная последовательность ребер. $e_{1}e_{2}\ldots$ с $r(e_{i})=s(e_{i+1})$ для всех $i\geq 1$. Цикл – это путь $e_{1}e_{2}\ldots e_{n}$ с $r(e_{n})=s(e_{1})$, и выход из цикла $e_{1}e_{2}\ldots e_{n}$ это край $f\in E^{1}$ такой, что $s(f)=s(e_{i})$ и $f\neq e_{i}$ для некоторых $1\leq i\leq n$. Цикл $e_{1}e_{2}\ldots e_{n}$ называется простым циклом, если $s(e_{i})\neq s(e_{1})$ для всех $2\leq i\leq n$.

Ниже приведены два важных условия графа, которые возникают при изучении графов C*-алгебр.

Условие (L): Каждый цикл в графе имеет выход.

Условие (K): В графе нет вершины, принадлежащей ровно одному простому циклу. То есть граф удовлетворяет условию (K) тогда и только тогда, когда каждая вершина графа либо не содержит циклов, либо состоит из двух или более простых циклов.

Отношения Кунца-Кригера и универсальное свойство.

Кунц -Кригер $E$-семья – это коллекция $\left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}$ в C*-алгебре такой, что элементы $\left\{s_{e}:e\in E^{1}\right\}$ представляют собой частичные изометрии со взаимно ортогональными диапазонами, элементы $\left\{p_{v}:v\in E^{0}\right\}$ следующие три соотношения (называемые отношениями Кунца-Кригера являются взаимно ортогональными проекциями, и выполняются ):

1. (СК1) $s_{e}^{*}s_{e}=p_{r(e)}$ для всех $e\in E^{1}$,
2. (СК2) $p_{v}=\sum _{s(e)=v}s_{e}s_{e}^{*}$ в любое время $v$ является правильной вершиной, и
3. (СК3) $s_{e}s_{e}^{*}\leq p_{s(e)}$ для всех $e\in E^{1}$.

Граф C*-алгебры, соответствующий $E$, обозначенный $C^{*}(E)$, определяется как C*-алгебра, порожденная алгеброй Кунца-Кригера $E$-семья универсальна в том смысле, что всякий раз, когда $\left\{t_{e},q_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}$ это Кунц-Кригер $E$-семейство в C*-алгебре $A$ существует $*$-гомоморфизм $\phi :C^{*}(E)\to A$ с $\phi (s_{e})=t_{e}$ для всех $e\in E^{1}$ и $\phi (p_{v})=q_{v}$ для всех $v\in E^{0}$. Существование $C^{*}(E)$ для любого графика $E$ была основана Кумджяном, Паском и Реберном. Уникальность $C^{*}(E)$ (до $*$-изоморфизм ) непосредственно следует из свойства универсальности .

Соглашение о направлении кромки

Важно осознавать, что существуют конкурирующие соглашения относительно «направления ребер» в отношениях Кунца-Кригера. На протяжении всей статьи и в том виде, в котором эти отношения сформулированы выше, мы используем соглашение, впервые установленное в основополагающих статьях о C*-алгебрах на графах. Альтернативное соглашение, которое используется в книге Реберна CBMS по алгебрам графов: меняет роли карты диапазона $r$ и исходная карта $s$ в отношениях Кунца-Кригера. Результатом этого изменения является то, что C*-алгебра графа для одного соглашения равна C*-алгебре графа с перевернутыми ребрами при использовании другого соглашения.

Графы, ограниченные строками

В соотношениях Кунца-Кригера (CK2) налагается только на правильные вершины. Более того, если $v\in E^{0}$ является правильной вершиной, то из (CK2) следует, что (CK3) выполняется в точке $v$. Кроме того, если $v\in E^{0}$ является стоком, то (CK3) имеет место в вакууме $v$. Таким образом, если $E$ — граф с конечными строками, отношение (CK3) лишнее и набор $\left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}$ частичных изометрий со взаимно ортогональными диапазонами и взаимно ортогональными проекциями - это метод Кунца-Кригера. $E$-семейство тогда и только тогда, когда соотношение в (CK1) выполняется на всех ребрах в $E$ и соотношение в (CK2) выполняется во всех вершинах из $E$ это не раковины. Тот факт, что отношения Кунца-Кригера принимают более простую форму для графов с конечными строками, имеет технические последствия для многих результатов в этой области. При описании C*-алгебр графов с конечными строками не только облегчается доказательство результатов в случае конечного по строкам, но и упрощаются формулировки теорем. Исторически сложилось так, что большая часть ранних работ по C*-алгебрам на графах выполнялась исключительно в случае, когда число строк ограничено. Даже в современных работах, где разрешены бесконечные эмиттеры и рассматриваются C*-алгебры общих графов, конечный по строкам случай теоремы принято формулировать отдельно или как следствие , поскольку в этом случае результаты зачастую более интуитивны и прозрачны. ситуация.

Примеры

C*-алгебра графов рассчитана для многих графов. И наоборот, для некоторых классов С*-алгебр было показано, как построить граф, С*-алгебра которого $*$-изоморфна или Морита-эквивалентна данной С*-алгебре этого класса.

В следующей таблице показано несколько ориентированных графов и их C*-алгебр. Мы используем соглашение, согласно которому двойная стрелка, проведенная от одной вершины к другой и обозначенная $\infty$ указывает на то, что существует счетное число ребер от первой вершины до второй.

Ориентированный граф $E$	Граф C*-алгебры $C^{*}(E)$
	$\mathbb {C}$, комплексные числа
	$C(\mathbb {T} )$, комплекснозначные непрерывные функции на окружности $\mathbb {T}$
	$M_{n}(\mathbb {C} )$, $n\times n$ матрицы с записями в $\mathbb {C}$
	${\mathcal {K}}$, компактные операторы в сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве
	$M_{n}(C(\mathbb {T} ))$, $n\times n$ матрицы с записями в $C(\mathbb {T} )$
	${\mathcal {O}}_{n}$, алгебра Кунца , порожденная $n$ изометрии
	${\mathcal {O}}_{\infty }$, алгебра Кунца, порожденная счетным числом изометрий
	${\mathcal {K}}^{1}$, унификация алгебры компактных операторов ${\mathcal {K}}$
	${\mathcal {T}}$, алгебра Теплица

Показано, что класс графовых С*-алгебр содержит различные классы С*-алгебр. C*-алгебры каждого из следующих классов могут быть реализованы как C*-алгебры-графики с точностью до $*$-изоморфизм :

• Алгебры Кунца
• Алгебры Кунца-Уорриора
• конечномерные C*-алгебры
• стек алгебр AF

C*-алгебры каждого из следующих классов могут быть реализованы как C*-алгебры-графики с точностью до эквивалентности Морита:

• алгебры
• Алгебры Кирхберга со свободной K ₁ -группой

Соответствие графа и C*-алгебраических свойств

Одним из замечательных аспектов графовых C*-алгебр является то, что граф $E$ не только описывает соотношения для образующих $C^{*}(E)$, но также различные теоретико-графовые свойства $E$ можно показать, что они эквивалентны C*-алгебраическим свойствам $C^{*}(E)$. Действительно, большая часть изучения графовых C*-алгебр связана с разработкой словаря для соответствия между этими свойствами и установлением теорем вида «Граф $E$ обладает некоторым теоретико-графовым свойством тогда и только тогда, когда C*-алгебра $C^{*}(E)$ имеет соответствующее C*-алгебраическое свойство». В следующей таблице представлен краткий список некоторых наиболее известных эквивалентностей.

Собственность $E$	Собственность $C^{*}(E)$
$E$ является конечным графом и не содержит циклов.	$C^{*}(E)$ является конечномерным.
Набор вершин $E^{0}$ конечно.	$C^{*}(E)$ унитарен (т.е. $C^{*}(E)$ содержит мультипликативное тождество).
$E$ не имеет циклов.	$C^{*}(E)$ является алгеброй AF.
$E$ удовлетворяет следующим трем свойствам: Состояние (Л), для каждой вершины $v$ и каждый бесконечный путь $\alpha$ существует направленный путь из $v$ в вершину на $\alpha$, и для каждой вершины $v$ и каждая особая вершина $w$ существует направленный путь из $v$ к $w$	$C^{*}(E)$ это просто.
$E$ удовлетворяет следующим трем свойствам: Состояние (Л), для каждой вершины $v$ в $E$ есть путь из $v$ к циклу.	Каждая наследственная подалгебра $C^{*}(E)$ содержит бесконечную проекцию. (Когда $C^{*}(E)$ это просто, это эквивалентно $C^{*}(E)$ быть чисто бесконечным.)

Действие датчика

Универсальное свойство порождает естественное действие группы кругов. $\mathbb {T} :=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}$ на $C^{*}(E)$ следующим образом: Если $\left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}$ является универсальным Кунц-Кригером $E$-семейство, то для любого унимодулярного комплексного числа $z\in \mathbb {T}$, коллекция $\left\{zs_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}$ это Кунц-Кригер $E$-семья и всеобщее достояние $C^{*}(E)$ подразумевает, что существует $*$-гомоморфизм $\gamma _{z}:C^{*}(E)\to C^{*}(E)$ с $\gamma _{z}(s_{e})=zs_{e}$ для всех $e\in E^{1}$ и $\gamma _{z}(p_{v})=p_{v}$ для всех $v\in E^{0}$. Для каждого $z\in \mathbb {T}$ тот $*$-гомоморфизм $\gamma _{\overline {z}}$ является обратным для $\gamma _{z}$, и таким образом $\gamma _{z}$ является автоморфизмом . Это дает сильно непрерывное действие $\gamma :\mathbb {T} \to \operatorname {Aut} C^{*}(E)$ определяя $\gamma (z):=\gamma _{z}$. Действие датчика $\gamma$ иногда называют каноническим калибровочным действием на $C^{*}(E)$. Важно отметить, что каноническое калибровочное действие зависит от выбора порождающего Кунца-Кригера. $E$-семья $\left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}$. Каноническое калибровочное действие является фундаментальным инструментом в изучении $C^{*}(E)$. Он появляется в формулировках теорем, а также используется за кулисами как технический прием в доказательствах.

Теоремы единственности

Существуют две хорошо известные теоремы единственности графовых C*-алгебр: калибровочно-инвариантная теорема единственности и теорема единственности Кунца-Кригера. Теоремы единственности являются фундаментальными результатами в изучении С*-алгебр-графиков и служат краеугольным камнем теории. Каждый из них обеспечивает достаточные условия для $*$-гомоморфизм из $C^{*}(E)$ в C*-алгебру, чтобы быть инъективной . Следовательно, теоремы единственности могут быть использованы для определения того, когда C*-алгебра, порожденная алгеброй Кунца-Кригера, $E$-семья это изоморфен $C^{*}(E)$; в частности, если $A$ является C*-алгеброй, порожденной алгеброй Кунца-Кригера $E$-семья, всеобщее достояние $C^{*}(E)$ производит сюръектив $*$-гомоморфизм $\phi :C^{*}(E)\to A$, а теоремы единственности дают условия, при которых $\phi$ инъективен и, следовательно, является изоморфизмом. Формальные формулировки теорем единственности таковы:

Теорема калибровочно-инвариантной единственности: пусть $E$ быть графом, и пусть $C^{*}(E)$ — ассоциированный граф C*-алгебры. Если $A$ является C*-алгеброй и $\phi :C^{*}(E)\to A$ это $*$-гомоморфизм, удовлетворяющий следующим двум условиям:

1. существует калибровочное действие $\beta :\mathbb {T} \to \operatorname {Aut} A$ такой, что $\phi \circ \beta _{z}=\gamma _{z}\circ \phi$ для всех $z\in \mathbb {T}$, где $\gamma$ обозначает каноническое калибровочное действие на $C^{*}(E)$, и
2. $\phi (p_{v})\neq 0$ для всех $v\in E^{0}$,

затем $\phi$ является инъективным.

Теорема Кунца-Кригера о единственности: пусть $E$ — граф, удовлетворяющий условию (L), и пусть $C^{*}(E)$ — ассоциированный граф C*-алгебры. Если $A$ является C*-алгеброй и $\phi :C^{*}(E)\to A$ это $*$-гомоморфизм с $\phi (p_{v})\neq 0$ для всех $v\in E^{0}$, затем $\phi$ является инъективным.

Из калибровочно-инвариантной теоремы единственности следует, что если $\left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}$ это Кунц-Кригер $E$-семейство с ненулевыми проекциями и существует калибровочное действие $\beta$ с $\beta _{z}(p_{v})=p_{v}$ и $\beta _{z}(s_{e})=zs_{e}$ для всех $v\in E^{0}$, $e\in E^{1}$, и $z\in \mathbb {T}$, затем $\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\}$ порождает C*-алгебру, изоморфную $C^{*}(E)$. Теорема единственности Кунца-Кригера показывает, что, когда граф удовлетворяет условию (L), существование калибровочного действия не является необходимым; если график $E$ удовлетворяет условию (L), то любое Кунца-Кригера $E$-семейство с ненулевыми проекциями порождает C*-алгебру, изоморфную $C^{*}(E)$.

Идеальная структура

Идеальная структура $C^{*}(E)$ можно определить из $E$. Подмножество вершин $H\subseteq E^{0}$ называется наследственной, если для всех $e\in E^{1}$, $s(e)\in H$ подразумевает $r(e)\in H$. Наследственное подмножество $H$ называется насыщенным, если всякий раз, когда $v$ является правильной вершиной с $\{r(e):e\in E^{0},s(e)=v\}\subseteq H$, затем $v\in H$. Насыщенные наследственные подмножества $E$ по частично упорядочены включению и образуют решетку со сходящимися $H_{1}\wedge H_{2}:=H_{1}\cap H_{2}$ и присоединяйся $H_{1}\vee H_{2}$ определяется как наименьшее насыщенное наследственное подмножество, содержащее $H_{1}\cup H_{2}$.

Если $H$ является насыщенным наследственным подмножеством, $I_{H}$ определяется как замкнутый двусторонний идеал в $C^{*}(E)$ созданный $\{p_{v}:v\in H\}$. Закрытый двусторонний идеал $I$ из $C^{*}(E)$ называется калибровочным инвариантом, если $\gamma _{z}(a)\in C^{*}(E)$ для всех $a\in I$ и $z\in \mathbb {T}$. Калибровочно-инвариантные идеалы частично упорядочены по включению и образуют решетку с пересечением $I_{1}\wedge I_{2}:=I_{1}\cap I_{2}$ и совместный $I_{1}\vee I_{2}$ определяется как идеал, порожденный $I_{1}\cup I_{2}$. Для любого насыщенного наследственного подмножества $H$, идеал $I_{H}$ является калибровочным инвариантом.

Следующая теорема показывает, что калибровочно-инвариантные идеалы соответствуют насыщенным наследственным подмножествам.

Теорема: Пусть $E$ быть конечнострочным графом. Тогда имеют место следующие положения:

1. Функция $H\mapsto I_{H}$ является решеточным изоморфизмом решетки насыщенных наследственных подмножеств $E$ на решетку калибровочно-инвариантных идеалов $C^{*}(E)$ с обратным выражением $I\mapsto \left\{v\in E^{0}:p_{v}\in I\right\}$.
2. Для любого насыщенного наследственного подмножества $H$, частное $C^{*}(E)/I_{H}$ является $*$-изоморфен $C^{*}(E\setminus H)$, где $E\setminus H$ является подграфом $E$ с набором вершин $(E\setminus H)^{0}:=E^{0}\setminus H$ и набор кромок $(E\setminus H)^{1}:=E^{1}\setminus r^{-1}(H)$.
3. Для любого насыщенного наследственного подмножества $H$, идеал $I_{H}$ эквивалентен ли Морита $C^{*}(E_{H})$, где $E_{H}$ является подграфом $E$ с набором вершин $E_{H}^{0}:=H$ и набор кромок $E_{H}^{1}:=s^{-1}(H)$.
4. Если $E$ удовлетворяет условию (K), то каждый идеал $C^{*}(E)$ является калибровочным инвариантом, а идеалы $C^{*}(E)$ находятся во взаимно однозначном соответствии с насыщенными наследственными подмножествами $E$.

Десингуляризация

Десингуляризация Дринена -Томфорда , часто называемая просто десингуляризацией , — это метод, используемый для распространения результатов для C*-алгебр графов с конечными строками на C*-алгебры счетных графов. Если $E$ представляет собой граф, десингуляризацию $E$ представляет собой граф с конечными строками $F$ такой, что $C^{*}(E)$ эквивалентен ли Морита $C^{*}(F)$. Дринен и Томфорд описали метод построения десингуляризации любого счетного графа: если $E$ — счетный граф, то для каждой вершины $v_{0}$ который излучает бесконечное количество ребер, сначала выбирают список исходящих ребер как $s^{-1}(v_{0})=\{e_{0},e_{1},e_{2},\ldots \}$, следующий прикрепляет хвост формы

к $E$ в $v_{0}$, и, наконец, стираются края $e_{0},e_{1},e_{2},\ldots$ из графа и перераспределяет каждую по хвосту, рисуя новое ребро $f_{i}$ от $v_{i}$ к $r(e_{i})$ для каждого $i=0,1,2,\ldots$.

Вот несколько примеров такой конструкции. Для первого примера обратите внимание, что если $E$ это график

затем десингуляризация $F$ определяется графиком

Для второго примера предположим $E$ это ${\mathcal {O}}_{\infty }$ граф с одной вершиной и счетным бесконечным числом ребер (каждое из которых начинается и заканчивается в этой вершине). Затем десингуляризация $F$ определяется графиком

Десингуляризация стала стандартным инструментом в теории C*-алгебр на графах. и он может упростить доказательство результатов, позволяя сначала доказать результат в (обычно гораздо более простом) случае с конечными строками, а затем распространить результат на счетные графы посредством десингуляризации, часто с небольшими дополнительными усилиями.

Техника десингуляризации может не работать для графов, содержащих вершину, испускающую несчетное количество ребер. Однако при изучении С*-алгебр принято ограничивать внимание сепарабельными С*-алгебрами . Поскольку граф C*-алгебры $C^{*}(E)$ отделима именно тогда, когда граф $E$ счетна, большая часть теории C*-алгебр на графах сосредоточена на счетных графах.

К-теория

K-группы графа C*-алгебры могут быть полностью вычислены на основе информации, поступающей из графа. Если $E$ — граф с конечными строками, вершин матрица $E$ это $E^{0}\!\times \!E^{0}$ матрица $A_{E}$ с записью $A_{E}(v,w)$ определяется как количество ребер в $E$ от $v$ к $w$. С $E$ является конечнострочным, $A_{E}$ есть записи в $\mathbb {N} \cup \{0\}$ и каждый ряд $A_{E}$ имеет лишь конечное число ненулевых записей. (Фактически, отсюда и происходит термин «конечный по строкам».) Следовательно, каждый столбец транспонирования $A_{E}^{t}$ содержит лишь конечное число ненулевых элементов, и мы получаем отображение ${\textstyle A_{E}^{t}:\bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} \to \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$ заданное левым умножением. Аналогично, если $I$ обозначает $E^{0}\!\times \!E^{0}$ единичная матрица , тогда ${\textstyle I-A_{E}^{t}:\bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} \to \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$ предоставляет карту, заданную левым умножением.

Теорема: Пусть $E$ — граф, конечный по строкам, без стоков, и пусть $A_{E}$ обозначим вершинную матрицу $E$. Затем $$I-A_{E}^{t}:\bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} \to \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z}$$ дает четко определенное отображение путем левого умножения. Более того, $$K_{0}(C^{*}(E))\cong \operatorname {coker} (I-A_{E}^{t})\quad {\text{ and }}\quad K_{1}(C^{*}(E))\cong \ker(I-A_{E}^{t}).$$ Кроме того, если $C^{*}(E)$ унитарна (или, что то же самое, $E^{0}$ конечен), то изоморфизм $K_{0}(C^{*}(E))\cong \operatorname {coker} (I-A_{E}^{t})$ принимает класс единицы в $K_{0}(C^{*}(E))$ к классу вектора $(1,1,\ldots ,1)$ в $\operatorname {coker} (I-A_{E}^{t})$.

С $K_{1}(C^{*}(E))$ изоморфна подгруппе группы свободной ${\textstyle \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$, мы можем заключить, что $K_{1}(C^{*}(E))$ это бесплатная группа. Можно показать, что в общем случае (т. е. когда $E$ допускается содержать стоки или бесконечные эмиттеры), которые $K_{1}(C^{*}(E))$ остается свободной группой. Это позволяет привести примеры С*-алгебр, которые не являются графами С*-алгебр: любая С*-алгебра с несвободной К ₁ -группой не является Морита-эквивалентной (и, следовательно, не изоморфной) графу С*-. алгебра.