Шесть операций
В математике , шесть операций Гротендика названные в честь Александра Гротендика , представляют собой формализм гомологической алгебры , также известный как формализм шести функторов . [1] Первоначально оно возникло из отношений в этальных когомологиях , возникающих из морфизма схем f : X → Y . Основная идея заключалась в том, что многие элементарные факты, касающиеся когомологий X и Y, были формальными следствиями небольшого числа аксиом. Эти аксиомы во многих случаях совершенно не связаны с исходным контекстом, и поэтому формальные следствия также верны. С тех пор было показано, что формализм шести операций применим к таким контекстам, как D -модули на алгебраических многообразиях , пучки на локально компактных топологических пространствах и мотивы .
Операции [ править ]
Операции представляют собой шесть функторов . Обычно это функторы между производными категориями , то есть на самом деле это левые и правые производные функторы .
- прямое изображение
- обратное изображение
- правильный (или необыкновенный) прямой образ
- правильный (или необыкновенный) прообраз
- внутреннее тензорное произведение
- внутренний Хом
Функторы и сформируйте пару сопряженных функторов , как и и . [2] Аналогично, внутреннее тензорное произведение остается сопряженным с внутренним Hom.
операций в этальных когомологиях Шесть
Пусть f : X → Y — морфизм схем. Морфизм f индуцирует несколько функторов. В частности, он дает сопряженные функторы f * и f * между категориями пучков на X и Y , и это дает функтор f ! прямого изображения при должной поддержке. В производной категории Rf ! допускает правосопряженное f ! . Наконец, при работе с абелевыми пучками существуют функтор тензорного произведения ⊗ и внутренний функтор Hom, которые являются сопряженными. Шесть операций являются соответствующими функторами производной категории: Lf * , Рф * , Рф ! , ж ! , ⊗ л и РХом .
Предположим, что мы ограничимся категорией -адические крученые пучки, где взаимно прост с характеристикой X и Y . В SGA 4 III Гротендик и Артин доказали, что если f гладкая относительной размерности d , то Lf * изоморфен f ! (− d )[−2 d ] , где (− d ) обозначает d -й обратный поворот Тейта , а [−2 d ] обозначает сдвиг степени на −2 d . Кроме того, предположим, что f отделима и имеет конечный тип. Если g : Y ′ → Y — другой морфизм схем, если X ′ обозначает замену базы X на g , и если f ′ и g ′ обозначают замены базы f и g на g и f соответственно, то существуют естественные изоморфизмы:
Опять же, предполагая, что f отделен и имеет конечный тип, для любых объектов M в производной категории X и N в производной категории Y существуют естественные изоморфизмы:
Если i — замкнутое погружение Z в S с дополнительным открытым погружением j , то в производной категории есть отмеченный треугольник:
где первые две карты — это соответственно единица и единица присоединения. Если Z и S регулярны, то существует изоморфизм:
где 1 Z и 1 S — единицы операций тензорного произведения (которые изменяются в зависимости от того, какая категория -адические крученые пучки).
Если S регулярно и g : X → S , и если K — обратимый объект в производной категории на S относительно ⊗ л , затем определим D X как функтор RHom(—, g ! К ) . Тогда для объектов M и M ′ в производной категории на X канонические отображения:
являются изоморфизмами. Наконец, если f : X → Y — морфизм S- схем, и если M и N — объекты в производных категориях X и Y , то существуют естественные изоморфизмы:
См. также [ править ]
- Когерентная двойственность
- Локальная двойственность Гротендика
- Функторы изображений для пучков
- Двойственность ценностей
- Смена колец
Ссылки [ править ]
- ^ Галлауэр, Мартин (2021). «Введение в шестифункторный формализм» (PDF) .
- ^ Фауск, Х.; П. Ху; Дж. П. Мэй (2003). «Изоморфизмы между левым и правым сопряженными» (PDF) . Теория Прикл. Катег. : 107–131. arXiv : math/0206079 . Бибкод : 2002math......6079F . Проверено 6 июня 2013 г.
- Ласло, Ив; Олссон, Мартин (2005). «Шесть операций для пучков на стеках Артина I: конечные коэффициенты». arXiv : math/0512097 .
- Аюб, Джозеф. Шесть операций Гротендика и формализм мимолетных циклов в мотивном мире (PDF) (Диссертация).
- Цисинский, Дени-Шарль; Деглиз, Фредерик (2019). Триангулированные категории смешанных мотивов . Монографии Спрингера по математике. arXiv : 0912.2110 . дои : 10.1007/978-3-030-33242-6 . ISBN 978-3-030-33241-9 . S2CID 115163824 .
- Мебхаут, Зогман (1989). Формализм шести операций Гротендика для когерентных D X -модулей . Работа в процессе. Полет. 35. Париж: Германн. ISBN 2-7056-6049-6 .