Теорема Бореля о графе

В функциональном анализе теорема Бореля о графе является обобщением теоремы о замкнутом графике , доказанной Л. Шварцем.

Теорема Бореля о графе показывает, что теорема о замкнутом графе справедлива для линейных карт, определенных и оцениваемых в большинстве пространств, встречающихся в анализе.

Заявление

Топологическое пространство называется польским пространством, если оно является сепарабельным полным метризуемым пространством и пространство Суслина является непрерывным образом польского пространства. Слабое двойственное сепарабельному и пространству Фреше сильное двойственное сепарабельному пространству Фреше–Монтеля являются пространствами Суслена. Кроме того, пространствами Суслина являются пространство распределений и все Lp-пространства над открытыми подмножествами евклидова пространства, а также многие другие пространства, встречающиеся в анализе. Теорема Бореля о графе гласит:

Позволять $X$ и $Y$ — хаусдорфово локально выпуклое пространство и пусть $u:X\to Y$ быть линейным. Если $X$ является индуктивным пределом произвольного семейства банаховых пространств , если $Y$ является пространством Суслина, и если график $u$ это набор Бореля в $X\times Y,$ затем $u$ является непрерывным.

Обобщение

В усовершенствовании этой теоремы, доказанном А. Мартино, используются K-аналитические пространства. Топологическое пространство $X$ называется $K_{\sigma \delta }$ если оно есть счетное пересечение счетных объединений компактов . Топологическое пространство Хаусдорфа. $Y$ называется K-аналитический, если это непрерывный образ $K_{\sigma \delta }$ пространство (то есть, если существует $K_{\sigma \delta }$ космос $X$ и непрерывная карта $X$ на $Y$). Каждый компакт K-аналитичен, поэтому существуют несепарабельные K-аналитические пространства.Кроме того, каждое польское пространство, пространство Суслена и рефлексивное пространство Фреше является K-аналитическим, как и слабое двойственное пространство Фреше. Обобщенная теорема гласит:

Позволять $X$ и $Y$ — локально выпуклые хаусдорфовы пространства и пусть $u:X\to Y$ быть линейным. Если $X$ является индуктивным пределом произвольного семейства банаховых пространств, если $Y$ является K-аналитическим пространством, и если график $u$ закрыт в $X\times Y,$ затем $u$ является непрерывным.

См. также

• Свойство замкнутого графа – график карты, замкнутой в пространстве продукта.
• Теорема о замкнутом графе - Теорема о непрерывности графов
• Теорема о замкнутом графе (функциональный анализ) - Теоремы, связывающие непрерывность с замыканием графов.
• График функции - Представление математической функции.

Библиография

• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .