Польское пространство

В математической дисциплине общей топологии польское пространство — это сепарабельное вполне метризуемое топологическое пространство ; то есть пространство, гомеоморфное полному , метрическому пространству имеющему счетное плотное подмножество. Польские пространства названы так потому, что их впервые широко изучали польские топологи и логики — Серпинский , Куратовский , Тарский и другие. Однако сегодня польские пространства в основном изучаются, потому что они являются основным объектом дескриптивной теории множеств , включая изучение борелевских отношений эквивалентности . Польские пространства также являются удобной средой для более сложной теории меры , в частности, теории вероятностей .

Типичными примерами польских пространств являются действительная линия , любое сепарабельное банахово пространство , пространство Кантора и пространство Бэра . Кроме того, некоторые пространства, которые не являются полными метрическими пространствами в обычной метрике, могут быть польскими; например, открытый интервал $(0, 1)$ — польский.

Между любыми двумя несчетными польскими пространствами существует борелевский изоморфизм ; то есть биекция , сохраняющая борелевскую структуру. В частности, каждое неисчислимое польское пространство обладает мощностью континуума .

Пространства Люзина , пространства Суслина и пространства Радона являются обобщениями польских пространств.

Характеристики

Каждое польское пространство вторично счетно (в силу сепарабельности и метризуемости). ^[1]
Подпространство $Q$ польского пространства $P$ является польским (в соответствии с индуцированной топологией) тогда и только тогда, когда $Q$ является пересечением последовательности открытых подмножеств $P$ . ^[2]
( Теорема Кантора-Бендиксона ) Если $X$ польское, то любое замкнутое подмножество $X$ можно записать как непересекающееся объединение совершенного множества и счетного множества. Далее, если польское пространство $X$ несчетно, его можно записать как непересекающееся объединение совершенного множества и счетного открытого множества.
Каждое польское пространство гомеоморфно $G δ$ -подмножеству гильбертова куба (т. е. $I Н$ , где $I$ — единичный интервал, а $N$ — множество натуральных чисел). ^[3]

Следующие места являются польскими:

закрытые подмножества польского пространства,
открытые подмножества польского пространства,
произведения и несвязные объединения счетных семейств польских пространств,
локально компактные пространства, метризуемые и счетные на бесконечности ,
счетные пересечения польских подпространств топологического пространства Хаусдорфа,
набор иррациональных чисел с топологией, индуцированной стандартной топологией вещественной прямой.

Характеристика

Существует множество характеристик, которые показывают, когда топологическое пространство со второй счетностью является метризуемым, например, теорема Урысона о метризации . Проблема определения того, является ли метризуемое пространство вполне метризуемым, более сложна. Топологическим пространствам, таким как открытый единичный интервал (0,1), могут быть заданы как полные метрики, так и неполные метрики, порождающие их топологию.

Полные сепарабельные метрические пространства характеризуются в терминах игры, известной как сильная игра Шоке . Сепарабельное метрическое пространство вполне метризуемо тогда и только тогда, когда второй игрок имеет выигрышную стратегию в этой игре.

Вторая характеристика следует из теоремы Александрова. Он утверждает, что сепарабельное метрическое пространство полностью метризуемо тогда и только тогда, когда оно является $G_{\delta }$ подмножество его завершения в исходной метрике.

Польские метрические пространства

Хотя польские пространства метризуемы, сами по себе они не являются метрическими пространствами ; каждое польское пространство допускает множество полных метрик, порождающих одну и ту же топологию, но ни одна из них не выделена и не выделена. Польское пространство с выделенной полной метрикой называется польским метрическим пространством . Альтернативный подход, эквивалентный приведенному здесь, состоит в том, чтобы сначала определить «польское метрическое пространство» как «полное сепарабельное метрическое пространство», а затем определить «польское пространство» как топологическое пространство, полученное из польского метрического пространства путем забывания метрика.

Обобщения польских пространств

Лусинские пространства

Топологическое пространство Хаусдорфа является пространством Лусина (названным в честь Николая Лусина ), если некоторая более сильная топология превращает его в польское пространство.

Существует множество способов формирования пространств Лусина. В частности:

Каждое польское пространство — это пространство Лусина. ^[4]
Подпространство пространства Люсина является пространством Люсина тогда и только тогда, когда оно является борелевским множеством. ^[5]
Любое счетное объединение или пересечение подпространств Люсина хаусдорфова пространства является пространством Люсина. ^[6]
Произведение счетного числа пространств Люсина является пространством Люсина. ^[7]
Дизъюнктное объединение счетного числа пространств Люсина является пространством Люсина. ^[8]

Пространства Суслина

Топологическое пространство Хаусдорфа называется пространством Суслина (названного в честь Михаила Суслина ), если оно является образом польского пространства при непрерывном отображении. Итак, каждое пространство Лусина — это Суслин.В польском пространстве подмножество является пространством Суслина тогда и только тогда, когда оно является множеством Суслина (образ операции Суслина ). ^[9]

Ниже приведены пространства Суслина:

закрытые или открытые подмножества пространства Суслина,
счетные произведения и непересекающиеся объединения пространств Суслина,
счетные пересечения или счетные объединения подпространств Суслина топологического пространства Хаусдорфа,
непрерывные изображения пространств Суслина,
Борелевские подмножества пространства Суслина.

Они обладают следующими свойствами:

Каждое пространство Суслина сепарабельно.

Радоновые пространства

Пространство Радона , названное в честь Иоганна Радона , представляет собой топологическое пространство , в котором каждая борелевская вероятностная мера на $M$ является внутренней регулярной . Поскольку вероятностная мера глобально конечна и, следовательно, является локально конечной мерой , каждая вероятностная мера в пространстве Радона также является мерой Радона . В частности, сепарабельное полное метрическое пространство $(M, d)$ является пространством Радона.

Каждое пространство Суслина является пространством Радона.

Польские группы

Польская группа — это топологическая группа $G$ , которая также является польским пространством, другими словами, гомеоморфным сепарабельному полному метрическому пространству. Существует несколько классических результатов Банаха , Фрейденталя и Куратовского о гомоморфизмах между польскими группами. ^[10] Во-первых, аргумент Банаха ^[11] применяется с соответствующими изменениями к неабелевым польским группам: если $G$ и $H$ — сепарабельные метрические пространства с $G$ Polish, то любой борелевский гомоморфизм из $G$ в $H$ непрерывен. ^[12] Во-вторых, существует версия теоремы об открытом отображении или теоремы о замкнутом графике Куратовского: ^[13] непрерывный инъективный гомоморфизм польской подгруппы $G$ на другую польскую группу $H$ является открытым отображением. В результате в польских группах замечательным фактом является то, что измеримые по Бэру отображения (т. е. для которых прообраз любого открытого множества обладает свойством Бэра ), являющиеся гомоморфизмами между ними, автоматически непрерывны. ^[14] Группа гомеоморфизмов гильбертова куба $[0,1] Н$ — универсальная польская группа в том смысле, что каждая польская группа изоморфна ее замкнутой подгруппе.

Примеры:

Все конечномерные группы Ли со счетным числом компонент являются польскими группами.
Унитарная группа сепарабельного гильбертова пространства (с сильной операторной топологией ) является польской группой.
Группа гомеоморфизмов компактного метрического пространства является польской группой.
Произведение счетного числа польских групп есть польская группа.
Группа изометрий сепарабельного полного метрического пространства является польской группой.

См. также

Стандартное борелевское пространство

Ссылки

^ Джеминьяни, Майкл К. (1967). Элементарная топология . Интернет-архив. США: Аддисон-Уэсли . стр. 142–143.
^ Бурбаки 1989 , с. 197
^ Шривастава 1998 , с. 55
^ Шварц 1973 , с. 94
^ Шварц 1973 , с. 102, следствие 2 теоремы 5.
^ Шварц 1973 , стр. 94, 102, Лемма 4 и следствие 1 теоремы 5.
^ Шварц 1973 , стр. 95, Лемма 6.
^ Шварц 1973 , с. 95, следствие леммы 5.
^ Бурбаки 1989 , стр. 197–199
^ Мур 1976 , с. 8, Предложение 5
^ Банах 1932 , с. 23.
^ Фрейденталь 1936 , с. 54
^ Куратовский 1966 , стр. 400.
^ Петтис 1950 .

Банах, Стефан (1932). Теория линейных операций . Монография Matematyczne (на французском языке). Варшава. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
Бурбаки, Николя (1989). «IX. Использование действительных чисел в общей топологии». Элементы математики: Общая топология, Часть 2 . Спрингер-Верлаг . 3540193723.
Фрейденталь, Ганс (1936). «Некоторые теоремы о топологических группах» . Энн. Матем. 37 (1): 46–56. дои : 10.2307/1968686 . JSTOR 1968686 .
Куратовский, К. (1966). Топология Том. Я. Академическая пресса. ISBN 012429202X .
Мур, Кэлвин К. (1976). «Групповые расширения и когомологии для локально компактных групп. III» . Пер. амер. Математика. Соц. 221 : 1–33. дои : 10.1090/S0002-9947-1976-0414775-X .
Петтис, Би Джей (1950). «О непрерывности и открытости гомоморфизмов в топологических группах» . Энн. математики. 51 (2): 293–308. дои : 10.2307/1969471 . JSTOR 1969471 .
Роджерс, LCG; Уильямс, Дэвид (1994). Диффузия, марковские процессы и мартингалы, Том 1: Основы, 2-е издание . Джон Уайли и сыновья, ООО
Шварц, Лоран (1973). Радоновы меры на произвольных топологических пространствах и цилиндрические меры . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0195605167 .
Шривастава, Саши Мохан (1998). Курс о борелевских множествах . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер-Верлаг . ISBN 978-0-387-98412-4 . Проверено 4 декабря 2008 г.

Дальнейшее чтение

Амбросио Л., Джильи Н. и Саваре Г. (2005). Градиентные потоки в метрических пространствах и пространстве вероятностных мер . Базель: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2428-7 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Арвесон, Уильям (1981). Приглашение к C*-алгебрам . Тексты для аспирантов по математике . Том. 39. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-90176-0 .
Кекрис, А. (1995). Классическая описательная теория множеств . Тексты для аспирантов по математике . Том. 156. Спрингер. ISBN 0-387-94374-9 .

[1] Джеминьяни, Майкл К. (1967). Элементарная топология . Интернет-архив. США: Аддисон-Уэсли . стр. 142–143.

[2] Бурбаки 1989 , с. 197

[3] Шривастава 1998 , с. 55

[4] Шварц 1973 , с. 94

[5] Шварц 1973 , с. 102, следствие 2 теоремы 5.

[6] Шварц 1973 , стр. 94, 102, Лемма 4 и следствие 1 теоремы 5.

[7] Шварц 1973 , стр. 95, Лемма 6.

[8] Шварц 1973 , с. 95, следствие леммы 5.

[9] Бурбаки 1989 , стр. 197–199

[10] Мур 1976 , с. 8, Предложение 5

[FOOTNOTEBanach193223-11] Банах 1932 , с. 23.

[12] Фрейденталь 1936 , с. 54

[FOOTNOTEKuratowski1966400-13] Куратовский 1966 , стр. 400.

[FOOTNOTEPettis1950-14] Петтис 1950 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]