операция Суслина

В математике операция Суслина 𝓐 — это операция, которая создает множество из набора множеств, индексированных конечными последовательностями натуральных чисел . Операцию Суслина ввели Александров ( 1916 ) и Суслин ( 1917 ). В России ее иногда называют операцией А по имени Александрова. Обычно его обозначают символом 𝓐 (каллиграфическая заглавная буква А).

Определения

Схема Суслина – это семья $P=\{P_{s}:s\in \omega ^{<\omega }\}$ подмножеств множества $X$ индексируется конечными последовательностями неотрицательных целых чисел. Операция Суслина, примененная к этой схеме, дает множество

${\mathcal {A}}P=\bigcup _{x\in {\omega ^{\omega }}}\bigcap _{n\in \omega }P_{x\upharpoonright n}$

Альтернативно, предположим, что у нас есть схема Суслина , другими словами, функция $M$ из конечных последовательностей натуральных чисел $n_{1},\dots ,n_{k}$ в наборы $M_{n_{1},...,n_{k}}$. Результатом операции Суслина является множество

${\mathcal {A}}(M)=\bigcup \left(M_{n_{1}}\cap M_{n_{1},n_{2}}\cap M_{n_{1},n_{2},n_{3}}\cap \dots \right)$

где объединение осуществляется по всем бесконечным последовательностям $n_{1},\dots ,n_{k},\dots$

Если $M$ это семейство подмножеств множества $X$, затем ${\mathcal {A}}(M)$ это семейство подмножеств $X$ полученное применением операции Суслина ${\mathcal {A}}$ ко всем коллекциям, как указано выше, где все наборы $M_{n_{1},...,n_{k}}$ находятся в $M$.Операция Суслина над совокупностями подмножеств $X$ имеет свойство, которое ${\mathcal {A}}({\mathcal {A}}(M))={\mathcal {A}}(M)$. Семья ${\mathcal {A}}(M)$ замкнуто относительно счетных объединений или пересечений, но, вообще говоря, не замкнуто относительно дополнений.

Если $M$ — семейство замкнутых подмножеств топологического пространства , то элементы ${\mathcal {A}}(M)$ называются множествами Суслина или аналитическими множествами , если пространство является польским пространством .

Пример

Для каждой конечной последовательности $s\in \omega ^{n}$, позволять $N_{s}=\{x\in \omega ^{\omega }:x\upharpoonright n=s\}$ быть бесконечными последовательностями, которые расширяют $s$. Это закрытое подмножество $\omega ^{\omega }$.Если $X$ это польское пространство и $f:\omega ^{\omega }\to X$ — непрерывная функция , пусть $P_{s}={\overline {f[N_{s}]}}$.Затем $P=\{P_{s}:s\in \omega ^{<\omega }\}$ является схемой Суслина, состоящей из замкнутых подмножеств $X$ и ${\mathcal {A}}P=f[\omega ^{\omega }]$.

Ссылки

• Александров П.С. (1916), "О мощности измеримых множеств В ", Ч.Р. акад. наук. Париж , 162 : 323–325.
• «А-операция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Суслин, М.Я. (1917), “Об определении измеримых множеств B без трансфинитных чисел”, Ч. Р. акад. наук. Париж , 164 : 88–91.