Ультрагиперболическое уравнение

В математической области дифференциальных уравнений ультрагиперболическое уравнение представляет собой уравнение в частных производных (ЧДУ) для неизвестной скалярной функции $u$ от $2 n$ переменных $x 1, ..., x n, y 1, ... y n$ , форма

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y_{1}^{2}}}-\cdots -{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y_{n}^{2}}}=0.$

В более общем смысле, если $a$ — любая квадратичная форма от $2 n$ переменных с сигнатурой $(n, n)$ , то любое УЧП, главная часть которого равна $a_{ij}u_{x_{i}x_{j}}$ называется ультрагиперболическим. Любое такое уравнение можно привести к приведенной выше форме путем замены переменных. ^[1]

Ультрагиперболическое уравнение изучалось с разных точек зрения. С одной стороны, оно напоминает классическое волновое уравнение . Это привело к ряду разработок относительно его характеристик , одно из которых принадлежит Фрицу Джону : уравнение Джона .

В 2008 году Уолтер Крейг и Стивен Вайнштейн доказали, что при нелокальном ограничении задача начального значения корректна для начальных данных, заданных на гиперповерхности коразмерности один . ^[2] А позже, в 2022 году, исследовательская группа из Мичиганского университета расширила условия решения ультрагиперболических волновых уравнений до комплексного времени (ким), продемонстрировала динамику пространства-кима и продемонстрировала приложения для науки о данных, используя тензорное линейное моделирование функционального магнитного поля. данные резонансной томографии . ^[3]^[4]

Уравнение изучалось также с точки зрения симметрических пространств и эллиптических дифференциальных операторов . ^[5] В частности, ультрагиперболическое уравнение удовлетворяет аналогу теоремы о среднем значении для гармонических функций .

Примечания

^ См. Куранта и Гильберта.
^ Крейг, Уолтер; Вайнштейн, Стивен. «О детерминизме и корректности во многих временных измерениях» . Учеб. Р. Сок. Том. 465 нет. 2110 3023-3046 (2008) . Проверено 5 декабря 2013 г.
^ Ван, Ю; Шен, Ю; Дэн, Д; Динов И.Д. (2022). «Детерминизм, корректность и приложения ультрагиперболического волнового уравнения в космическом киме» . Уравнения в частных производных в прикладной математике . 5 (100280). Elsevier: 100280. doi : 10.1016/j.padiff.2022.100280 . ПМЦ 9494226 . ПМИД 36159725 .
^ Чжан, Р; Чжан, Ю; Лю, Ю; Го, Ю; Шен, Ю; Дэн, Д; Цю, Ю; Динов И.Д. (2022). «Представление Kimesurface и тензорное линейное моделирование продольных данных» . Уравнения в частных производных в прикладной математике . 34 (8). Спрингер: 6377–6396. дои : 10.1007/s00521-021-06789-8 . ПМЦ 9355340 . ПМИД 35936508 .
^ Хельгасон, С. (1959). «Дифференциальные операторы в однородных пространствах» . Акта Математика . 102 (3–4). Институт Миттаг-Леффлера: 239–299. дои : 10.1007/BF02564248 .

Ссылки

Ришар Курант ; Дэвид Гилберт (1962). Методы математической физики, Vol. 2 . Уайли-Интерсайенс. стр. 744–752. ISBN 978-0-471-50439-9 .
Ларс Хёрмандер (20 августа 2001 г.). «Теорема Асгейрссона о среднем значении и связанные с ней тождества» . Журнал функционального анализа . 2 (184): 377–401. дои : 10.1006/jfan.2001.3743 .
Ларс Хёрмандер (1990). Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I. Издательство Спрингер. Теорема 7.3.4. ISBN 978-3-540-52343-7 .
Сигурдур Хельгасон (2000). Группы и геометрический анализ . Американское математическое общество. стр. 319–323. ISBN 978-0-8218-2673-7 .
Фриц Джон (1938). «Ультрагиперболическое дифференциальное уравнение с четырьмя независимыми переменными». Герцог Мат. Дж . 4 (2): 300–322. дои : 10.1215/S0012-7094-38-00423-5 .

Эта математическому анализу, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[See_Courant_and_Hilbert-1] См. Куранта и Гильберта.

[2] Крейг, Уолтер; Вайнштейн, Стивен. «О детерминизме и корректности во многих временных измерениях» . Учеб. Р. Сок. Том. 465 нет. 2110 3023-3046 (2008) . Проверено 5 декабря 2013 г.

[3] Ван, Ю; Шен, Ю; Дэн, Д; Динов И.Д. (2022). «Детерминизм, корректность и приложения ультрагиперболического волнового уравнения в космическом киме» . Уравнения в частных производных в прикладной математике . 5 (100280). Elsevier: 100280. doi : 10.1016/j.padiff.2022.100280 . ПМЦ 9494226 . ПМИД 36159725 .

[4] Чжан, Р; Чжан, Ю; Лю, Ю; Го, Ю; Шен, Ю; Дэн, Д; Цю, Ю; Динов И.Д. (2022). «Представление Kimesurface и тензорное линейное моделирование продольных данных» . Уравнения в частных производных в прикладной математике . 34 (8). Спрингер: 6377–6396. дои : 10.1007/s00521-021-06789-8 . ПМЦ 9355340 . ПМИД 35936508 .

[5] Хельгасон, С. (1959). «Дифференциальные операторы в однородных пространствах» . Акта Математика . 102 (3–4). Институт Миттаг-Леффлера: 239–299. дои : 10.1007/BF02564248 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]