Метод механических теорем

Метод механических теорем ( греч . Περὶ μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένη ἔφοδος ), также называемый «Метод» , является одной из основных сохранившихся работ древнегреческого эрудита Архимеда . Метод принимает форму письма Архимеда Эратосфену . главный библиотекарь Александрийской библиотеки , и содержит первое засвидетельствованное явное использование неделимых (неделимые являются геометрическими версиями бесконечно малых ). Первоначально считалось, что работа утеряна, но в 1906 году она была вновь обнаружена в знаменитом Архимеде Палимпсесте . Палимпсест включает в себя рассказ Архимеда о «механическом методе», названном так потому, что он опирается на центр масс фигур ( центроид ) и закон рычага , которые были продемонстрированы Архимедом в «О равновесии плоскостей» .

Архимед не признавал метод неделимых частью строгой математики и поэтому не опубликовал свой метод в формальных трактатах, содержащих результаты. В этих трактатах он доказывает одни и те же теоремы методом исчерпывания , находя строгие верхние и нижние оценки, которые сходятся к требуемому ответу. Тем не менее именно механический метод он использовал для открытия соотношений, которым позднее дал строгие доказательства.

Площадь параболы

Чтобы объяснить метод Архимеда сегодня, удобно использовать немного декартовой геометрии, хотя в то время она, конечно, была недоступна. Его идея состоит в том, чтобы использовать закон рычага для определения площадей фигур по известному центру масс других фигур. Простейшим примером на современном языке является площадь параболы. Архимед использует более элегантный метод, но на картезианском языке его метод заключается в вычислении интеграла

$$\int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}},$$

что сегодня легко проверить с помощью элементарного интегрального исчисления .

Идея состоит в том, чтобы механически сбалансировать параболу (изогнутую область, интегрированную выше) с определенным треугольником, сделанным из того же материала. Парабола – это область, в которой $(x,y)$ самолет между $x$-ось и кривая $y=x^{2}$ как $x$ изменяется от 0 до 1. Треугольник — это область в одной плоскости между $x$-ось и линия $y=x$, также как $x$ варьируется от 0 до 1.

Разрежьте параболу и треугольник на вертикальные кусочки, по одному на каждое значение $x$. Представьте, что $x$-ось представляет собой рычаг с точкой опоры $x=0$. Закон рычага гласит, что два объекта на противоположных сторонах точки опоры будут балансировать, если каждый из них имеет одинаковый крутящий момент , где крутящий момент объекта равен его весу, умноженному на расстояние до точки опоры. Для каждого значения $x$, срез треугольника в позиции $x$ имеет массу, равную его высоте $x$, и находится на расстоянии $x$ от точки опоры; так что он будет уравновешивать соответствующий кусок параболы высотой $x^{2}$, если бы последние были перенесены в $x=-1$, на расстоянии 1 по другую сторону точки опоры.

Сбалансированный треугольник и параболическая перемычка по методу

Поскольку каждая пара срезов уравновешивается, перемещение всей параболы в $x=-1$ уравновесит весь треугольник. Это означает, что если исходную неразрезанную параболу подвешивают за крюк за точку $x=-1$ (так что вся масса параболы прикреплена к этой точке), она будет уравновешивать треугольник, находящийся между $x=0$ и $x=1$.

Центр масс треугольника легко найти следующим методом, также принадлежащим Архимеду. Если провести срединную линию от любой вершины треугольника к противоположному краю $E$, треугольник будет балансировать на медиане, рассматриваемой как точка опоры. Причина в том, что если треугольник разделить на бесконечно малые отрезки, параллельные $E$, каждый сегмент имеет одинаковую длину по разные стороны от медианы, поэтому баланс следует за симметрией. Этот аргумент можно легко сделать строгим путем исчерпывания, используя маленькие прямоугольники вместо бесконечно малых линий, и именно это делает Архимед в « О равновесии плоскостей» .

Значит, центр масс треугольника должен находиться в точке пересечения медиан. Для рассматриваемого треугольника одной медианой является линия $y=x/2$, а вторая медиана — это линия $y=1-x$. Решая эти уравнения, мы видим, что пересечение этих двух медиан находится выше точки $x=2/3$, так что общее воздействие треугольника на рычаг такое, как если бы вся масса треугольника давила на эту точку (или свисала с нее). Общий крутящий момент, действующий на треугольник, равен его площади, равной 1/2, умноженной на расстояние 2/3 его центра масс от точки опоры. $x=0$. Этот крутящий момент 1/3 уравновешивает параболу, находящуюся на расстоянии 1 от точки опоры. Следовательно, площадь параболы должна составлять 1/3, чтобы придать ей противоположный крутящий момент.

Этот тип метода можно использовать для нахождения площади произвольного сечения параболы, и аналогичные аргументы можно использовать для нахождения интеграла любой степени $x$, хотя высшие силы без алгебры усложняются. Архимед дошёл лишь до интеграла $x^{3}$, который он использовал для нахождения центра масс полушария, а в других работах — центра масс параболы.

Первое предложение в палимпсесте

Рассмотрим параболу на рисунке справа. Выберите две точки параболы и назовите A и B. их

Предположим, что отрезок AC параллелен оси симметрии параболы. Далее предположим, что отрезок BC лежит на прямой, к параболе в точке B. касательной Первое предложение гласит:

Площадь треугольника ABC ровно в три раза больше площади, ограниченной параболой и секущей линией AB .

Доказательство :

Пусть D — середина AC . Постройте отрезок JB через D расстояние от J до D равно расстоянию от B до D. , где Мы будем считать отрезок JB «рычагом», а D — его точкой опоры. Как ранее показал Архимед, центр масс треугольника находится в точке I на «рычаге», где DI : DB = 1:3. Поэтому достаточно показать, что если весь вес внутренней части треугольника опирается на I , а весь вес сечения параболы на J , то рычаг находится в равновесии.

Рассмотрим бесконечно малое сечение треугольника, заданное отрезком HE , где точка H лежит на BC , точка E лежит на AB , а HE параллельна оси симметрии параболы. Назовем пересечение HE и параболы F пересечение HE и рычага G. и Если вес всех таких отрезков HE опирается на точки G как и весь вес треугольника, покоящегося в точке I. , где они пересекают рычаг, то они оказывают на рычаг такой же крутящий момент , Таким образом, мы хотим показать, что если вес сечения HE опирается на G , а вес сечения EF сечения параболы опирается на J , то рычаг находится в равновесии. Другими словами, достаточно показать, что EF : GD = EH : JD . Но это обычное следствие уравнения параболы. КЭД

Объем сферы

Опять же, чтобы осветить механический метод, удобно использовать немного координатной геометрии. Если сферу радиуса 1 поместить с центром в x = 1, вертикальный радиус поперечного сечения $\rho _{S}$ при любом x от 0 до 2 определяется следующей формулой:

$$\rho _{S}(x)={\sqrt {x(2-x)}}.$$

Масса этого сечения для целей балансировки на рычаге пропорциональна площади:

$$\pi \rho _{S}(x)^{2}=2\pi x-\pi x^{2}.$$

Затем Архимед рассмотрел возможность вращения треугольной области между y = 0 и y = x и x = 2 в плоскости x - y вокруг оси x , чтобы сформировать конус. Сечение этого конуса представляет собой круг радиуса $\rho _{C}$

$$\rho _{C}(x)=x$$

а площадь этого сечения равна

$$\pi \rho _{C}^{2}=\pi x^{2}.$$

Таким образом, если части конуса и сферы нужно взвесить вместе, общая площадь поперечного сечения составит:

$$M(x)=2\pi x.$$

Если два среза положить вместе на расстоянии 1 от точки опоры, их общий вес будет точно уравновешен кругом площади. $2\pi$ на расстоянии x от точки опоры с другой стороны. Это означает, что конус и сфера вместе, если бы весь их материал был перемещен в точку x = 1, уравновесили бы цилиндр с радиусом основания 1 и длиной 2 на другой стороне.

Поскольку x находится в диапазоне от 0 до 2, центр тяжести цилиндра будет находиться на расстоянии 1 от точки опоры, поэтому весь вес цилиндра можно считать находящимся в положении 1. Условие равновесия гарантирует, что объем конуса плюс объем сферы равен объему цилиндра.

Объем цилиндра – это площадь поперечного сечения, $2\pi$ умноженное на высоту, которая равна 2, или $4\pi$. Архимед также мог найти объем конуса механическим методом, поскольку, говоря современным языком, используемый интеграл точно такой же, как и для площади параболы. Объем конуса равен 1/3 площади его основания, умноженной на высоту. Основанием конуса является круг радиуса 2 площадью $4\pi$, а высота равна 2, поэтому площадь равна $8\pi /3$. Вычитание объема конуса из объема цилиндра дает объем сферы:

$$V_{S}=4\pi -{8 \over 3}\pi ={4 \over 3}\pi .$$

Зависимость объема сферы от радиуса очевидна из масштабирования, хотя сделать его строгим в то время тоже было нетривиально. Затем этот метод дает знакомую формулу объема сферы . Путем линейного масштабирования размеров Архимед легко расширил результат измерения объема до сфероидов .

Аргумент Архимеда почти идентичен приведенному выше аргументу, но его цилиндр имел больший радиус, так что конус и цилиндр висели на большем расстоянии от точки опоры. Он считал этот аргумент своим величайшим достижением и потребовал, чтобы на его надгробии была выгравирована сопутствующая фигура уравновешенной сферы, конуса и цилиндра.

Площадь поверхности сферы

Чтобы найти площадь поверхности сферы, Архимед утверждал, что так же, как площадь круга можно представить как бесконечное множество бесконечно малых прямоугольных треугольников, огибающих окружность (см. Измерение круга ), объем сферы можно представить как разделен на множество конусов с высотой, равной радиусу, и основанием на поверхности. Все конусы имеют одинаковую высоту, поэтому их объем равен 1/3 площади основания, умноженной на высоту.

Архимед утверждает, что общий объем сферы равен объему конуса, основание которого имеет ту же площадь поверхности, что и сфера, а высота равна радиусу. Никаких подробностей аргументации не приводится, но очевидная причина заключается в том, что конус можно разделить на бесконечно малые конусы, разделив площадь основания вверх, а затем каждый конус вносит вклад в соответствии со своей площадью основания, точно так же, как и в сфере. .

Пусть поверхность сферы равна S . Объем конуса с площадью основания S и высотой r равен $Sr/3$, который должен равняться объёму сферы: $4\pi r^{3}/3$. Следовательно, площадь поверхности сферы должна быть равна $4\pi r^{2}$, или «в четыре раза больше самого большого круга». Архимед строго доказывает это в «О сфере и цилиндре» .

Криволинейные формы с рациональными объёмами

Одна из замечательных особенностей метода заключается в том, что Архимед находит две формы, определяемые секциями цилиндров, объем которых не включает в себя $\pi$, несмотря на формы, имеющие криволинейные границы. Это центральный момент исследования: некоторые криволинейные формы можно исправить с помощью линейки и циркуля, так что между объемами, определяемыми пересечениями геометрических тел, существуют нетривиальные рациональные отношения.

Архимед подчеркивает это в начале трактата и предлагает читателю попытаться воспроизвести результаты каким-нибудь другим методом. В отличие от других примеров, объем этих фигур ни в одной из его других работ строго не рассчитывается. Судя по фрагментам палимпсеста, Архимед действительно вписывал и обрисовывал формы, чтобы доказать строгие границы объема, хотя детали не сохранились.

Две формы, которые он рассматривает, представляют собой пересечение двух цилиндров под прямым углом ( бицилиндр ), что является областью ( x , y , z ), подчиняющейся:

$$x^{2}+y^{2}<1,\quad y^{2}+z^{2}<1,$$

и круглая призма, которая представляет собой область, подчиняющуюся:

$$x^{2}+y^{2}<1,\quad 0<z<y.$$

Обе задачи имеют разрез, который дает простой интеграл для механического метода. Для круглой призмы разрежьте ось X на кусочки. Область в плоскости y - z в любой точке x является внутренней частью прямоугольного треугольника с длиной стороны. ${\sqrt {1-x^{2}}}$ чья площадь ${1 \over 2}(1-x^{2})$, так что общий объем равен:

$$\displaystyle \int _{-1}^{1}{1 \over 2}(1-x^{2})\,dx$$

которые можно легко исправить механическим методом. Прибавление к каждому треугольному сечению сечения треугольной пирамиды с площадью $x^{2}/2$ уравновешивает призму, сечение которой постоянно.

Для пересечения двух цилиндров разрез теряется в рукописи, но его можно восстановить очевидным образом параллельно остальной части документа: если плоскость xz является направлением разреза, уравнения для цилиндра дают следующее $x^{2}<1-y^{2}$ пока $z^{2}<1-y^{2}$, который определяет область, которая представляет собой квадрат в плоскости x - z с длиной стороны $2{\sqrt {1-y^{2}}}$, так что общий объем равен:

$$\displaystyle \int _{-1}^{1}4(1-y^{2})\,dy.$$

И это тот же интеграл, что и в предыдущем примере. Ян Хогендейк утверждает, что, помимо объема бицилиндра, Архимед знал площадь его поверхности , что также рационально.

Другие предложения в палимпсесте

Ряд положений геометрии доказывается в палимпсесте аналогичными рассуждениями. Одна из теорем состоит в том, что центр масс полушария находится на расстоянии 5/8 расстояния от полюса до центра сферы. Эта проблема примечательна тем, что она оценивает кубический интеграл.

См. также

• Архимед Палимпсест
• Метод неделимых
• Метод истощения