Нильпотентный

Эта статья о типе элемента в кольце. Чтобы узнать о типе группы, см. Нильпотентная группа . Чтобы узнать о типе идеала, см. Нильпотентный идеал . Чтобы узнать о типе полугруппы, см. Нильпотентная полугруппа . Чтобы узнать о типе алгебры, см. Нильпотентная алгебра .

В математике элемент $x$ кольца ​ $R$ называется нильпотентным, если существует некоторое целое положительное число $n$, называемый индексом (или иногда степенью ), такой, что $x^{n}=0$.

Этот термин вместе со своим сестринским идемпотентом был введен Бенджамином Пирсом в контексте его работы по классификации алгебр.

Примеры

• Это определение может быть применено, в частности, к квадратным матрицам . Матрица

$A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$

нильпотентен, потому что $A^{3}=0$. см. нильпотентную матрицу . Подробнее

• В факторном кольце $\mathbb {Z} /9\mathbb {Z}$, класс эквивалентности 3 нильпотентен, поскольку 3 ² конгруэнтно 0 по модулю 9.
• Предположим, что два элемента $a$ и $b$ в ринге $R$ удовлетворить $ab=0$. Тогда элемент $c=ba$ нильпотентен, поскольку
  $${\begin{aligned}c^{2}&=(ba)^{2}\\&=b(ab)a\\&=0.\\\end{aligned}}$$
  Пример с матрицами (для a , b ):
  $$A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$$
  Здесь $AB=0$ и $BA=B$.

• По определению любой элемент нильполугруппы нильпотентен .

Свойства

Ни один нильпотентный элемент не может быть единицей (за исключением тривиального кольца , которое имеет только один элемент 0 = 1 ). Все нильпотентные элементы являются делителями нуля .

Ан $n\times n$ матрица $A$ с записями из поля нильпотентна тогда и только тогда, когда ее характеристический полином равен $t^{n}$.

Если $x$ нильпотентен, то $1-x$ является единицей , потому что $x^{n}=0$ влечет за собой

$$(1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.$$

В более общем смысле, сумма единичного элемента и нильпотентного элемента является единицей, когда они коммутируют.

Коммутативные кольца

Нильпотентные элементы коммутативного кольца $R$ сформировать идеал ${\mathfrak {N}}$; это следствие биномиальной теоремы . Этот идеал является нильрадикалом кольца. Каждый нильпотентный элемент $x$ в коммутативном кольце содержится в каждом простом идеале ${\mathfrak {p}}$ этого кольца, поскольку $x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}$. Так ${\mathfrak {N}}$ содержится в пересечении всех простых идеалов.

Если $x$ не нильпотентна, мы можем локализовать по степеням $x$: $S=\{1,x,x^{2},...\}$ чтобы получить ненулевое кольцо $S^{-1}R$. Простые идеалы локализованного кольца в точности соответствуют тем простым идеалам ${\mathfrak {p}}$ из $R$ с ${\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset$. Поскольку каждое ненулевое коммутативное кольцо имеет максимальный идеал, который является простым, каждое ненильпотентное кольцо $x$ не содержится в каком-то простом идеале. Таким образом ${\mathfrak {N}}$ является в точности пересечением всех простых идеалов.

Для нильрадикала доступна характеристика, аналогичная характеристике радикала Джекобсона и аннигиляции простых модулей: нильпотентные элементы кольца $R$ являются именно теми, которые аннулируют все области целостности, внутренние по отношению к кольцу. $R$ (то есть вида $R/I$ за главные идеалы $I$). Это следует из того, что нильрадикал является пересечением всех простых идеалов.

Нильпотентные элементы в алгебре Ли

Позволять ${\mathfrak {g}}$ быть алгеброй Ли . Тогда элемент $x\in {\mathfrak {g}}$ называется нильпотентным, если он находится в $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ и $\operatorname {ad} x$ является нильпотентным преобразованием. См. также: Жорданово разложение в алгебре Ли .

Нильпотентность в физике

Любой лестничный оператор в конечномерном пространстве нильпотентен. Они представляют собой операторы создания и уничтожения , которые переходят из одного состояния в другое, например, повышающие и понижающие матрицы Паули. $\sigma _{\pm }=(\sigma _{x}\pm i\sigma _{y})/2$.

Операнд ​ $Q$ это удовлетворяет $Q^{2}=0$ является нильпотентным. Числа Грассмана , которые позволяют представить фермионные поля в виде интегралов по траекториям, являются нильпотентными, поскольку их квадраты равны нулю. Заряд БРСТ является важным примером в физике .

Поскольку линейные операторы образуют ассоциативную алгебру и, следовательно, кольцо, это частный случай исходного определения. В более общем смысле, ввиду приведенных выше определений, оператор $Q$ нильпотентен, если существует $n\in \mathbb {N}$ такой, что $Q^{n}=0$ ( нулевая функция ). Таким образом, линейное отображение нильпотентно тогда и только тогда, когда оно имеет нильпотентную матрицу в некотором базисе. Другим примером является внешняя производная (опять же с $n=2$). Оба связаны между собой, в том числе через суперсимметрию и теорию Морса . как показано Эдвардом Виттеном в знаменитой статье.

Электромагнитное поле плоской волны без источников нильпотентно, если его выразить в терминах алгебры физического пространства . В более общем смысле, метод микроаддитивности (который можно использовать для вывода теорем в физике) использует нильпотентные или нильквадратные бесконечно малые числа и является частично гладким анализом бесконечно малых величин .

Алгебраические нильпотенты

Двумерные двойственные числа содержат нильпотентное пространство. Другие алгебры и числа, содержащие нильпотентные пространства, включают расщепленные кватернионы (кокватернионы), разделенные октонионы , бикватернионы $\mathbb {C} \otimes \mathbb {H}$и сложные октонионы $\mathbb {C} \otimes \mathbb {O}$. Если нильпотентная бесконечно малая представляет собой переменную, стремящуюся к нулю, можно показать, что любая сумма членов, для которых она является предметом, представляет собой неопределенно малую долю члена первого порядка.

См. также

• Идемпотентный элемент (теория колец)
• Одномогущий
• Уменьшенное кольцо
• Нулевой идеал
• Нильпотентная матрица