Среднее Дирихле

Средние значения Дирихле — это средние значения функций при распределении Дирихле . Важным из них являются средние значения Дирихле, которые имеют определенную структуру аргументов, а именно:

$F(\mathbf {b} ;\mathbf {z} )=\int f(\mathbf {u} \cdot \mathbf {z} )\,d\mu _{b}(\mathbf {u} ),$

где $\mathbf {u} \cdot \mathbf {z} =\sum _{i}^{N}u_{i}\cdot z_{i}$ и $d\mu _{b}(\mathbf {u} )=u_{1}^{b_{1}-1}\cdots u_{N}^{b_{N}-1}d\mathbf {u}$ мера Дирихле размерности N. — Они были введены математиком Билле К. Карлсоном в 70-х годах, который заметил, что простое понятие этого типа усреднения обобщает и унифицирует многие специальные функции, среди них обобщенные гипергеометрические функции или различные ортогональные полиномы : Они также играют важную роль для решения эллиптических интегралов (см. симметричную форму Карлсона ) и различными способами связаны со статистическими приложениями, например, в байесовском анализе .

Известные средние значения Дирихле

Некоторые средние значения Дирихле настолько фундаментальны, что им даны названия. Некоторые из них перечислены ниже.

R-функция

R-функция (Карлсона) представляет собой среднее Дирихле $x^{n}$,

$R_{n}(\mathbf {b} ,\mathbf {z} )=\int (\mathbf {u} \cdot \mathbf {z} )^{n}\,d\mu _{b}(\mathbf {u} )$

с $n$. Иногда $R_{n}(\mathbf {b} ,\mathbf {z} )$ также обозначается $R(-n;\mathbf {b} ,\mathbf {z} )$.

Точные решения:

Для $n\geq 0,n\in \mathbb {N}$ точное решение можно записать в виде итеративной суммы

$R_{n}(\mathbf {b} ,\mathbf {z} )={\frac {\Gamma (n+1)\Gamma (b)}{\Gamma (b+n)}}\cdot D_{n}{\text{ with }}D_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{N}b_{i}\cdot z_{i}^{k}\right)\cdot D_{n-k}$

где $D_{0}=1$, $N$ это размерность $\mathbf {b}$ или $\mathbf {z}$ и $b=\sum b_{i}$.

S-функция

S-функция (Карлсона) представляет собой среднее Дирихле $e^{x}$,

$S(\mathbf {b} ,\mathbf {z} )=\int \exp(\mathbf {u} \cdot \mathbf {z} )\,d\mu _{b}(\mathbf {u} ).$