Единственное решение

Сингулярное решение y _s ( x ) обыкновенного дифференциального уравнения - это решение, которое является сингулярным или такое, для которого задача начального значения (также называемая проблемой Коши некоторыми авторами) не может иметь единственное решение в некоторой точке решения. Множество, на котором решение является сингулярным, может быть как маленькой, как одна точка, так и большим, как вся действительная линия. Решения, которые являются сингулярными в том смысле, что задача начального значения не имеет единственного решения, не обязательно должны быть сингулярными функциями .

В некоторых случаях термин « сингулярное решение» используется для обозначения решения, при котором существует нарушение однозначности начальной задачи в каждой точке кривой. Особое решение в этом более сильном смысле часто рассматривается как касательное к каждому решению из семейства решений. Под касательной мы подразумеваем, что существует точка x , где y _s ( x ) = y _c ( x ) и y' _s ( x ) = y' _c ( x ), где y _c - решение в семействе решений, параметризованное c . Это означает, что особое решение является оболочкой семейства решений.

Обычно сингулярные решения появляются в дифференциальных уравнениях, когда необходимо разделить член, который может быть равен нулю . Следовательно, когда кто-то решает дифференциальное уравнение и использует деление, необходимо проверить, что произойдет, если член будет равен нулю, и приведет ли это к единственному решению. Теорема Пикара –Линделефа , которая дает достаточные условия существования уникальных решений, может использоваться для исключения существования особых решений. Другие теоремы, такие как теорема существования Пеано , дают достаточные условия для существования решений, не обязательно уникальных, что может допускать существование сингулярных решений.

Расходящееся решение

Рассмотрим однородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение

xy'(x)+2y(x)=0,\,\!

где штрихи обозначают производные по x . Общее решение этого уравнения:

y(x)=Cx^{-2}.\,\!

Для данного $C$ , это решение является гладким, за исключением $x=0$ где решение расходится. Кроме того, для данного $x\not =0$ , это уникальное решение, которое проходит $(x,y(x))$ .

Неудача в уникальности

Рассмотрим дифференциальное уравнение

y'(x)^{2}=4y(x).\,\!

Однопараметрическое семейство решений этого уравнения имеет вид

y_{c}(x)=(x-c)^{2}.\,\!

Другое решение дает

y_{s}(x)=0.\,\!

Поскольку изучаемое уравнение является уравнением первого порядка, начальными условиями являются начальные значения x и y . Рассмотрев два набора решений, приведенных выше, можно увидеть, что решение не может быть уникальным, когда $y=0$ . (Можно показать, что для $y>0$ если выбрана единственная ветвь квадратного корня, то существует локальное решение, которое уникально согласно теореме Пикара – Линделёфа .) Таким образом, все приведенные выше решения являются сингулярными решениями в том смысле, что решение не может быть единственным в окрестности одной или нескольких точек. (Обычно в таких точках мы говорим: «единственность терпит неудачу».) Для первого набора решений уникальность терпит неудачу в одной точке, $x=c$ , а для второго решения уникальность не достигается при каждом значении $x$ . Таким образом, решение $y_{s}$ является сингулярным решением в том смысле, что уникальность не достигается при каждом значении x . Однако это не сингулярная функция, поскольку она и все ее производные непрерывны.

В этом примере решение $y_{s}(x)=0$ является оболочкой семейства решений $y_{c}(x)=(x-c)^{2}$ . Решение $y_{s}$ касается каждой кривой $y_{c}(x)$ в точку $(c,0)$ .

Недостаток уникальности можно использовать для построения большего количества решений. Их можно найти, взяв две константы $c_{1}<c_{2}$ и определение решения $y(x)$ быть $(x-c_{1})^{2}$ когда $x<c_{1}$ , быть $0$ когда $c_{1}\leq x\leq c_{2}$ , и быть $(x-c_{2})^{2}$ когда $x>c_{2}$ . Непосредственный расчет показывает, что это решение дифференциального уравнения в каждой точке, включая $x=c_{1}$ и $x=c_{2}$ . Единственность этих решений на интервале $c_{1}\leq x\leq c_{2}$ , и решения сингулярны в том смысле, что вторая производная не существует, при $x=c_{1}$ и $x=c_{2}$ .

Еще один пример отсутствия уникальности

Предыдущий пример может создать ошибочное впечатление, что отсутствие уникальности напрямую связано с $y(x)=0$ . Несоблюдение уникальности также можно увидеть в следующем примере уравнения Клеро :

y(x)=x\cdot y'+(y')^{2}\,\!

Мы пишем y' = p и тогда

y(x)=x\cdot p+(p)^{2}.

Теперь возьмем дифференциал по x :

p=y'=p+xp'+2pp'

что с помощью простой алгебры дает

0=(2p+x)p'.

Это условие разрешено, если 2 p + x =0 или если p ′=0.

Если p' = 0, это означает, что y' = p = c = константа, и общее решение этого нового уравнения:

y_{c}(x)=c\cdot x+c^{2}

где c определяется начальным значением.

Если x + 2 p = 0, то мы получаем, что p = −½ x , и замена в ОДУ дает

y_{s}(x)=-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+(-{\tfrac {1}{2}}x)^{2}=-{\tfrac {1}{4}}x^{2}.

Теперь проверим, когда эти решения являются сингулярными. Если два решения пересекаются друг с другом, то есть оба проходят через одну и ту же точку ( x , y ), то уникальность обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка нарушается. Таким образом, уникальность будет нарушена, если решение первой формы пересекает второе решение.

Условие пересечения: y _s ( x ) = y _c ( x ). Мы решаем