Анхелес с полиномами

В математике полиномы Анжелеску π _n ( x ) представляют собой серию полиномов, обобщающих полиномы Лагерра, введенные Аурелом Анжелеску. Полиномы могут быть заданы производящей функцией $$\phi \left({\frac {t}{1-t}}\right)\exp \left(-{\frac {xt}{1-t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\pi _{n}(x)t^{n}.$$

Их также можно определить уравнением $$\pi _{n}(x):=e^{x}D^{n}[e^{-x}A_{n}(x)],$$где ${\frac {A_{n}(x)}{n!}}$ представляет собой набор полиномов Аппелла .

Характеристики

Сложение и рекуррентные отношения

Полиномы Анжелеску удовлетворяют следующей теореме сложения:

$$(-1)^{n}\sum _{r=0}^{m}{\frac {L_{m+n-r}^{(n)}(x)\pi _{r}(y)}{(n+m-r)!r!}}=\sum _{r=0}^{m}(-1)^{r}{\binom {-n-1}{r}}{\frac {\pi _{n-r}(x+y)}{(m-r)!}},$$где $L_{m+n-r}^{(n)}$ является обобщенным полиномом Лагерра .

Особенно примечательным частным случаем является случай, когда $n=0$, и в этом случае формула упрощается до $${\frac {\pi _{m}(x+y)}{m!}}=\sum _{r=0}^{m}{\frac {L_{m-r}(x)\pi _{r}(y)}{(m-r)!r!}}-\sum _{r=0}^{m-1}{\frac {L_{m-r-1}(x)\pi _{r}(y)}{(m-r-1)!r!}}.$$

Полиномы также удовлетворяют рекуррентному соотношению

$$\pi _{s}(x)=\sum _{r=0}^{n}(-1)^{n+r}{\binom {n}{r}}{\frac {s!}{(n+s-r)!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[\pi _{n+s-r}(x)],$$

что упрощается, когда $n=0$ к $\pi '_{s+1}(x)=(s+1)[\pi '_{s}(x)-\pi _{s}(x)]$. Это можно обобщить следующим образом:

$$-\sum _{r=0}^{s}{\frac {1}{(m+n-r-1)!}}L_{m+n-r-1}^{(m+n-1)}(x){\frac {\pi _{r-s}(y)}{(s-r)!}}={\frac {1}{(m+n+s)!}}{\frac {d^{m+n}}{dx^{m}dy^{n}}}\pi _{m+n+s}(x+y),$$

частным случаем которой является формула ${\frac {d^{m+n}}{dx^{m}dy^{n}}}\pi _{m+n}(x+y)=(-1)^{m+n}(m+n)!a_{0}$.

Интегралы

Полиномы Анжелеску удовлетворяют следующим интегральным формулам:

$${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x/2}}{x}}[\pi _{n}(x)-\pi _{n}(0)]dx&=\sum _{r=0}^{n-1}(-1)^{n-r+1}{\frac {n!}{r!}}\pi _{r}(0)\int _{0}^{\infty }[{\frac {1}{1/2+p}}-1]^{n-r-1}d[{\frac {1}{1/2+p}}]\\&=\sum _{r=0}^{n-1}(-1)^{n-r+1}{\frac {n!}{r!}}{\frac {\pi _{r}(0)}{n-r}}[1+(-1)^{n-r-1}]\end{aligned}}$$

$$\int _{0}^{\infty }e^{-x}[\pi _{n}(x)-\pi _{n}(0)]L_{m}^{(1)}(x)dx={\begin{cases}0{\text{ if }}m\geq n\\{\frac {n!}{(n-m-1)!}}\pi _{n-m-1}(0){\text{ if }}0\leq m\leq n-1\end{cases}}$$

(Здесь, $L_{m}^{(1)}(x)$ является полиномом Лагерра.)

Дальнейшее обобщение

Мы можем определить q-аналог полиномов Анжелеску как $\pi _{n,q}(x):=e_{q}(xq^{n})D_{q}^{n}[E_{q}(-x)P_{n}(x)]$, где $e_{q}$ и $E_{q}$ являются q-экспоненциальными функциями $e_{q}(x):=\Pi _{n=0}^{\infty }(1-q^{n}x)^{-1}=\Sigma _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{[k]!}}$ и $E_{q}(x):=\Pi _{n=0}^{\infty }(1+q^{n}x)=\Sigma _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{\frac {k(k-1)}{2}}x^{k}}{[k]!}}$, $D_{q}$ является q-производной и $P_{n}$ представляет собой «множество q-Appell» (удовлетворяющее свойству $D_{q}P_{n}(x)=[n]P_{n-1}(x)$).

Этот q-аналог также можно представить как производящую функцию:

$$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\pi _{n,q}(x)t^{n}}{(1;n)}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{\frac {n(n-1)}{2}}t^{n}P_{n}(x)}{(1;n)[1-t]_{n+1}}},$$где мы используем обозначение $(a;k):=(1-q^{a})\dots (1-q^{a+k-1})$ и $[a+b]_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}a^{n-k}b^{k}$.

Ссылки

• Анжелеску, А. (1938), «О некоторых полиномах, обобщающих полиномы Лагерра», CR Acad. наук. Румыния (на французском языке), 2 : 199–201, JFM   64.0328.01.
• Боас, Ральф П.; Бак, Р. Крейтон (1958), Полиномиальные разложения аналитических функций , результаты математики и ее пограничные области. Новый эпизод., т. 19, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  9783540031239 , МР   0094466
• Шукла, Д.П. (1981). «Полиномы q-Ангелеску» (PDF) . Издания Математического института . 43 : 205–213.
• Шастри, Н.А. (1940). «О многочлене Анжелеску πn (x)» . Труды Индийской академии наук, раздел А. 11 (4): 312–317. дои : 10.1007/BF03051347 . S2CID   125446896 .