Множественные ортогональные полиномы

В математике множественные ортогональные полиномы (MOP) — это ортогональные полиномы от одной переменной, ортогональные относительно конечного семейства мер . Полиномы разделены на два класса: тип 1 и тип 2 .

В литературе МОПы еще называют $d$-ортогональные полиномы , полиномы Эрмита-Паде или полиортогональные полиномы . MOP не следует путать с многомерными ортогональными полиномами.

Множественные ортогональные полиномы

Рассмотрим мультииндекс ${\vec {n}}=(n_{1},\dots ,n_{r})\in \mathbb {N} ^{r}$ и $r$ позитивные меры $\mu _{1},\dots ,\mu _{r}$ над реальными. По-прежнему $|{\vec {n}}|:=n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{r}$.

МОП типа 1

Полиномы $A_{{\vec {n}},j}$ для $j=1,2,\dots ,r$ относятся к типу 1, если $j$-й полином $A_{{\vec {n}},j}$ имеет не более степени $n_{j}-1$ такой, что

$\sum \limits _{j=1}^{r}\int _{\mathbb {R} }x^{k}A_{{\vec {n}},j}d\mu _{j}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,|{\vec {n}}|-2,$

и

$\sum \limits _{j=1}^{r}\int _{\mathbb {R} }x^{|{\vec {n}}|-1}A_{{\vec {n}},j}d\mu _{j}(x)=1.$

Объяснение

Это определяет систему $|{\vec {n}}|$ уравнения для $|{\vec {n}}|$ коэффициенты многочленов $A_{{\vec {n}},1},A_{{\vec {n}},2},\dots ,A_{{\vec {n}},r}$.

МОП типа 2

Монический полином $P_{\vec {n}}(x)$ имеет тип 2, если он имеет степень $|{\vec {n}}|$ такой, что

$\int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{j}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{j}-1,\qquad j=1,\dots ,r.$

Объяснение

Если мы напишем $j=1,\dots ,r$ out, мы получаем следующее определение

$\int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{1}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{1}-1$

$\int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{2}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{2}-1$

$\vdots$

$\int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{r}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{r}-1$

Литература

• Исмаил, Мурад Э.Х. (2005). Классические и квантовые ортогональные полиномы от одной переменной . Издательство Кембриджского университета. стр. 607–647. ISBN  9781107325982 .
• Лопес-Лагомасино, Г. (2021). Введение в множественные ортогональные полиномы и приближение Эрмита-Паде. В: Марселлан Ф., Уэртас Э.Дж. (ред.) Ортогональные полиномы: текущие тенденции и приложения. SEMA SIMAI Springer Series, том 22. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-56190-1_9