Функция Джека

В математике функция Джека является обобщением полинома Джека , введенного Генри Джеком . Полином Джека — это однородный симметричный , многочлен который обобщает полиномы Шура и зональные полиномы и, в свою очередь, обобщается полиномами Хекмана-Опдама и полиномами Макдональда .

Определение

Функция Джека $J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})$ целочисленного раздела $\kappa$, параметр $\alpha$и аргументы $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}$ может быть рекурсивно определено как следует:

Для м =1

$J_{k}^{(\alpha )}(x_{1})=x_{1}^{k}(1+\alpha )\cdots (1+(k-1)\alpha )$

Для м >1

$J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=\sum _{\mu }J_{\mu }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m-1})x_{m}^{|\kappa /\mu |}\beta _{\kappa \mu },$

где суммирование ведется по всем разделам $\mu$ такой, что перекос раздела $\kappa /\mu$ представляет собой горизонтальную полосу , а именно

$\kappa _{1}\geq \mu _{1}\geq \kappa _{2}\geq \mu _{2}\geq \cdots \geq \kappa _{n-1}\geq \mu _{n-1}\geq \kappa _{n}$ ( $\mu _{n}$ должно быть нулем или иначе $J_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=0$) и

$\beta _{\kappa \mu }={\frac {\prod _{(i,j)\in \kappa }B_{\kappa \mu }^{\kappa }(i,j)}{\prod _{(i,j)\in \mu }B_{\kappa \mu }^{\mu }(i,j)}},$

где $B_{\kappa \mu }^{\nu }(i,j)$ равно $\kappa _{j}'-i+\alpha (\kappa _{i}-j+1)$ если $\kappa _{j}'=\mu _{j}'$ и $\kappa _{j}'-i+1+\alpha (\kappa _{i}-j)$ в противном случае. Выражения $\kappa '$ и $\mu '$ обратитесь к сопряженным разбиениям $\kappa$ и $\mu$, соответственно. Обозначения $(i,j)\in \kappa$ означает, что произведение берется по всем координатам $(i,j)$ коробок на диаграмме Юнга разбиения $\kappa$.

Комбинаторная формула

В 1997 году Ф. Кноп и С. Сахи дал чисто комбинаторную формулу для полиномов Джека $J_{\mu }^{(\alpha )}$ в n переменных:

$J_{\mu }^{(\alpha )}=\sum _{T}d_{T}(\alpha )\prod _{s\in T}x_{T(s)}.$

Сумма берется по всем допустимым таблицам формы $\lambda ,$ и

$d_{T}(\alpha )=\prod _{s\in T{\text{ critical}}}d_{\lambda }(\alpha )(s)$

с

$d_{\lambda }(\alpha )(s)=\alpha (a_{\lambda }(s)+1)+(l_{\lambda }(s)+1).$

Допустимая формы таблица $\lambda$ является заполнением диаграммы Юнга $\lambda$ с числами 1,2,…, n такие, что для любого поля ( i , j ) в таблице

• $T(i,j)\neq T(i',j)$ в любое время $i'>i.$
• $T(i,j)\neq T(i,j-1)$ в любое время $j>1$ и $i'<i.$

Коробка $s=(i,j)\in \lambda$ критичен , для таблицы T если $j>1$ и $T(i,j)=T(i,j-1).$

Этот результат можно рассматривать как частный случай более общей комбинаторной формулы для полиномов Макдональда .

Нормализация C

Функции Джека образуют ортогональный базис в пространстве симметричных полиномов со внутренним произведением:

$\langle f,g\rangle =\int _{[0,2\pi ]^{n}}f\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right){\overline {g\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)}}\prod _{1\leq j<k\leq n}\left|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}\right|^{\frac {2}{\alpha }}d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}$

Нормализация не влияет на это свойство ортогональности. Определенную выше нормализацию обычно называют J -нормализацией. Нормализация C определяется как

$C_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\alpha ^{|\kappa |}(|\kappa |)!}{j_{\kappa }}}J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n}),$

где

$j_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }\left(\kappa _{j}'-i+\alpha \left(\kappa _{i}-j+1\right)\right)\left(\kappa _{j}'-i+1+\alpha \left(\kappa _{i}-j\right)\right).$

Для $\alpha =2,C_{\kappa }^{(2)}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ часто обозначается $C_{\kappa }(x_{1},\ldots ,x_{n})$ и назван Зональным полиномом .

P нормализация

Нормализация P задается тождеством $J_{\lambda }=H'_{\lambda }P_{\lambda }$, где

$H'_{\lambda }=\prod _{s\in \lambda }(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)$

где $a_{\lambda }$ и $l_{\lambda }$ обозначает длину руки и ноги соответственно. Поэтому для $\alpha =1,P_{\lambda }$ – обычная функция Шура.

Подобно полиномам Шура, $P_{\lambda }$ может быть выражена в виде суммы по таблицам Юнга. Однако к каждой таблице необходимо добавить дополнительный вес, который зависит от параметра $\alpha$.

Таким образом, формула для функции Джека $P_{\lambda }$ дается

$P_{\lambda }=\sum _{T}\psi _{T}(\alpha )\prod _{s\in \lambda }x_{T(s)}$

где сумма берется по всем таблицам формы $\lambda$, и $T(s)$ запись в поле s T обозначает .

Вес $\psi _{T}(\alpha )$ можно определить следующим образом: Каждая таблица T формы $\lambda$ можно интерпретировать как последовательность разделов

$\emptyset =\nu _{1}\to \nu _{2}\to \dots \to \nu _{n}=\lambda$

где $\nu _{i+1}/\nu _{i}$ определяет форму перекоса с содержимым i в T . Затем

$\psi _{T}(\alpha )=\prod _{i}\psi _{\nu _{i+1}/\nu _{i}}(\alpha )$

где

$\psi _{\lambda /\mu }(\alpha )=\prod _{s\in R_{\lambda /\mu }-C_{\lambda /\mu }}{\frac {(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+1)}{(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+\alpha )}}{\frac {(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+\alpha )}{(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)}}$

и произведение берется только по всем ящикам s в $\lambda$ такой, что у s есть коробка от $\lambda /\mu$ в той же строке, но не в том же столбце.

Связь с полиномом Шура

Когда $\alpha =1$ функция Джека является скалярным кратным полиному Шура

$J_{\kappa }^{(1)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=H_{\kappa }s_{\kappa }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),$

где

$H_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }h_{\kappa }(i,j)=\prod _{(i,j)\in \kappa }(\kappa _{i}+\kappa _{j}'-i-j+1)$

является произведением всех длин крючков $\kappa$.

Характеристики

Если в разделе больше частей, чем количество переменных, то функция Джека равна 0:

$J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=0,{\mbox{ if }}\kappa _{m+1}>0.$

Матричный аргумент

В некоторых текстах, особенно по теории случайных матриц, авторы считают более удобным использовать матричный аргумент в функции Джека. Подключение простое. Если $X$ представляет собой матрицу с собственными значениями $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}$, затем

$J_{\kappa }^{(\alpha )}(X)=J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}).$

Ссылки

• Деммель, Джеймс ; Коев, Пламен (2006), «Точная и эффективная оценка функций Шура и Джека», Mathematics of Computation , 75 (253): 223–239, CiteSeerX   10.1.1.134.5248 , doi : 10.1090/S0025-5718-05-01780 -1 , МР   2176397 .
• Джек, Генри (1970–1971), «Класс симметричных полиномов с параметром», Труды Эдинбургского королевского общества , Раздел A. Математика, 69 : 1–18, MR   0289462 .
• Кноп, Фридрих; Сахи, Сиддхартха (19 марта 1997 г.), «Рекурсия и комбинаторная формула для полиномов Джека», Inventiones Mathematicae , 128 (1): 9–22, arXiv : q-alg/9610016 , Bibcode : 1997InMat.128.... 9К , doi : 10.1007/s002220050134 , S2CID   7188322
• Макдональд, И.Г. (1995), Симметричные функции и полиномы Холла , Оксфордские математические монографии (2-е изд.), Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853489-1 , МР   1354144
• Стэнли, Ричард П. (1989), «Некоторые комбинаторные свойства симметричных функций Джека», Advances in Mathematics , 77 (1): 76–115, doi : 10.1016/0001-8708(89)90015-7 , MR   1014073 .

Внешние ссылки

• Программное обеспечение для вычисления функции Джека Пламена Коева и Алана Эдельмана.
• MOPS: многомерные ортогональные полиномы (символически) (пакет Maple). Архивировано 20 июня 2010 г. в Wayback Machine.
• Документация SAGE для симметричных функций Джека